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文档简介
信道是信号从信源传送到信宿的通路。由于信道有干扰,使得传送的数据流(码流)中产生误码。信道编码的目的是提高信息传输或通信的可靠性。信道编码的任务是降低误码率,使系统具有一定的纠错能和抗干扰能力,提高数据传输效率。信道编码的过程是在源数据码流中加插一些码元,达到在接收端进行检错和纠错的目的。在带宽固定的信道中,总的传送码率是固定的,由于信道编码增加了数据量,其结果只能是以降低传送有用信息码率为代价了。第一页,共34页。第一页,共34页。1.编码信道6.1噪声信道的编码问题以上虚线框表示编码信道。
1信息序列M:信源编码器输出的数字序列,也称为信源数据码流。
2信道编码:信道编码器将M按一定规则编成码字或码序列X,码字X作为信道的输入。
3译码:译码器按照一定规则对信道的输出Y作出判决,纠错,尽可能准确地还原M。信道编码器信道信道译码器干扰XMY第二页,共34页。第二页,共34页。1)与信道的统计特征(信道转移概率)有关;2)还与译码规则有关。例一个二元对称信道6.1.1错误概率与译码规则Y1-p=0.1X0p=0.9011p=0.91-p=0.1
如果规定信道输出为0时,译码译为0;输出为1时,译码译为1,则错误概率为0.9。
如果规定信道输出为0时,译码译为1;输出为1时,译码译为0,则错误概率为0.1。错误概率第三页,共34页。第三页,共34页。定义:设信道输入符号集为X={xi,i=1,2,…,r},输出符号集为Y={yj,j=1,2,…,s},若对于每一个输出符号yj都有一个确定的函数F(yj),使对应于惟一的输入符号xi
,
则称这样的函数为译码规则,记为
F(yj)=xi,i=1,2,…,r;j=1,2,…,s
对于有r个输入、s个输出的信道,可得到rs种译码规则。
在所有的译码规则中,不是每一种译码规则都是合理的,因此要讨论选择译码规则的准则。1.译码规则第四页,共34页。第四页,共34页。
若发送端发送的确实是xi
,则为正确译码;于是正确译码条件概率为
p(F(yj)=xi|yj)=p(xi|yj)[后验概率]2.错误概率
在确定译码规则F(yj)=xi,i=1,2,…,r;j=1,2,…,s之后,若信道输出端接收到符号为yj
,则一定译成xi
。
若发送端发送的不是xi
,则为错误译码;则错误译码条件概率,简称为错误概率,记为p(e|yj)p(e|yj)=1-p(xi|yj)第五页,共34页。第五页,共34页。
译码后的平均错误概率是译码错误概率的统计平均,记为pE其含义是平均一个接收符号译码的错误概率。
平均错误概率pE大小是衡量译码整体质量,选择译码规则的总的原则是使平均错误概率pE最小。第六页,共34页。第六页,共34页。定义
选择译码函数F(yj)=x*,对于所有i,使之满足条件
p(x*
|yj)p(xi|yj)
则称为最大后验概率译码准则(MAP)
。6.1.2译码准则1.译码准则
在计算pE
的公式中p(yj)与译码规则无关;欲使pE最小,则应p(e|yj)最小,即后验概率p(xi|yj)最大。
最大后验概率译码也称为最佳译码,一般情况下,由于后验概率p(xi|yj)难以确定,利用先验概率和信道概率进行译码,引入如下准则。第七页,共34页。第七页,共34页。定义
选择译码函数F(yj)=x*,对于所有i,使之满足条件
p(yj|x*
)p(x*
)
p(yj|xi)p(xi)
则称为极大似然译码准则。2.极大似然译码准则利用先验概率和信道概率是已知的,根据Bayes公式p(x*
|yj)p(xi|yj)
p(yj|x*
)p(x*
)
p(yj|xi)p(xi)p(yj)与译码规则无关,一般p(yj)0,则第八页,共34页。第八页,共34页。
当输入符号为等概率分布时,p(xi)=1/r,所以当先验概率p(yj|xi)最大时,即为后验概率p(xi|yj)最大,则
输入符号为等概率分布时,极大似然译码准则与最大后验概率译码准则等价。p(x*
|yj)p(xi|yj)
p(yj|x*
)
p(yj|xi)根据p(x*
|yj)p(xi|yj)
p(yj|x*
)p(x*
)
p(yj|xi)p(xi)第九页,共34页。第九页,共34页。3.平均错误概率根据p(e|yj)=1-p(xi|yj)和p(F(yj)=xi|yj)=p(xi|yj)以及则因为[Bayes公式]所以第十页,共34页。第十页,共34页。当输入符号为等概率分布时,p(x*)=1/r用1减去信道矩阵中对应于F(yj)=x*的概率之和除以r。当F(yj)=x*时,pE计算:4.平均正确概率第十一页,共34页。第十一页,共34页。例已知信道矩阵当输入符号为等概率分布时显然,极大似然译码的平均错误概率pE(A)更小。第十二页,共34页。第十二页,共34页。最佳译码F(y1)=x1
,
F(y2)=x2Y1-pX0p011p1-p信道矩阵为二元对称无记忆信道6.2编码方法6.2.1简单重复编码第十三页,共34页。第十三页,共34页。1=0002=0013=0104=0115=1006=1017=1108=1111=0002=0013=0104=0115=1006=1017=1108=111二元对称信道的三次扩展信道
现在采用简单重复编码,信源如发送符号“0”,则重复发三次0;信源如发送符号“1”,则重复发三次1。
上述发送方式看成二元对称信道的三次扩展,但扩展信源只发送“000”和“111”,不发送如001,010,…。由于有信道干扰,而三次扩展信道可输出000,001,010,…,111。第十四页,共34页。第十四页,共34页。设三次扩展信道输入1=000,8=111;输出1=000,2=001,3=010,…,8=111。扩展信道转移概率为
p(j|i)i=1,8;j=1,2,…,8因为
又因为无记忆信道,
p(j|i)
有如右转移概率第十五页,共34页。第十五页,共34页。因此,三次扩展信道矩阵为P=181
2
3
45678F(1)=1,F(2)=1,F(3)=1,F(4)=8000000001000001000
011111采用极大似然译码,因所以有F(5)=1,
F(6)=8,F(7)=8,F(8)=8100000
101111110111111111第十六页,共34页。第十六页,共34页。输入符号为等概率分布时,平均错误概率为
采用简单重复编码,只能发送两个消息符号,虽然能降低平均错误概率,但信道传送的效率也降低了。第十七页,共34页。第十七页,共34页。
设有M个消息符号,经过信道编码,每个消息的编码码长为n。信息传输率(单位:bit/码符)M个消息符号的最大信息量H(S)=logM
平均一个信道码符所携带的平均信息量称为信道信息传输率,仍记作R,
简单重复编码,发送两个消息符号。bit/码符第十八页,共34页。第十八页,共34页。
在一个二元信道的N次扩展信道中,输入端共有2N个符号序列,若选择其中M个作为消息传输,则
M选取大些,pE也跟着增大,但信息传输率R提高;
M选取小些,pE也跟着减小,但信息传输率R降低。6.2.2平均错误概率与信息传输率
是否有选取合适的N、M,选取合适的符号序列,可以得到较小的pE和较大的R,这是信道编码要解决的问题。第十九页,共34页。第十九页,共34页。
在一个二元信道中,如要传输四个消息,必须有两个码符表示消息,即00,01,10,11。但为了减小pE
还要增加码的长度,对于(5,2)线性码,码的长度为5,即信道编码在两个表示消息的码符基础上再加3个码符。6.2.3(5,2)线性码1.什么是线性分组码?2.如何构造线性分组码?3.线性分组码有哪些类型?4.各种类型线性分组码有哪些性能?(第9章将详尽介绍)第二十页,共34页。第二十页,共34页。定义
设(n,k)分组码C中:
1
C中有全0码元的码字;2
C中任意两个码字的模2运算加法仍为码C的码字;
则分组码C称为(n,k)线性分组码。模2加法运算用表示
00=001=110=111=0模
2加法运算两个码字的模2运算加法X=(10101110)Y=(11101001)例Z=XYZ=(01000111)第二十一页,共34页。第二十一页,共34页。例试构造(5,2)线性分组码信息组m00011011
0000000001000100001100100001010011000111010000100101010010110110001101
01110
01111100001000110010100111010010101
10110
101111100011001
11010
11011
11100
11101
11110
11111
1组2组3组4组5组6组7组8组9组000000000000000000000000000000000000000000000010110101101011011010110101101011100111001110101011011010111100111011010111100111010110111111101110111100111101101111010111011100111001第二十二页,共34页。第二十二页,共34页。定义1
设X
=(x1,x2,…,xn),Y=(y
1,y2,…,yn)是两个
n长二元码字,则码字X与Y之间的Hamming距离,简称码距,定义为6.2.4Hamming距离例设有X=(10101110)
Y=(11101001)其中表示模2加法运算,即则D(X,Y)=4第二十三页,共34页。第二十三页,共34页。1°非负性:
D(X,Y)0,当且仅当X=Y
时等号成立。1.Hamming距离的性质证明性质1°,2°是显然的;2°对称性:
D(X,Y)=D(Y,X)3°三角不等式:
D(X,Y)+D(Y,Z)≥D(X
,Z
)对于性质3°
设X
=(x1,x2,…,xn)Y=(y1,y2,…,yn)Z
=(z1,z2,…,zn)若xi≠zi时,则xi=
yi
,yi=zi不可能同时成立,因此xi≠
yi
,或yi≠zi
至少有一个是成立的,则(xi
yi)+(yizi)
≥xizi
,所以性质3°成立。
第二十四页,共34页。第二十四页,共34页。定义2
在二元码C中,任意两个码字(Ci,CjC)的码距中的最小值称为码C
的最小距离,记为DminDmin=min[D(Ci,Cj)]推论设码C的最小距离为Dmin
,而Ci
是码C的任一码字,若另有一字Cj,当D(Ci,Cj)<Dmin
时,则
Cj
不是Ci就一定不是码C的码字。C1:1000201131014110Dmin=2例有n=3的两组码C2:1000200130104100Dmin=1第二十五页,共34页。第二十五页,共34页。
极大似然译码准则:选择译码函数F(yj)=x*,对于所有i,使之满足条件
p(yj|x*
)
p(yj|xi)
以上准则对于yj,xi
是单符号或者是符号序列均成立。此处设:
xi=(xi1,xi2,…,xin)为输入端作为消息的码字;
yj=(yj1,yj2,…,yjn)为输出端收到的可能有的码字。对于无记忆信道,有
p(yj|xi)
=p(yj1|xi1)p(yj2|xi2)…p(yjn|xin)2.最小距离译码收到yj
译码成
哪一个xi
更合适?第二十六页,共34页。第二十六页,共34页。设码字yj
,xi中的码符是二元码符,且为对称信道,p(yj|xi)
=p(yj1|xi1)p(yj2|xi2)…p(yjn|xin)=PD(1-p)n-DY1-pX0p011p1-p若yjk=xik
,有p(yjk|xik)=1-p;若yjk≠xik
,有p(yjk|xik)=p;
(k=1,2,…,n),
输入码字xi=(xi1,xi2,…,xin)与输出yj=(yj1,yj2,…,yjn)对应码符不同的个数为D个。则yj
,xi的码距是D,可得上式进一步可得第二十七页,共34页。第二十七页,共34页。
当接收到码字yj
后,在输入码字集X={xi,i=1,2,…,r}中寻找一个x*,使之与yj的Hamming距离最短,码字x*作为译码的估值,称为最小距离译码。当p确定时,(1-p)n是常数;p(yj|xi)的大小取决于若p<0.5,则p/(1-p)<1,一般情况p远小于1。若D越大,则p(yj
|xi)越小。D越小,则p(yj|xi)越大。结论
因此求最大似然函数的问题就转化为求Hamming最小距离的问题。根据第二十八页,共34页。第二十八页,共34页。例以下两个码长均为5的码码1:00000,11111
最小距离Dmin=5,但只能传送两个消息;
码字00000或11111在信道传送中产生一位或两位差错,按最小距离译码均可得到纠正;若产生两位以上差错,按最小距离译码反而得到错误译码。第二十九页,共34页。第二十九页,共34页。例码2:00000,01101,10111,11010
最小距离Dmin=3,能传送4个消息;00000011011011111010第1位错10000111010011101010第2位错01000001011111110010第3位错00100010011001111110第4位错00010011111010111000第5位错00001011001011011011可纠正信道传输中产生的一位差错。信道传输中产生的一位差错第三十页,共34页。第三十页,共34页。00000011011011111010第1、2位错11000101010111100010第1、3位错10100110010101101110第1、4位错10010111110010101000第1、5位错10001111000011001011第2、3位错01100000011101110110第2、4位错01
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