机械工程控制基础第5章

机械工程控制基础第5章第一页，共56页。机械工程控制基础第一章自动控制的一般概念第二章控制系统的数学模型第三章控制系统的时域分析法第四章频域分析法第五章控制系统的稳定性第六章控制系统的校正第二页，共56页。第五章控制系统的稳定性——系统能正常工作的首要条件系统的稳定性与稳定条件Routh（劳斯）稳定判据Nyquist稳定判据Bode稳定判据系统的相对稳定性第三页，共56页。AAA″a、稳定的摆稳定性分析

稳定的概念

稳定性示例Ab、不稳定的摆第四页，共56页。

稳定性定义原来处于平衡状态的系统，在受到扰动作用后都会偏离原来的平衡状态。若系统在扰动作用消失后，经过一段过渡过程后，系统仍然能够回复到原来的平衡状态，则称该系统是稳定的。否则，则称该系统是不稳定的。

稳定性是控制系统自身的固有特性，取决于系统本身的结构和参数，与输入无关。

第五页，共56页。

稳定程度临界稳定：若系统在扰动消失后，输出与原始的平衡状态间存在恒定的偏差或输出维持等幅振荡，则系统处于临界稳定状态。

a)稳定b)临界稳定c)不稳定第六页，共56页。系统的稳定性与稳定条件结论：系统是否稳定，取决于系统本身（结构，参数），与输入无关稳定性是指自由响应的收敛性定义：系统在初始状态作用下无输入时的初态输入引起的初态输出（响应）收敛（回复平衡位置）系统稳定发散（偏离越来越大）系统不稳定第七页，共56页。线性定常系统：强迫响应输入引起的自由响应系统的初态引起的自由响应自由响应si:系统的特征根系统稳定条件第八页，共56页。当系统所有的特征根si（i=1，2，…，n)均具有负实部（位于[s]平面的左半平面）自由响应收敛，系统稳定若有任一sk具有正实部（位于[s]平面的右半平面）自由响应发散，系统不稳定第九页，共56页。若有特征根sk

=±jω（位于[s]平面的虚轴上），其余极点位于[s]平面的左半平面自由响应等幅振动，系统临界稳定若有特征根sk

=0（位于[s]平面的原点），其余极点位于[s]平面的左半平面自由响应收敛于常值，系统稳定简谐运动第十页，共56页。结论：线性定常系统是否稳定，完全取决于系统的特征根。线性定常系统稳定的充要条件：若系统的全部特征根（传递函数的全部极点）均具有负实部（位于[s]平面的左半平面），则系统稳定。第十一页，共56页。如何判别？求出闭环极点？实验？①高阶难求②不必要如果不稳定，可能导致严重后果思路：①特征方程→根的分布（避免求解）②开环传递函数→闭环系统的稳定性（开环极点易知，闭环极点难求）稳定判据第十二页，共56页。Routh（劳斯）稳定判据

——代数判据（依据根与系数的关系判断根的分布）系统稳定的必要条件设系统特征方程为：s1,s2,…,sn：特征根

因为比较系数：系统稳定的必要条件：各系数同号且不为零或：an>0,

an-1>0,…,a1>0,

a0>0第十三页，共56页。系统稳定的充要条件特征方程：Routh表：其中：Routh判据：Routh表中第一列各元符号改变的次数等于系统特征方程具有正实部特征根的个数。因此，系统稳定的充要条件是Routh表中第一列各元的符号均为正，且值不为零。第十四页，共56页。例1系统的特征方程D(s)=s4＋s3－19s2＋11s＋30＝0

Routh表：第一列各元符号改变次数为2，因此系统不稳定系统有两个具有正实部的特征根

第十五页，共56页。

低阶系统的劳斯稳定判据

二阶系统劳斯阵列为：s2

a0

a2s1

a1 0s0

a2a0>0，a1>0，a2>0从而，二阶系统稳定的充要条件为：第十六页，共56页。

三阶系统劳斯阵列为：s3

a0

a2s2

a1

a3s1 0s0

a3三阶系统(n=3)稳定的充要条件为：a3>0,

a2>0,

a1>0,

a0>0,

a1a2－a0a3>0第十七页，共56页。例2：系统方框图如下，试确定开环增益K为何值时，系统稳定。Xi(s)Xo(s)解：系统闭环传递函数为：此系统为三阶系统，特征方程为：第十八页，共56页。由三阶系统的稳定条件，有：即：当0<K<30时系统稳定。第十九页，共56页。例3：单位反馈系统的开环传递函数为：求系统稳定时K和T的取值范围。解：系统闭环特征方程为：系统稳定条件为：第二十页，共56页。处理方法：用一个很小的正数代替该行第一列的零，并据此计算出阵列中的其余各项。然后令

0，按前述方法进行判别。如果上下各元素的符号相同，则系统存在一对共轭虚根，处于临界稳定状态；如果上下各元素的符号不同，则表明有一个符号变化，系统不稳定。

劳斯阵列的特殊情况

劳斯阵列表某一行中的第一列元素等于零，但其余各项不等于零或不全为零。第二十一页，共56页。例如：s4 1 3 2s3 3 3 0s2 2 2s1 (0)0s0 2事实上，系统特征根如下：－1、－2、±j劳斯阵列第一列上下两项的符号相同，表明系统有一对虚根。系统临界稳定。第二十二页，共56页。

劳斯阵列表某一行全为零劳斯阵列出现全零行表明系统在s平面有对称分布的根，即存在大小相等符号相反的实根和（或）一对共轭虚根和（或）对称于实轴的两对共轭复根；或存在更多这种大小相等，但在s平面位置径向相反的根。j0-aaj0-jajaj0-aa-jbjb第二十三页，共56页。处理方法：利用该零行上面一行元素构成辅助多项式，取辅助多项式导数的系数代替该零行，继续计算劳斯阵列中其余各项。

第二十四页，共56页。-1、-1±j2、

-1±j、1±j显然，系统不稳定。其特征根如下：s7 1 7 4 28s6 3 5 12 20s5 16/3 0 64/3 0s4 5 0 20s3

0 0 20 0s2

(0) 20s1 -400/s0 20例如：第二十五页，共56页。Nyquist稳定判据Ls：[s]平面上一封闭曲线（不经过F(s)的奇点）

1.幅角原理设有复变函数：——几何判据（利用开环频率特性判断闭环系统的稳定性）第二十六页，共56页。幅角原理：ｓ按顺时针方向沿Ls变化一周时，F(s)将绕原点顺时针旋转N周，即包围原点N次。N=Z-PZ：Ls内的F(s)的零点数

P：Ls内的F(s)的极点数第二十七页，共56页。开、闭环零极点与F(s)取

F(s)=1＋G(s)H(s)=1+Gk(s)G(s)H(s)Xi(s)Xo(s)第二十八页，共56页。[s]平面上的

Nyquist轨迹的选取[F(s)]与[GH]平面上的Nyquist轨迹F(s)=1+Gk(s)LF包围原点的圈数=LGH包围（－1，j0）点的圈数N=Z-P第二十九页，共56页。当由－到+时，若[GH]平面上的开环频率特性G(j)H(j)逆时针方向包围（－1，j0）点P圈，则闭环系统稳定。（P为G(s)H(s)在[s]平面的右半平面的极点数）确定P作G(j)H(j)的Nyquist图运用判据判据

对于开环稳定的系统，有P=0，此时闭环系统稳定的充要条件是，系统的开环频率特性G(j)H(j)不包围（-1，j0）点。第三十页，共56页。例1以下两个开环稳定的系统，判断闭环系统的稳定性。稳定不稳定第三十一页，共56页。例2开环不稳定，闭环稳定P=1第三十二页，共56页。开环含有积分环节的Nyquist轨迹当s沿无穷小半圆逆时针方向移动时，有映射到[GH]平面上的Nyquist轨迹为：第三十三页，共56页。当s沿小半圆从=0－变化到=0＋时角从－/2经0变化到/2[GH]平面上的Nyquist轨迹将沿无穷大半径按顺时针方向从经0转到第三十四页，共56页。P=0N=2Z=2例不稳定第三十五页，共56页。应用举例例1不论K取任何正值，系统总是稳定的开环为最小相位系统时，只有在三阶或三阶以上，其闭环系统才有可能不稳定。P=0例2第三十六页，共56页。例2P=0若G(j)H(j)如图中曲线①所示，包围点（－1，j0），则系统不稳定。减小K值，使G(j)H(j)减小，曲线①有可能因模减小，相位不变，而不包围(－1，j0），因而系统趋于稳定。若K不变，亦可增加导前环节的时间常数T4、T5使相位绝对值减小，曲线①变成曲线②。由于曲线②不包围点(－1，j0),故系统稳定。第三十七页，共56页。P=0例3当导前环节作用小，即当T4小时，开环Nyquist轨迹为曲线①，它包围点(－1，j0），闭环系统不稳定；当导前环节作用大，即当T4大时，开环Nyquist轨迹为曲线②，它不包围点(－1，j0），闭环系统稳定。第三十八页，共56页。具有延时环节的系统的稳定性GK(s)＝G1(s)e－s

GK(j)＝G1(j)e－jGK(j)=G1(j)GK(j)=G1(j)－

延时环节不改变原系统的幅频特性，而仅仅使相频特性发生变化。

第三十九页，共56页。例1+G1(s)e－s＝0，G1(j)＝1，G1(j)－＝－解得：＝0.786，＝1.15。所以，＞1.15时，闭环系统不稳定。

=1.2

=1

=0.5

=0第四十页，共56页。四、Bode稳定判据（对数判据）——几何判据（Nyquist判据的引申）Nyquist图与Bode图的对应关系第四十一页，共56页。Nyquist图上的单位圆→Bode图上的0dB线， 单位圆之外→对数幅频特性图的0dB线之上。(2)Nyquist图上的负实轴

→

Bode图上的－180°线，即对数相频特性图的横轴。第四十二页，共56页。ωc：幅值穿越频率（剪切频率）ωg：相位穿越频率(-1,j0)ωcωcωgωg1ωg2ωg3第四十三页，共56页。穿越：开环Nyquist轨迹在(－1，j0)点以左穿过负实轴_+(-1,j0)_+负穿越：开环Nyquist轨迹自下而上的穿越（随ω的增加）

正穿越：开环Nyquist轨迹自上而下的穿越（随ω的增加）穿越的概念（对数相频特性自上而下穿过－180°线）（对数相频特性自下而上穿过－180°线）（对数相频特性穿过－180°线）第四十四页，共56页。半次穿越：起始于（-1，j0）点以左，－180°的穿越沿频率增大的方向，开环Nyquist轨迹自点（-1，j0）以左的负实轴开始向下穿越为半次正穿越；沿频率增大的方向，开环Nyquist轨迹自点（-1，j0）以左的负实轴开始向上穿越为半次负穿越。+_(-1,j0)_+第四十五页，共56页。正穿越一次，Nyquist轨迹逆时针包围(－1，j0)点一圈负穿越一次，Nyquist轨迹顺时针包围(－1，j0)点一圈+_(-1,j0)_+开环Nyquist轨迹逆时针包围(－1，j0)点的次数正穿越和负穿越的次数之差。第四十六页，共56页。判据：闭环系统稳定的充要条件是，在Bode图上，当由0变到＋∞时，在开环对数幅频特性为正值的频率范围内，开环对数相频特性对－180°线的正穿越与负穿越次数之差为P／2。+_(-1,j0)ωg1ωg2ωg3ωc_+第四十七页，共56页。特别P=0时：若ωc＜ωg，闭环系统稳定。

ωc＞ωg，闭环系统不稳定；

ωc=ωg，闭环系统临界稳定+_(-1,j0)ωg1ωg2ωg3ωc_+第四十八页，共56页。五、系统的相对稳定性系统的相对稳定性：GK(jω)靠近(－1,j0)的程度定量指标：相位裕度幅值裕度Kｇ第四十九页，共56页。相位裕度

(phasemargin)

γ在ω=ωc时，GK(jω)的相频特性(c）距－180°线的相位差即

＝(c）－（－180°）

＝