线性方程组的数值解法

线性方程组的数值解法第1页，共27页，2023年，2月20日，星期二各种类型的矩阵对角矩阵三对角矩阵上三角矩阵Hessenberg阵对称矩阵埃尔米特矩阵对称正定矩阵正交矩阵酉矩阵初等置换阵置换阵第2页，共27页，2023年，2月20日，星期二三、线性方程组的两类解法直接法迭代法四、本讲内容安排解线性方程组的直接方法高斯消去法矩阵三角分解法高斯主元素消去法√√第3页，共27页，2023年，2月20日，星期二

Matlab与线性方程组求解解线性方程组的迭代法雅可比迭代法高斯-赛德尔迭代法逐次超松弛迭代法√√第4页，共27页，2023年，2月20日，星期二设有线性方程组：AX=b高斯消去法如何求解一般线性方程组？一、高斯消去法§2解线性方程组的直接方法第5页，共27页，2023年，2月20日，星期二（1）消元过程其中第一步：若用乘第一行加到第i行中，得到高斯消去法的步骤：即消去第2至第n个方程中的未知数x1第6页，共27页，2023年，2月20日，星期二第二步：若用…….……第k步：若用乘第k行加到第i行中，得到第7页，共27页，2023年，2月20日，星期二其中第n-1步：……（2）回代过程第8页，共27页，2023年，2月20日，星期二若则第9页，共27页，2023年，2月20日，星期二说明：若线性方程组的系数矩阵非奇异，则它总可以通过带行交换的高斯消去法进行求解。定理5(1)可以通过高斯消去法求解。(2)系数矩阵非奇异，总可以通过带行交换的高斯消去法进行求解。第10页，共27页，2023年，2月20日，星期二算法归纳：

第11页，共27页，2023年，2月20日，星期二乘除法运算工作量消元过程乘除法次数：回代过程乘除法次数：总的乘除法运算次数：非零判断次数最多为：行交换的元素个数为：第12页，共27页，2023年，2月20日，星期二设有线性方程组：AX=b矩阵三角分解法包括不选主元和选主元两种方法。1、不选主元三角分解算法

当A非奇异时，可以将A作LU分解：二、矩阵三角分解法第13页，共27页，2023年，2月20日，星期二其中：(矩阵LU分解)第14页，共27页，2023年，2月20日，星期二于是，可以通过求解两个三角形方程组得到原方程组的解。求解线性方程组的计算公式第15页，共27页，2023年，2月20日，星期二例：利用LU分解法求解方程组第16页，共27页，2023年，2月20日，星期二考虑线性方程组也就是Ax=b.(2.1)进行矩阵分裂A=M-N,(2.2)其中M为可选择的非奇异矩阵,且使Mx=d容易求解.于是,Ax=b⇔x=M-1Nx+M-1b.可得一阶定常迭代法。§3解线性方程组的迭代法第17页，共27页，2023年，2月20日，星期二一阶定常迭代法：第18页，共27页，2023年，2月20日，星期二一、雅可比迭代法可以得到雅可比迭代法的计算公式：对k=0,1,…,第19页，共27页，2023年，2月20日，星期二第20页，共27页，2023年，2月20日，星期二二、高斯—塞德尔迭代法还可根据迭代计算公式：对k=0,1,…,称为高斯—塞德尔迭代法.第21页，共27页，2023年，2月20日，星期二第22页，共27页，2023年，2月20日，星期二高斯—塞德尔迭代法算法描述：第23页，共27页，2023年，2月20日，星期二例：求解如下线性方程组：取初值x(0)=(0,0,0)T,解：第24页，共27页，2023年，2月20日，星期二高斯—塞德尔迭代法又等价于：对k=0,1,…,第25页，共27页，2023年，2月20日，星期二§4Matlab与线性方程组求解线性方程组AX=B的Matlab求解函数⑴X=A\B左除法⑵X=inv(A)*B高斯法⑶[L,U]=lu(X)LU法⑷[L,U]=luinc(X,‘0’)不完全LU分解法⑸[x,flag,relres,iter]=cgs(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0)共轭梯度法⑹[x,flag,relres,iter]=pcg(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0)预共轭梯度法⑺[x,flag,relres,iter]=bicg(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0)双共轭梯度法⑻[x,flag,relres,iter]=bicgstab(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0)双共稳轭梯度法第26页，共27页，2023年，2月20日，星期二⑼[x,flag,relres,iter]=lsqr(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0)最小二乘法⑽[x,flag,relres,iter]=gmres(A,b,restart,tol,maxit,M1,M2,x0)广义残余法⑾[x,flag,relres,iter]=minres(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0)最小残余法⑿[x,flag,relres,iter]=sy