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文档简介
2023年高考数学模拟试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知椭圆的右焦点为F,左顶点为A,点P椭圆上,且,若,则椭圆的离心率为()A. B. C. D.2.在关于的不等式中,“”是“恒成立”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知集合,,则=()A. B. C. D.4.已知函数,,若,对任意恒有,在区间上有且只有一个使,则的最大值为()A. B. C. D.5.已知函数,若对任意,都有成立,则实数的取值范围是()A. B. C. D.6.下列函数中既关于直线对称,又在区间上为增函数的是()A.. B.C. D.7.已知(i为虚数单位,),则ab等于()A.2 B.-2 C. D.8.函数f(x)=2x-3A.[32C.[329.在中,,,,则在方向上的投影是()A.4 B.3 C.-4 D.-310.给出下列四个命题:①若“且”为假命题,则﹑均为假命题;②三角形的内角是第一象限角或第二象限角;③若命题,,则命题,;④设集合,,则“”是“”的必要条件;其中正确命题的个数是()A. B. C. D.11.在复平面内,复数z=i对应的点为Z,将向量绕原点O按逆时针方向旋转,所得向量对应的复数是()A. B. C. D.12.胡夫金字塔是底面为正方形的锥体,四个侧面都是相同的等腰三角形.研究发现,该金字塔底面周长除以倍的塔高,恰好为祖冲之发现的密率.设胡夫金字塔的高为,假如对胡夫金字塔进行亮化,沿其侧棱和底边布设单条灯带,则需要灯带的总长度约为A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知直角坐标系中起点为坐标原点的向量满足,且,,,存在,对于任意的实数,不等式,则实数的取值范围是______.14.已知等差数列的各项均为正数,,且,若,则________.15.如图,在体积为V的圆柱中,以线段上的点O为项点,上下底面为底面的两个圆锥的体积分别为,,则的值是______.16.已知双曲线的一条渐近线为,且经过抛物线的焦点,则双曲线的标准方程为______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆的离心率为,且过点.为椭圆的右焦点,为椭圆上关于原点对称的两点,连接分别交椭圆于两点.⑴求椭圆的标准方程;⑵若,求的值;⑶设直线,的斜率分别为,,是否存在实数,使得,若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.18.(12分)已知点,直线与抛物线交于不同两点、,直线、与抛物线的另一交点分别为两点、,连接,点关于直线的对称点为点,连接、.(1)证明:;(2)若的面积,求的取值范围.19.(12分)已知抛物线Γ:y2=2px(p>0)的焦点为F,P是抛物线Γ上一点,且在第一象限,满足(2,2)(1)求抛物线Γ的方程;(2)已知经过点A(3,﹣2)的直线交抛物线Γ于M,N两点,经过定点B(3,﹣6)和M的直线与抛物线Γ交于另一点L,问直线NL是否恒过定点,如果过定点,求出该定点,否则说明理由.20.(12分)在锐角中,,,分别是角,,所对的边,的面积,且满足,则的取值范围是()A. B. C. D.21.(12分)已知抛物线的焦点为,点,点为抛物线上的动点.(1)若的最小值为,求实数的值;(2)设线段的中点为,其中为坐标原点,若,求的面积.22.(10分)已知各项均不相等的等差数列的前项和为,且成等比数列.(1)求数列的通项公式;(2)求数列的前项和.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】
不妨设在第一象限,故,根据得到,解得答案.【详解】不妨设在第一象限,故,,即,即,解得,(舍去).故选:.【点睛】本题考查了椭圆的离心率,意在考查学生的计算能力.2、C【解析】
讨论当时,是否恒成立;讨论当恒成立时,是否成立,即可选出正确答案.【详解】解:当时,,由开口向上,则恒成立;当恒成立时,若,则不恒成立,不符合题意,若时,要使得恒成立,则,即.所以“”是“恒成立”的充要条件.故选:C.【点睛】本题考查了命题的关系,考查了不等式恒成立问题.对于探究两个命题的关系时,一般分成两步,若,则推出是的充分条件;若,则推出是的必要条件.3、C【解析】
计算,,再计算交集得到答案.【详解】,,故.故选:.【点睛】本题考查了交集运算,意在考查学生的计算能力.4、C【解析】
根据的零点和最值点列方程组,求得的表达式(用表示),根据在上有且只有一个最大值,求得的取值范围,求得对应的取值范围,由为整数对的取值进行验证,由此求得的最大值.【详解】由题意知,则其中,.又在上有且只有一个最大值,所以,得,即,所以,又,因此.①当时,,此时取可使成立,当时,,所以当或时,都成立,舍去;②当时,,此时取可使成立,当时,,所以当或时,都成立,舍去;③当时,,此时取可使成立,当时,,所以当时,成立;综上所得的最大值为.故选:C【点睛】本小题主要考查三角函数的零点和最值,考查三角函数的性质,考查化归与转化的数学思想方法,考查分类讨论的数学思想方法,属于中档题.5、D【解析】
先将所求问题转化为对任意恒成立,即得图象恒在函数图象的上方,再利用数形结合即可解决.【详解】由得,由题意函数得图象恒在函数图象的上方,作出函数的图象如图所示过原点作函数的切线,设切点为,则,解得,所以切线斜率为,所以,解得.故选:D.【点睛】本题考查导数在不等式恒成立中的应用,考查了学生转化与化归思想以及数形结合的思想,是一道中档题.6、C【解析】
根据函数的对称性和单调性的特点,利用排除法,即可得出答案.【详解】A中,当时,,所以不关于直线对称,则错误;B中,,所以在区间上为减函数,则错误;D中,,而,则,所以不关于直线对称,则错误;故选:C.【点睛】本题考查函数基本性质,根据函数的解析式判断函数的对称性和单调性,属于基础题.7、A【解析】
利用复数代数形式的乘除运算化简,再由复数相等的条件列式求解.【详解】,,得,..故选:.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数相等的条件,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,是基础题.8、A【解析】
根据幂函数的定义域与分母不为零列不等式组求解即可.【详解】因为函数y=2x-3解得x≥32且∴函数f(x)=2x-3+1【点睛】定义域的三种类型及求法:(1)已知函数的解析式,则构造使解析式有意义的不等式(组)求解;(2)对实际问题:由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解;(3)若已知函数fx的定义域为a,b,则函数fgx9、D【解析】分析:根据平面向量的数量积可得,再结合图形求出与方向上的投影即可.详解:如图所示:,,,又,,在方向上的投影是:,故选D.点睛:本题考查了平面向量的数量积以及投影的应用问题,也考查了数形结合思想的应用问题.10、B【解析】
①利用真假表来判断,②考虑内角为,③利用特称命题的否定是全称命题判断,④利用集合间的包含关系判断.【详解】若“且”为假命题,则﹑中至少有一个是假命题,故①错误;当内角为时,不是象限角,故②错误;由特称命题的否定是全称命题知③正确;因为,所以,所以“”是“”的必要条件,故④正确.故选:B.【点睛】本题考查命题真假的问题,涉及到“且”命题、特称命题的否定、象限角、必要条件等知识,是一道基础题.11、A【解析】
由复数z求得点Z的坐标,得到向量的坐标,逆时针旋转,得到向量的坐标,则对应的复数可求.【详解】解:∵复数z=i(i为虚数单位)在复平面中对应点Z(0,1),
∴=(0,1),将绕原点O逆时针旋转得到,
设=(a,b),,则,即,
又,解得:,∴,对应复数为.故选:A.【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义,是基础题.12、D【解析】
设胡夫金字塔的底面边长为,由题可得,所以,该金字塔的侧棱长为,所以需要灯带的总长度约为,故选D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
由题意可设,,,由向量的坐标运算,以及恒成立思想可设,的最小值即为点,到直线的距离,求得,可得不大于.【详解】解:,且,可设,,,,可得,可得的终点均在直线上,由于为任意实数,可得时,的最小值即为点到直线的距离,可得,对于任意的实数,不等式,可得,故答案为:.【点睛】本题主要考查向量的模的求法,以及两点的距离的运用,考查直线方程的运用,以及点到直线的距离,考查运算能力,属于中档题.14、【解析】
设等差数列的公差为,根据,且,可得,解得,进而得出结论.【详解】设公差为,因为,所以,所以,所以故答案为:【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式、需熟记公式,属于基础题.15、【解析】
根据圆柱的体积为,以及圆锥的体积公式,计算即得.【详解】由题得,,得.故答案为:【点睛】本题主要考查圆锥体的体积,是基础题.16、【解析】
设以直线为渐近线的双曲线的方程为,再由双曲线经过抛物线焦点,能求出双曲线方程.【详解】解:设以直线为渐近线的双曲线的方程为,∵双曲线经过抛物线焦点,∴,∴双曲线方程为,故答案为:.【点睛】本题主要考查双曲线方程的求法,考查抛物线、双曲线简单性质的合理运用,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)(3)【解析】试题分析:(1);(2)由椭圆对称性,知,所以,此时直线方程为,故.(3)设,则,通过直线和椭圆方程,解得,,所以,即存在.试题解析:(1)设椭圆方程为,由题意知:解之得:,所以椭圆方程为:(2)若,由椭圆对称性,知,所以,此时直线方程为,由,得,解得(舍去),故.(3)设,则,直线的方程为,代入椭圆方程,得,因为是该方程的一个解,所以点的横坐标,又在直线上,所以,同理,点坐标为,,所以,即存在,使得.18、(1)见解析;(2).【解析】
(1)设点、,求出直线、的方程,与抛物线的方程联立,求出点、的坐标,利用直线、的斜率相等证明出;(2)设点到直线、的距离分别为、,求出,利用相似得出,可得出的边上的高,并利用弦长公式计算出,即可得出关于的表达式,结合不等式可解出实数的取值范围.【详解】(1)设点、,则,直线的方程为:,由,消去并整理得,由韦达定理可知,,,代入直线的方程,得,解得,同理,可得,,,,代入得,因此,;(2)设点到直线、的距离分别为、,则,由(1)知,,,,,,同理,得,,由,整理得,由韦达定理得,,,得,设点到直线的高为,则,,,,解得,因此,实数的取值范围是.【点睛】本题考查直线与直线平行的证明,考查实数的取值范围的求法,考查抛物线、直线方程、韦达定理、弦长公式、直线的斜率等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是难题.19、(1)y2=4x;;(2)直线NL恒过定点(﹣3,0),理由见解析.【解析】
(1)根据抛物线的方程,求得焦点F(,0),利用(2,2),表示点P的坐标,再代入抛物线方程求解.(2)设M(x0,y0),N(x1,y1),L(x2,y2),表示出MN的方程y和ML的方程y,因为A(3,﹣2),B(3,﹣6)在这两条直线上,分别代入两直线的方程可得y1y2=12,然后表示直线NL的方程为:y﹣y1(x),代入化简求解.【详解】(1)由抛物线的方程可得焦点F(,0),满足(2,2)的P的坐标为(2,2),P在抛物线上,所以(2)2=2p(2),即p2+4p﹣12=0,p>0,解得p=2,所以抛物线的方程为:y2=4x;(2)设M(x0,y0),N(x1,y1),L(x2,y2),则y12=4x1,y22=4x2,直线MN的斜率kMN,则直线MN的方程为:y﹣y0(x),即y①,同理可得直线ML的方程整理可得y②,将A(3,﹣2),B(3,﹣6)分别代入①,②的方程可得,消y0可得y1y2=12,易知直线kNL,则直线NL的方程为:y﹣y1(x),即yx,故yx,所以y(x+3),因此直线NL恒过定点(﹣3,0).【点睛】本题主要考查了抛物线的方程及直线与抛物线的位置关系,直线过定点问题,还考查了转化化归的思想和运算求解的能力,属于中档题.20、A【解析】
由正弦定理化简得,解得,进而得到,利用正切的倍角公式求得,根据三角形的面积公式,求得,进而化简,即可求解.【详解】由题意,在锐角中,满足,由正弦定理可得,即,可得,所以,即,所以,所以,则,所以,可得,又由的面积,所以,则.故选:A.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用,以及三角形的面积公式和正切的倍角公式的综合应用,着重考查了推理与运算能力,属于中档试题.21、(1)的值为或.(2)【解析】
(1)分类讨论,当时,线段与抛物线没有公共点,设点在抛物线准线上的射影为,当三点共线时,能取得最小值,利用抛物线的焦半径公式即可求解;当时,线段与抛物线有公共点,利用两点间的距离公式即可求解.(2)由题意可得轴且设,则,代入抛物线方程求出,再利用三角形的面积公式即可求
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