浙江省2023届高三下学期数学一模试卷【含答案】

高三下学期数学一模试卷一、单选题1．若集合，则（）A． B．C． D．2．若，则（）A． B． C． D．3．的展开式中常数项为（）A．280 B．-280 C．160 D．-1604．“省刻度尺”问题由英国数学游戏大师杜登尼提出：一根长的尺子，要能够量出长度为到且边长为整数的物体，至少需要6个刻度（尺子头尾不用刻）．现有一根的尺子，要能够量出长度为到且边长为整数的物体，尺子上至少需要有（）个刻度A．3 B．4 C．5 D．65．班级举行知识竞猜闯关活动，设置了三个问题．答题者可自行决定答三题顺序．甲有60%的可能答对问题，80%的可能答对问题，50%的可能答对问题．记答题者连续答对两题的概率为，要使得最大，他应该先回答（）A．问题 B．问题C．问题和都可以 D．问题6．在平面直角坐标系上，圆，直线与圆交于两点，，则当的面积最大时，（）A． B． C． D．7．设，，，则（）A． B． C． D．8．在正方体中，平面经过点B、D，平面经过点A、，当平面分别截正方体所得截面面积最大时，平面所成的锐二面角大小为（）A． B． C． D．二、多选题9．在平面直角坐标系中，已知点，则（）A．B．是直角三角形C．在方向上的投影向量的坐标为D．与垂直的单位向量的坐标为或10．已知函数，则（）A．有一个零点B．在上单调递减C．有两个极值点D．若，则11．设椭圆，，为椭圆上一点，，点关于轴对称，直线分别与轴交于两点，则（）A．的最大值为B．直线的斜率乘积为定值C．若轴上存在点，使得，则的坐标为或D．直线过定点12．已知，且，则（）A． B．C． D．三、填空题13．已知随机变量服从正态分布，若，则．14．写出一个满足下列条件的正弦型函数，．①最小正周期为；②在上单调递增；③成立．15．将两个形状完全相同的正三棱锥底面重合得到一个六面体，若六面体存在外接球，且正三棱锥的体积为1，则六面体外接球的体积为．16．已知椭圆，椭圆的左右焦点分别为，点为椭圆上一点且，过A作椭圆E的切线l，并分别交于C、D点．连接，与交于点E，并连接．若直线l，的斜率之和为，则点A坐标为．四、解答题17．已知数列是以d为公差的等差数列，为的前n项和．（1）若，求数列的通项公式；（2）若中的部分项组成的数列是以为首项，4为公比的等比数列，且，求数列的前n项和．18．已知中角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知．（1）证明：；（2）求的面积．19．如图，四面体中，，，与面的所成角为．（1）若四面体的体积为，求的长；（2）设点在面中，，，过作的平行线，分别交于点，求面与面所成夹角的余弦值．20．大坝是一座具有灌溉、防洪、发电、航运、养殖和游览等综合效益的大型水利枢纽工程．为预测渗压值和控制库水位，工程师在水库选取一支编号为的渗压计，随机收集10个该渗压计管内水位和水库水位监测数据：样本号12345678910总和水库水位75.6975.7475.7775.7875.8175.8575.6775.8775.975.93758.01渗压计管内水位72.8872.9072.9272.9272.9372.9472.9472.9572.9672.98729.32并计算得，，．附：相关系数，，，．（1）估计该水库中号渗压计管内平均水位与水库的平均水位；（2）求该水库号渗压计管内水位与水库水位的样本相关系数（精确到0.01）；（3）某天雨后工程师测量了水库水位，并得到水库的水位为．利用以上数据给出此时号渗压计管内水位的估计值．21．设双曲线的右焦点为，右焦点到双曲线的渐近线的距离为．（1）求双曲线的方程；（2）若，点在线段上（不含端点），过点分别作双曲线两支的切线，切点分别为．连接，并过的中点分别作双曲线两支的切线，切点分别为，求面积的最小值．22．已知（1）当时，求单调区间；（2）当时，恒成立，求的取值范围；（3）设，，证明：．

1．A2．B3．A4．B5．D6．C7．D8．C9．A,B,D10．B,D11．B,C,D12．B,C13．114．（答案不唯一）15．16．17．（1）解：因为，所以，所以.所以.则数列的通项公式为.（2）解：因为数列是以首项为，公比为4等比数列.所以.因为数列是等差数列，所以.化简得.因为，所以，即.所以.因为，所以数列是以为首项.4为公比的等比数列所以.所以.则数列的前n项和为：.18．（1）证明：因为，所以，即，则，因为，，，，，所以，因为，所以，即，因为，所以令，则，因为，所以在上单调递减，所以由得，即成立（2）解：因为，所以所以由正弦定理得，且，所以因为所以由得化简得因为，所以所以由得或（舍去），，所以.19．（1）解：，，，，又，平面，平面；作，连接，平面，平面，，，平面，平面，平面，平面面，平面平面，则作，可得平面，为与平面的所成角，，设，，则，，，，则由得：，，解得：，即.（2）解：设，由（1）得：，延长交于点，连接，，，，平面，平面，平面，，又，，，，，，为边上的高，即，；，，平面，平面，又平面，；由（1）得，若，则点在上，为的垂心；∽，，又，，，，即；方法一：，为中点，为中点，以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，，设平面的法向量，则，令，解得：，，；平面，平面的一个法向量为，，即平面与平面所成夹角的余弦值为.方法二：，，即；分别作，，则平面，平面，在平面的投影为，，设平面与平面所成的二面角为，则.20．（1）解：水库的平均水位，号渗压计管内平均水位.（2）解：，同理可得：，，（3）解：，，号渗压计管内水位关于水库水位的经验回归方程为，当时，预测值，即水库的水位为时，号渗压计管内水位的估计值为.21．（1）解：双曲线的右焦点为，；右焦点到双曲线的渐近线的距离为1，双曲线的渐近线方程为，，解得：，，双曲线的方程为：.（2）解：设，切线，由得：，，解得：，，，，，，即，同理可得：直线；直线与直线交于点，，，点满足方程，即直线，同理可得：直线，即，点在直线上，，即点在直线上，，，，，，即，直线，由得：，，点到直线的距离为，，令，，，则，，则，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，.22．（1）解：当时，，，，，（当且仅当时取等号），恒成立，的单调递增区间为，无单调递减区间.（2）解：当时，恒成立，即，恒成立；方法一：，，使得在上单调递增，当时，，，解得：；当时，，，，设，则，在上单调递增，，，即满足题意；综上所述：的取值范围为.方法二：，，，，则由，恒成立得：；，，令，则，令，则，①当，即时，方