信息表示和编码

算

机成

原

理第四、五信息表示与2023年4月7日

星期五算机成原理1本安排1、位数制以及相十制，二制，八制，十六制2、数数据和非数数据的表示方法数数据定点数----原反移浮点数----IEEE754BCD非数数据

ASCII、字算机成原理2本将解决的主要算机中数数据非数数据是如何表示？算机成原理31、位数制位数制：用少量的数字符号，按先后次序把它排成数位，由低到高行数，位，的方法称位数制基数：位制基本特征数，即所用到的数字符号个数例如10制

：0~9十个数表示，基数10：位制中各位“1”所表示的位的常的位制：

2，8，10，16制算机成原理41、十制(Decimal)基数:10;

符号:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9算律:“逢十一”或“借一当十”十制数的多式表示:N

=d

×10n-1

+

d

×10n-2

+

••••••d

×10

+

d

×100

+110n-1n-210d

×10-1

+

d

×10-2+••••••d

×10-M-1-2-mm,n正整数,其中n整数位数；m小数位数。Di表示第i位的系数,10i称位的.例如:一个十制数123.45的表示123.45

=1×10

+2×10+3×100

+4×10-1+5×10-212注：等式左并列表示法等式右多式表示法算机成原理52、二制(Binary)基数:2符号:0,1算律:逢二一或借一当二二制的多式表示:N

=d

×2n-1+

d

×2n-2

+

••••••d

×21+

d

×20

+d-12n-1n-210×2-1+

d

×2-2

+••••••d

×2-m-2-m其中n整数位数；m小数位数。Di表示第i位的系数,2

称i位的.算机成原理63、十六制(Hexadecimal)基数:16符号:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F算律:逢十六一或借一当十六二制的多式表示:N

=d

×16n-1

+

d

×16n-2+•

•••••d

×161+

d

×16

d+016-1n-1n-210×16-1+

d

×16-2+••••••d

×16-m-2-m其中n整数位数；m小数位数。Di表示第i位的系数,16i称位的.例如十六制数(2C7.1F)

的表示16(2C7.1F)

=2×162+12×161+7×160+1×16-1+15×16-216算机成原理74、位数制之的1）R制成十制的方法按展开法:先写成多式,然后算十制果.N=d

d

••••••d

d

d

d

••••••dn-1

n-21

0

-1

-2-m=d

×Rn-1

+

d

×Rn-2

+

••••••d

×R+

d

×R0

+

d

×R-1n-1n-210-1+••••••d1

+

d

×R-2×R-m-m-2例:写出(1101.01)

,(237)

,(10D)

的十制数2816(1101.01)

=1×23+1×22+0×2=8+4+1+0.25=13.251+1×20+0×2

+1×2-1-22(237)

=2×82+3×81+7×8

=128+24+7=15908(10D)

=1×162+13×160=256+13=26916算机成原理82）十制成二制方法一般分两个方法：方法1、整数部分的除2取余法（基数除法）小数部分的乘2取整法（基数乘法）方法2、减定位法算机成原理9除基取余法：把定的除以基数,取余数作最低位的系数,然后将商部分除以

基数,余数作次低位系数,重复操作直至商0例如：用基数除法将(327)成二制数10余数2327222222222163811140201052101000101(327)

=(101000111)210算机成原理10乘基取整法(小数部分的)把定的十制小数乘以

2

,取其整数作二制小数的第一位,然后取小数部分乘以2,将所的整数部分作第二位小数,重复操作直至得到所需要的二制小数例如:将(0.8125)成二制小数10整数部分0.2

×0.8125=1.6252

×0.625=1.252

×0.25

=0.52

×0.5

=11011(0.8125)

=(0.1101)210算机成原理11例:将(0.2)成二制小数10整数部分00.2

×

2

=

0.40.4

×

2

=

0.80.8×

2

=

1.60.6

×

2

=

1.20.2

×

2

=

0.40.4

×

2

=

0.80.8×

2

=

1.60.6×

2

=

1.200110011(0.2)

=

[0.001100110011….]

210算机成原理12减定位法将十制数依次从二制的最高位行比，若减位置1，减去后再往下比，若不减位0，重复操作直至差数0。512

256

128

64

32

16

8

4

2

1例如：将

(327)成二制数

256<327<512101

256128327-

256=7171<

12871

-

64=77

<

3201

640

327

<

167

<

87

-

4

=33

–

2

=11

–

1

=00

160

81

41

211算机成原理133）其它制之的直接法二制(B)成八制(Q)例：(10110111

.01101)2二制:

10,110

,111

.011,01二制:

010,110,111

.

011,010八制:

2

6

7

.

3

2(10110111.01101)

=(267.32)

82八制(Q)二制(B)例如:(123.46)8=(001,010,011

.100,110)2=(1010011.10011)2算机成原理14二制(B)成十六制(H)例：(110110111.01101)

21,1011,0111

.0110,1二制:二制:

0001,1011,0111

.0110,1000十六制:

1B

7

.

6

8(10110111.01101)

=(1B7.68)

16210110111.01101

B

=1B7.68

H十六制(H)成二制(B)例:

(7AC.DE)16=(0111,1010,1100.1101,1110)2.1101111

)2算机成原理15常用信息分及表示原反正整数

定点整数无符号数--数数据定点数定点小数浮点数有符号数移信息十制数非数数据--字符、字等算机成原理16名解：真和机器数真:正、号加某制数的形式称真。如+3,-5等，即。机器数：符号以及数都数化的数称机器数如

：X=01011

Y=11011即真在机器中的表示，称机器数算机成原理17数据表示算机中常用的数据表示格式有两种:•

定点格式——容的数范有限，但要求的理硬件比。•

浮点格式——容的数范很大，但要求的理硬件比复。1.定点数的表示方法定点表示：定机器中所有数据的小数点位置是固定不的。(由于定在固定的位置，小数点就不再使用号“.”来表示。)通常将数据表示成小数或整数。算机成原理18定点数：小数点位置固定不的数定点整数：小数点固定在最低位数的右面定点小数：小数点固定在最高位数的后面，即小数表示x

x

x

x

x

x

x

xx

x

x

x

x

x

x

x01(a)2345定点整数6701234567(b)定点小数数范

：小数

0≤

|x|≤

1

–2

-n整数

0≤

|x|≤

2

–1n目前算机中多采用定点整数表示，因此将定点数表示的运算称整数运算。算机成原理19无符号数的正整数数表示：x

=x

x

x

…x

x

={0,1},

0≤i≤n0

1

2n

ix

2

+x

2n-1

+…+xn-1

1

+x2nn01数范n+10≤x≤2

-1例如:x=010101其数=24+2

+2

=2102在数据理的程中，如不需要置符号位可用全部字来表示数大小。如8位无符号数的取范是0~255（2８－１）。算机成原理20算机中定点数表示方法——原、、反、移。算机成原理21数的机器表示1、原表示法(1)定点小数若定点小数的原形式x0.x1x2···xn,（共n+1位）原表示的定是：x0

<

1-1

<

x

0

x[x]

=1

–x=

1+

|x|原式中[x]

是机器数，x是真。原(2)定点整数若定点整数的原形式x0x1x2···xn,原表示的定是：x2

x0

<

2n[x]

=n–x=

2n+

|x|x-2

<

0原n算机成原理22例1:

x=

+0.1001,[x]

=

0.1001原

x

=

-0.1001,[x]

=

1+

|x|

=

1.1001原于0，原机器中往往有“+0”、“-0”之分，故有两种形式：

[+0]

=0.000...0原

[

-0]

=1.000...0原例2：

x

=

0.10110

；

-0.10110

；

0.00001.10110

；[x]

=

0.10110

；0.0000

1.0000原例3：

x

=

+1011共用5位表示，n=4[x]

=01011原x

=

-1011[x]

=

2n

+

|x|=10000

+

|-1011|=11011原算机成原理23原小数的表示范:最大:

1-

2-n最小:-(1-2-n)若原小数的位数是8位,其数表示的最大、最小：8位:

127/128，-127/128原整数的表示范:最大:

2

-1n最小:-(2

-1)n若原整数的位数是8位,其表示的最大、最小8位:

127，-127，算机成原理24(3)原符号位加上数的，0正1;原零有两个，+0和

-0不同;原加减运算复，乘除运算；原表示，易于同真之行。算机成原理252、表示法(1)模的概念假两位十制数算:•

77

—38

=

？•77

+

62

=

13977

—38

=

77

+

62

=

39

（mod

100

）由此可以看出，减38和加62是等价的，前提是模100是正确的。个100

在数学上称模数

算机成原理26模的概念算机中运算器、寄存器、数器都有一定的位数，不可能容无限大的任意数。当运算果超出的最大表示范，就会生溢出，此所生的溢出量就是模（module）。因此，可以把模定一个量器的容量。如：一个4位的数器，它的数0--15。当数器15之后再加1，个数器就生溢出，其溢出量16，也就是模等于16。•

定点小数的溢出量2，即以2模；•

一个字n+1位的定点整数的溢出量2n+1，即以2n+1模。算机成原理27定:任意一个数X的[x][x]

=

X

+

M

（Mod

M），当X>0X

+

M>M自失，[x]

=

X

（Mod

M）当X<0X

+

M=

M-

|

X

|

<

M，[x]

=

X

+

M

（Mod

M）算机成原理28(2)定点小数若定点小数的形式x0.x1x2···xn,表示的定是：x0

x<

1[x]

=（mod2）-1

x

02

+

x=

2

–|x|例:

x=

+0.1011,[x]x=

-0.1011,[x]==0.101110+x=

10.0000-0.1011=

1.0101于0，[+0]

＝[-0]

＝0.0000注意：0的表示只有一种形式。

(mod

2)算机成原理29(3)定点整数若定点整数的形式x0x1x2···xn,表示的定是：x0

x<

2n[x]

=）（mod

2n+1-2

x

0n2n+1n+1

+

x=

2

–|x|例:

x=

+0111,[x]

=00111x=

-0111,[x]

=2

–|-0111|=100000

–0111=110014+1算机成原理30的表数范n+1位整数:2n

-1

___

-2n+1位小数:1-2-n___-

1n若整数的位数是8位,其表示的最大、最小:

-128

--127若小数的位数是8位,其数表示的最大、最小：-1

__1-2-7

即

-1

—

127/128算机成原理31(4)特点最高一位符号位，0正1；零有唯一；能很好用于加减运算。足

[-x]

+

[x]

=0

[+7]

=00111[-7]

=11001最高位参与演算，与其它位一待。展方便。5位的展8位

00111

000

0011111001

111

11001算移位。假[x]

=

x0.x1x2···xn,[x/2]

=

x0.x0

x1x2···xn-1算机成原理32最大的点就是将减法运算成加法运算。[X+Y]

=

[X]

+[Y][X

-

Y]

=

[X]

+

[-Y]例如：

X=(11)

=(1011)210Y=(5)

=(0101)102已知字n=5位[X]

+

[-Y]=01011+11011=100110=00110=(6)10注：

最高1位已超字故掉[X-Y]

=[0110]

=00110算机成原理33的便方法正数的在其二制代前加上符号位0；数的是将二制代前加0后,再全部按位取反，然后在最低位上加1。例x=1010，y=-1010，求[x]

和[y]

。解：根据的方法，正数的与它的二制表示相同，所以加上符号位0后得[x]

=01010[x]

=00001010数的的方法1）将二制代前加0

0

1

0

1

02）再全部按位取反1

0

1

0

13）然后在最低位上加1

1

0

1

1

0y

=10110[

]算机成原理34原与之的已知原求正数[X]

=[X]原数

符号除外，各位取反，末位加1例：X=

-1001001[X]

=11001001原[X]

=10110110+1=10110111[X]

=

2

X=100000000-1001001=

0110111+17+11

0

0

0

0

0

0

0

0-1

0

0

1

0

0

11

0

1

1

0

1

1

1更的方法是？算机成原理35由[X]

求[-X]运算程是：将[X]同符号一起将各位取反，末位再加1。例：字N=8位X=+1001001[X]

=

01001001各位取反

10110110末位再加1

10110111即：

[-X]

=

10110111算机成原理36与真之的求方法nn-1x

=

-x

2

+

x

2

+

…

+

x

2

+

x01n-1n例如：10000100

的真-128+4=-124符号位“1”--，余下求数部分符号位“0”--正，余下数部分例：[X]

=

01001001

X=01001001例：[X]

=1000

0000

X=-

10000000B=

80H=-128算机成原理373、反表示法所反,

就是二制的各位数01，10。(1)定点小数定x0

x

<

1[x]

=反-1

x

0(2–

2-n)

+

x一般情况下,于正数

x

=

+0.x1x2xn,有：

[x]

=

0.x1x2xn反

于数

x

=

-0.x1x2xn,有

[x]

=1.x1x2xn算机成原理38反例：

x

=

0.10110

-0.10110

0.0000[

x

]1.1111=反0.00000.10110

1.01001(2)由反求的公式由反与的定即：若要一个数，其方法是符[x]

=

(2-2-n)

+

x反号位置1，其余各位01，10，然后在最末位(2-n)上加1。[x]

=2

+

x得：[x]

=[x]

+

2-n反算机成原理39(3)定点整数定x(2n+10

<

2n

x[x]

=x

-2nx

0反(4)数反符号位跟每位数的反，0正1；反零有两个，+0和

-0

的不同；反以用于加减运算；反的表数范与原相同。算机成原理404、移表示法(1)移定移通常用于表示浮点数的。假定点整数移形式x0x1

x2

···xn，移的定是：[x]

=

2n+

x-2

x2nn移8

位移表示的机器数数的真在数上向右平移了128

个位置。数正数+127机器数0-128表示范：00000000

~

11111111算机成原理41例1：当正数

x

=

+10101,[x]

=

2

+

10101=

1,10101；5移例2：当数

x

=

-10101,[x]

=

2

+ｘ

=

2

–

10101=

0,0101155移例3：0的移是唯一的，即：[+0]

=

[­0]=

100…00移

移[注意]:移中符号位

x0表示的律与原、、反相反——“1”正，“0”。算机成原理42(2)移和的关系:x

x0

<

2n的定：[x]

=2

+x

-2n

x

0n+1移的定:[x]

=

2n+

x-2

x

2nn移[x]

=

[x]

+

2移n，当

0

x<

2n[x]

=

2n+[x]

-

2n-1

=

[x]

-

2n当

-2

x

0，n移算机成原理43移、和真之的关系真真（十制）

（二制）[x][x]移（移）（）-128-127…-1000,0000

1000,0000

0000,0000-0111,1111

1000,0001

0000,0001………-1-0000,0001

1111,1111

0111,11110000,0000

0000,0000

1000,00000000,0001

0000,0001

1000,000101………1270111,1111

0111,1111

1111,1111算机成原理44(3)移的特点•

在移中，最高位0表示数，最高位1表示正数，与原、、反的符号位取正好相反。•移全0所的真最小，全1所的真最大!因此，移的大小直地反映了真的大小，将有助于两个浮点数行大小比。•真0在移中的表示形式是唯一的，即：[+0]

=

[­0]=

100…00移移•移把真映射到一个正数域，所以可将移无符号数，直接按无符号数大小。•同一数的移和除最高位相反外，其他各位相

同。算机成原理45制表示法小[X]

、[X]

、[X]用“0”表示正号，用“1”表示号；原反[X]

用“1”表示正号，用“0”表示号。移如果X正数，[X]

=[X]

=[X]反原。如果X0，[X]

、[X]

移有唯一，[X]

、[X]

有两种。反原移与的形式相同，只是符号位相反。算机成原理465、小数据四种机器表示法中：(1)移表示法主要用于表示浮点数的。(2)表示加减法运算十分方便，因此目前机器中广泛采用表示法。(3)在一些机器中,数用表示,存,运算。在有些机器中，数用原行存和送，运算改用。有些机器在做加减法用运算，在做乘除法用原运算。算机成原理47例：机器字16位,定点表示,尾数15位,数符1位,：(1)定点原整数表示,最大正数是多少?最小数是多少?(2)定点原小数表示,最大正数是多少?最小数是多少?;解：(1)定点原整数表示

最大正数＝(215－1)

＝(＋32767)10100111

111

111

111

111

最小数＝－(215－1)

＝(－32767)10101111

111

111

111

111(2)定点原小数表示最大正数＝(1－2－15)

＝(＋0.111...11)210最小数＝－(1－2

)

＝(－0.111..11)－15102算机成原理48浮点数的表示方法－289×10

=

0.9

×10-272×10

=

0.2

×103433——Ｎ=10E·Ｍ

（十制表示）任意一个十制数

Ｎ

可以写成＝Ｎ

10

×Ｍ算机中一个任意制数

Ｎ

可以写成E

Ｎ＝Ｒ

×mem

：尾数，是一个小数。e

：浮点的指数,

是一个整数。R

：基数，于二数的机器是一个常数，一般定Ｒ2，8或16。算机成原理49一个机器浮点数由和尾数及其符号位成：尾数：用定点小数表示，出有效数字的位数，决定了浮点数的表示精度；：用定点整数形式表示，指明小数点在数据中的位置，决定了浮点数的表示范。E

E

E

……E

M

M

M

……Ms12ms12n符数符尾数(2)浮点数的准格式（Ｎ＝Ｒ

.m）便于件移植，使用

IEEE（气和子工程会）准

eIEEE754准：尾数用原；用移；基2算机成原理50•

按照IEEE754

的准，32位浮点数和64位浮点数的准格式：31

30

23

220位

S

EM3263

6252

51064

位SEMS——尾数符号，0正1；M——尾数,小数表示,

小数点放在尾数域的最前面。采用原表示。E——，采用“移”表示;符采用含方式，即采用“移”方法来表示正指数。算机成原理51(3)

浮点数的格化表示浮点数是数学中数的子集合，由一个小数乘上一个指数来成。一个浮点数有不同的表示：0.5；

0.0510

；

0.005102

；

5010-21提高数据的表示精度，需做格化理。算机成原理52浮点数的格化格化目的：了提高数据的表示精度了数据表示的唯一性尾数R制的格化：大于或等于1/R二制原的格化数的表形式：正数

0.1xxxxxx数

1.1xxxxxx正数

0.1xxxxxx数

1.0xxxxxx尾数的格化的表形式：尾数的最高位与符号位相反算机成原理53格化理：在算机内，其小数部分被称浮点数的尾数，非

0的浮点数，要求尾数的必>=1/2，即尾数域的最高有效位1,称足种表示要求的浮点数格化表示:0.1000101010把不足一表示要求的尾数，成足一要求的尾数的操作程，叫作浮点数的格化理，通尾数移位和修改。算机成原理54藏位技:既然非

0浮点数的尾数数最高位必定1，在保存浮点数到内存前，通尾数左移,行把位去掉,

用同多的尾数位就能多存一位二制数，有利于提高数据表示精度，称种理方案使用了藏位技。0.1100010

1.100010当然，在取回的浮点数到运算器行运算，必先恢复藏位。算机成原理55(4)格化浮点数的真31

30

23

2232位浮点数格式：

S

E0M-2[x]

=

x0x1x2···xn移定：移

x2n=

2

+

xnn一个格化的32位浮点数ｘ的真：x

=

(-1)s

(1.Ｍ)

2Ｅ－127e=Ｅ

–127一个格化的64位浮点数ｘ的真：x=

(–1)s×(1.Ｍ)×2Ｅ－1023里e是真，Ｅ是机器数56算机成原理例：若浮点数x的二制存格式(41360000)

，求其32位浮点数的十制。16解：

0100,0001

,0011,0110,0000,0000,0000,0000数符：0：1000,0010尾数：011,0110,0000,0000,0000,0000指数e＝－127

＝10000010

－01111111

＝00000011=(3)

10

包括藏位1的尾数：1.M＝1.011

0110

0000

0000

0000

0000

＝1.011011于是有

x＝(－1)

×1.M×2es

＝＋(1.011011

)×23＝＋1011.011

＝(11.375)

10算机成原理57例:

将十制数20.59375成32位浮点数的二制格式来存解：首先分将整数和分数部分成二制数：20.59375

＝10100.10011然后移小数点，使其在第1，2位之

10100.10011

＝1.010010011×2

4

e＝4

于是得到：e=Ｅ

–127S＝0，E＝4＋127

＝131=1000,0011

，M＝010010011最后得到32位浮点数的二制存格式0100

0001

1010

0100

1100

0000

0000

0000

＝

(41A4C000)

16算机成原理58例：将十制数-0.75表示成精度的IEEE754准代解：-0.75=

-3/4=

-0.11

=

-1.1×2

-12=(-1)

×(1+

0.10000000000000000000000)×2-11=(-1)1×(1+

0.10000000

0000

0000

0000000)×2126-127s=1，E=126

=

01111110

，

F

=

1000…

000。1021

011,1111,0

100,0000,0000,0000,0000,0000B

F

4

0

0

0

0

0

H算机成原理59例：求如下IEEE754精度浮点数的十制数：1

10000001解：S=1，E=129，F

=

1/4=

0.25，×(1+0.25)×2(-1)1129-127=

-1×1.25×2=

-1.25×4=

-5.02例：数据123

作格化浮点数的，假定1位符号位，基数2，5位，采用移，尾数10位，采用。10解：123

=1111011

=

0.1111011000

×271022[7]

=10000+00111=

10111移[0.1111011000]

=0.1111011000[123]

=0101111111011000浮算机成原理60IEEE754浮点数的范格式精度最小E=1,M=0,最大E=254,f=.1111

,…1.111

1

2254-1271-127-1261.0

2

=2×…

×127-23=2

(2-2

)E=2046,×f=.1111

,双精度E=1,M=0,…1.111

1

22046-10231-1023-10221.0

2

=2×=2

…1023

×(2-2-52)×算机成原理61浮点数准(IEEE754)IEEE

精度浮点数格式符号位

尾数表示NaN0/10/102552552552551-254000非非NaN+INF-INF0100/10/10/1f(-1)(-1)s1.f

2e-127×

×0.f

2f(

0)非se-126×

×+0/-000算机成原理62十制数的用四位二制代的不同合来表示一个十制数的方法，称二—十制，也称BCD(BinaryCodedDecimal)。1

二—十制原理1、二—十制的都采用的十制串的方法，即四个二制位的来表示一个十制数。2、各种的区在于用哪十个状。的原是：要考入和出方便；内部运算，加、减运算要尽量；在特定合，可能有其它一些要求。3、从每个二制位是否有确定的位区分，可把二—十制分有和无。算机成原理63主要有两种形式；（l）字符形式。即一个字存放一个十制数位或符号位，存放的是0～9十个数字和正号的ASCll。例如，＋123的2B

3132

33，占用

4个的字，里的2B，31，32和

33是用十六制形式出的，2B表示正号，31，32和33分表示数字1，2和3。一123在主存中2D31

32

33，其中

2D号。种表示方式运算起来很不方便，因它的高4位不具有数的意，它主要用在非数算的用域。（2）的十制数形式。用一个字存放两个十制数位，既省了存空，又便于完成十制数的算运算、其用BCD或ASCll的低4位表示。符号位也占半个字并放在最低数字位之后，其可从4位二制中的6种冗余状中用。例如，用C（l2）表示正号；D（13）表示号。并定数字和符号位个数之和必偶数，否在最高数字之前一个0。例如，＋123被表示成123C（2个字），一12被表示成012D（2个字）。算机成原理64无中，用的多的是余3(Excess-3code)和格雷(Graycode)，格雷又称循。1.余3（1）余3是在8421的基上，把每个代都加上0011而形成的。（2）普通8421的加法器仍能余3加法器直接利用。2.格雷（1）格雷的是使相的两个代，只有一个二制位的状不同，其余三个二制位必有相同状。（2）点：从一个到下一个相，只有一个位的状生化，有利于保代的性。在模/数字和生拍位等用合特有用。有关二—十制的部分方案列于表中。算机成原理65二—十制的部分方案有无十

制符号8421(BCD)余3格雷格雷2421

5211

84-2-1

4311(1)(2)01234567890000

0000

0000

0000

0000

0011

00000001

0001

0001

0111

0001

0100

00010010

0010

0011

0110

0011

0101

00110011

0011

0101

0