2023年高考数学大招21凹凸反转

大招21凹凸反转

大招总结

说到凹凸反转这个方法，估计有不少同学也是略知一二.在2014年，全国1卷(理科)

导数压轴就考到一个比较复杂的恒成立证明问题，当年官方标答的解法就用了凹凸反转.在

本讲中，我们将详细介绍一下这个方法.

题型及处理方法：

题型1：式子比较复杂的恒成立证明

例如，要证明/(力>0,而这里/(X)又比较复杂，直接分析其单调性与值域比较困难,

这时可以考虑将/(x)>0通过一些手段等价转化为〃(x)>g(x),如果此时可以容易求出

A(x)最小值〃(西)=〃2与g(x)最大值g(W)=M,而且容易得出(或者mNM

且x产9)，那么就可以说明〃(x)>g(x),即〃x)>0.

题型2:比较复杂的恒成立(存在)求参

这里为了更为通俗易懂，咱们以一个简单的例子来说明这个方法的原理.

r2+2x+3

例如，VxwR,-X<一?二成立，则。的取值范围为.

e

对于此题，如果将原式转为—xe—+2X+3,可以很容易判断出f(x)=-xex+a和

g(x)=d+2x+3单调性，且可以发现他们都在x=-l处取得极值(如上图所示)，所以要

使原不等式成立，只需/(—l)<g(—1)即可，即e*“<2,«<l+ln2.

不难看出，这种做法其实就是将原式等价变形，使得不等号左右两侧函数形成“顶对顶”

的情形，进而解出参数范围.而如何构造出这样的“顶对顶”函数，这就需要对常见的函数

图像有一些了解.在这一讲，我们会简单介绍一些常见的函数模型作为引导.

常用基本函数模型：

基

本erX

eA-%x-exxex

模X7

型

d

图

■jL

像4

r

部

分

同

e*-2xlx2-evev

类(x+l)ev

x+12x+l

型e2'-JCx-e2v

^2.r+lev+l

函xe2r+l

ex-2x2v

数2x-eX

举

例

基

本InxX

x-lnx\nx—xxlnx

模X\nx

型

¥y

图^

—

像

部

分

同

2x—\nx

\nx-x2

类

x-ln(2x+l)InxX

型(x-l)lnx

ln(2x+l)-xx+1In(x-l)

函

x2-Inx

\nx-2x

数

举

例

这里只给出了部分函数，可以对初学者起引导作用，而在实际解导数压轴题的时候，所

用到的函数模型，远不止这些.例如对勾函数，二次函数，三角函数，或者各种组合函数，

只要研究起来比较方便，都可以用来解题.

凹凸反转法属于一个尝试性方法，对于基本方法难以处理的形式复杂的式子，可以考虑

使用此法.但要想灵活应用，就得熟知各种基本函数模型和一些基础的极限知识，要在短时

间内凑出口凸函数，并且要在短时间内判断出此法能否成功解题.如果能成功，那在考场上

绝对是大赚.

典型例题

例1.(2014.全国高考真题(理))设函数〃x)=ae'lnx+—,曲线y=/(x)在点

X

(1J(1))处的切线方程为y=e(x—l)+2.

⑴求a,b.

⑵证明：/(%)>1.

解(1)”=1,b=2.

(2)方法1：(凹凸反转)：

2

即证：evlnx+—ev-1>1

x

左右同时除以e\让原式中的元素变得熟悉，即lnx+2>4.

exe

2x

此时，如果左右同时乘以X,会发现不等式左右两侧都是基本的凹凸函数.^lnx+->7.

接下来，分析不等式左右两侧函数最值即可.

2

令g(x)=xlnx+-,易得g(x)2g

e

y]

令〃(x)=1,x>0,易得〃(x)«秋1)=一.不能同时取“=”

即g(x)>〃(x)

2

所以e'lnx+-e'T〉1

X

注意：正式的解答过程中，得求导分析g(x),/z(x)单调性，才能得出最值.

方法2：对于此题，同构也是不错的选择，这里不再赘述.

例2.(2018.全国高考真题(文))已知函数〃x)=一~—

(1)求曲线y=/(x)在点(0,-1)处的切线方程；

(2)证明：当时，/(x)+e>0.

解:(1)略

(2)方法1：(常规构造函数)

当aNl时，/(x)+e>(x2+x-l+eJt+l)e_x.

令g(x)=f+x—1+e'",则g，(x)=2x+l+ev",gff(x)=2+ev+l>0.

当x<—l时，g'(x)<g'(—l)=0,g(x)单调递减;

当尤>—1时，g'(x)>g'(—1)=0,g(x)单调递增；

所以g(x)2g(—1)=0

Hltt/(x)+e>0.

方法1:(凹凸反转)

..../\ax~+x—1%2+X-1

当a型时，〃x)+e=F—+此+e.

ex

.,__x~+x—1八

故只需x证：----；—+e>0.

e

分离为熟悉的函数，即证：¥+工-1?一尸.

可以看出，左右同时加x,不等式左右两边即为常见的基本凹凸函数模型.

接下来，检验左右两侧最值即可.

即证/+2%-12%-6川

令p(x)=f+2x-l,易得〃(x)2〃1)=-2.

令q(x)=x—e。易得q(x)Wq(—1)=—2.(这里卷面书写得求导说明下函数单调性，再

得出最值)

BP/?(%)>-2>^r(x),刀=一1时取"="

综上：当aNl时，/(x)+e>0.

e

例3.当时，证明：％o2e@>lnx+l.

这已经是第三个例题了，我们写一个正规的过程吧.

e胃登

解：证明：由于x>(),故当时，x2eftV>x2e3,故只需证无?e3>mx+l

er

e3lnx+1

>

等价于证：~x3

ex

z、eT

令"x)=下x>0,则((x)=

当xe(o,m时，r(x)<0,单调递减;

当时，r(x)>0,/(x)单调递增；

所以=.

22

人/、lnx+1，/、x-3x(lnx+1)-2-3Inx

令g(x)=1T—g(x)=------------'

(_2\

3

当尤E0,e时，g'(x)>(),g(x)单调递增；

\/

(2、

当e3,+oc时，g<x)<0,g(x)单调递减;

(二、e2

所以g(x)«ge3=—.

综上，当x>0时，〃x)>g(x).

、e

所以,。之§时,x2eav>lnx+l

例4.(2021.湖北模拟)已知函数/("=千'其中e=2.71828…为自然对数的底数.

(1)求/(X)的单调区间；

(2)e'—2xln龙一米一120对Vx>0恒成立，kmM-2,证明：A>1.1.

解方法1法1)U(x)=>e；e'+l="(x_i+eT),

易证当xwO时，e'>x+l,则e-*>—x+l,即e-'+x-l>。,

所以/'(x)>(),故在(-8,0),(0,加。)上单调递增;

ex-l

(2)由题意得Vx>0,--------2\nx>k,

x

e'—1

令尸(x)=---------21nx,要证即证产

2冗•e'—e"—2x+1

令g(x)=x・e'-e"-2x+l,则g'(x)=xe"-2,g"(x)=(x+l)・e">0,

所以g'(x)在(0,m)上单调递增，又以(0)=—2<0,g'(l)=e-2>0.

2

故*«0,1),使得g'U)=O,即e%=—,

所以Vxe(O,Xo),有g<x)<0,g(x)单调递减，

Vxe(x0,-H»),g<x)>0,g(x)单调递增.

所以g(x)»g(xo),g(0)=0,

/、23A〉。,

g(x。)="0,e"—e'。—2XQ+1=2-------2/+1<0,g

（3）

所以存在％€X,-

o，使得g（玉）=°，即9=?；

且满足Vxe(O,x,),F(x)<0,E(x)单调递减；

Vx€&,+o)),F(x)>o,尸(x)单调递增；

■-11

所以F(x)NR(xJ=———21nx-21nXj;

X]X—1

12

令=-21nx,则--<0,故故x）单调递成

x-lif

33=2-n|,

又X]</,所以〃«)〉/?

(33、333?°

则只需证明2l—ln—>l.l=ln-<0.45——<e'0.45一<e9,

2-222>

20

Q（3、⑻9

又e>§=2・6,可先证明-<,又35=243,28=256,则35<28,

3

219、20\21(3、208\9

所以33°<248=,所以5<<e9,证毕！

(IJ<0-(1)<»7737

注：关于20—lng）>l.l=lng3<0.45的证明下面再给出一种证法：

2

由对数均值不等式（需要证明）得即1113-1112<一,

In3-ln26

13

又一<0.452,所以In二=ln3—ln2<0.45,证毕！

62

方法2凹凸反转

x>0,，要证原式

el-1

只需要------21nx-攵N0

X

稍作变形^^^-x+x-21nxNk恒成立

X

..x-l/、

构造g(x)=―e；——X,g'(x)=--------------

XX

由单调性可知gGL=g⑴=e_2

2

构造根(x)=x-21n九，m'(x)=1—

x

由单调性可知加(力,皿=2-21n2

因此Ave—2+2—21n2=e—21n2*1.3

因此爆ax>1」

-jr~Z7Y_3

例5.(2021春汇川区校级月考)已知函数/(x)=xlnx,g(x)=-—-~-

(1)求〃力的最小值；

(2)证明：对一切xe(0,+oo),者除Inx>一7---成立.

解⑴/")的定义域是(0,+为)，

/"(x)=lnx+l,

令r(x)>o,解得：尤>：,

令/'(x)<0,解得：0<x<1,

故/")在(0,j递减，在1%+8)递增，

函数/(x)的最小值=一:；

(2)凹凸反转

JQ2

证明：问题等价于证明xlnx〉/一1,xe(0,+8),

由(1)知道/(X)的最小值/=；

x*21—X

设〃(x)=/_jxe(0,+oo),则

故〃(x)在(0,1)递增,在(1,+8)递减，

易知〃(x)m”=〃(l)=-J

/、12

故对一切xe(0,+8),都有lnx>-Y---成立.

7eex

总结：

在例1中，利用原式中仅有的各种“元素”，通过简单变形就实现了凹凸反转.在例2中，

在原式的简单变形的基础上，给原不等式的左右两边同时加(减)某个函数，实现凹凸反

转.在例3中，在原式的简单变形的基础上，给原不等式左右两边同时乘(除)某个函数,

实现凹凸反转.这正是实现凹凸反转的三种最基本的常用手段.

在尝试过程中，尽量保证对所凑出的函数比较熟悉，这样可以在较短时间内判断此法能否成

功解题.

自我检测

1.(高考真题)已知函数/(力=恁"-1!1%-1.

(D设x=2是/(X)的极值点.求“，并求〃力的单调区间;

(2)证明：当。2：时，/(x)>0.

答案：

(1)略

(2)证明：当时，/(x)>ev''-lnx-1.

故只需证：e'1—Inx—10.即证：e'1-x—l^lnx-x.

令g(x)=e'T-1一1,x>0,则g'(x)=ei-l.

当x«O,l),g'(x)<0,g(x)单调递减;

当x«l,+oo),g'(x)>0,g(x)单调递增；

即g(x)之=.令〃(x)=ln%_x,则.

当xe(O,l),“(尤)>0,人⑺单调递增；当XG(1,+8),〃'(X)<0,〃(x)单调递减；

gp/z(x)</z(l)=-l.gpg(x)>-l>//(%),当x=l时取“二”

所以，当时，/(x)>0.

另外，此题用隐零点、放缩、同构等方法都可以解决，都是非常不错的方法，请读者自行尝

试.

2.(高考真题)已知函数/(x)=e'-ln(x+w).

(1)设x=0是/(%)的极值点，求肛并讨论“X)的单调性；

(2)当机〈2时，证明f(x)>0.

答案：

(1)略

(2)证明：当znW2时，/(x)=ev-ln(x+m)>e'-ln(x+2).

故只需证：e"—ln(x+2)>0.即证：e*—x>ln(x+2)—x.

令g(x)=e'-x,x>-2,贝口(力=6*-1.

当x«-2,0),g'(x)<0,g(x)单调递减;

当XG(0,+oo),g'(x)>0,g(x)单调递增；即g(x)?g⑼=1.

11-X—1

令〃(x)=ln(x+2)-x------1=-----

x+2x+2

当2,-1),〃'(x)>0,单调递增；

当xe(—1,”)，"(x)<0,〃(x)单调递减；

即〃(x)V〃(一l)=l.不能同时取“=”所以g(x)>〃(x).

综上，当机42时，f(x)>Q.

3.(高考真题)设函数“x)=e2x-alnx.

(1)讨论/(x)的导函数/'(力的零点的个数.

(2)证明：当。>0时/(x)N2a+aln—.

答案：

(1)略

2

(2)证明：即证e~"-alnxN2〃+aln—.

a

2

等价于证：e2x-2ax>a\nx-2ax+2a+a\n—.

a

令g(x)=e2'—2以，x>0,贝ij/(%)=2。2,一2。.

“(八Ina

当T。,方,g'(x)<0,g(x)单调递减；

\naIn<7

当"------,4-oo,g'(x)>0,g(x)单调递增；即g(x"g=a-a\na.

2

h(x}=a\nx-2ax+2a+aIn2贝ij/(工)=3—2a=

axx

尤e|j,+co

当〃'(x)>0,〃(x)单调递增；当,〃(x)<0,〃(x)单调递减;

即/2(X)VMg),1c,2,

=。In——a^-2a+a\n—=a-a\na.

2a

2

所以g(x)z〃(x).综上，当a>0时.f(x)224+〃ln-.

4.(甘肃省天水市第一中学2021届一模)已知函数/(x)=xsinx,尸(同为

“力的导数，且g(x)=/'(x).证明：

(1)g(x)在内有唯一零点.

⑵仆)<2.

(参考数据：sin2=0.9903,cos2«-0.4161,tan2®_2.1850,血*1.4142)

答案：

(1)略

(2)证明：即证xsinx<2,xw((),〃).

r2

等价于证：sinx+-<-+-xe(0,»).

2x2

/\Xzi

令g(x)=sinx+],无w((),"),贝ijg'(x)=cosx+/.

当。弓

xe,g'(x)>0,8(同单调递增；

,(271

当z『,g'(x)<0,g(x)单调递减;

℃/\2乃।6万1・83.3.

即g(x)<g—l=^~+7<v+T=2'

3

令〃(x)=2+：N2j2q=2,当x=l时取管

所以g(x)<〃(x).综上，xw(O㈤,xsinx<2.

5.(江西省黄州市2021届高三上学期期末考试)已知函数/(%)=肥'.

(1)求函数/(无)的最小值；

(2)证明：f(x)>e'+Inx——.

答案：

(1)略

1,、1,1,1

(2)证明：即证xe'>e'+Inx—.等价于证：(x—l)e'—>Inx—x—.

2'/222

令8(彳)=("1""-5%2,x>o.x>。时，g<x)=x(e'-l)>0.

即g(x)>g(0)=—1.令/?(x)=lnx-^-1g，则/(x)=，-x=^-x)(]+x).

当XG(O,1),〃'(力>0,/2(x)单调递增；当XG(l,+oo),〃'(X)<O,〃(x)单调递减;

即〃(x)V〃⑴=一1.所以g(x)>—12〃(x).综上，J'(x)>e*+lnx—g.

6.(自编)若Mx>0,xlnx+4x<ef+a+x3-x2,求”的取值范围.

答案：

x+a

xlnx+4x<ex+a-l-x3-%2,即Vx>0,lnx+x-x2+4<---成立.

x

e"+a

令/(x)=lnx+x-12+4,g(x)=---.

X

尸(力=91一2%=1-二2/=(1一曰2%+1)极大值“1)=4

g'(x)=e'",T),g0)=”

因此⑴=4,g(x)/g(l)=e"i.

所以只需/(l)<g(l),即4<e"*,解得a>-l+21n2.

2v

xe

7.已知〃£(0,2e),证明：-----6?Inx>0.

X+1

答案：

、cx2ev1八eAa\nx

证明：------41nx>0,即----->―z—.

X+lX+1X

A'77InY

所以，等价于证：ae(O,2e)时，—>—.

xv

exe

令g(九)=——-,x>0.x>0时，g'(x)=7-----y>0

x+1(x+1)

即g(x)〉g(O)=l.令〃=,则/(x)=a",

当"(x)>(),〃(x)单调递增；当XG(&,+8),〃(X)<(),〃(X)单调递

减；

gp/i(x)</?^Vej=-^.由于ae(O,2e),所以〃(x)w?<l.

所以g(x)>l>〃(x).综上，ae(O,2e)时，-----alnx>0.

8.当x>0时，证明：x2+(x2-2x)ev+x+l>0.

答案：

证明：当x>0时，X?+(f-2x)e*+x+l>0等价于x+，+l>-(x-2)e'.

即只需证：当x>0时，Fl>—(%—2)e'.

设g(x)=_(x_2)e*,x>0.则g<x)=_(x_l)e”.

当XG(O,1)时,g'(x)>0,g(x)单调递增；

当xe(l,+8)时，gz(x)<0,g(x)单调递减；即g(x)<g(l)=e.

设/(x)=x+1+l,当x>0时，/(x)=x+—+1>2L--+1=3,x=l时取"=".

XXyX

即“X)2"1)=3.

即/(x)23>eNg(x),即当x>0时，x+—+1>-(x-2)e'.

X

所以，当x>0时，x2+(x2-2x)ev4-x+l>0.

9.证明：x2-41nx-xsinx-cosx+l>0.(参考数据:In2«0.693,sin2«0.909,

cos2«-0.416)

答案：

4

证明：/(x)=x2-41nx-xsinx-cosx+l,贝ij,f'(x)=2x-----xcosx.

44Y2—4

当x>2时，/r(x)=2x------xcosx>2x------x=------->0,/(x)单调递增.

所以，当x>2时，/(x)>/(2)=5-41n2-2sin2-cos2>5-4x0.7-2+04>0.

当0vxv2时，x1-41nx-xsinx-cosx+l>0等价于x2-41nx+l>xsinx+cosx.

42x2—4

设6(x)=x?-41nx+l,xe(0,2),则加(x)=2x——=---------.

xx

当x£(O,0)时，加(x)<0,单调递减；当时，加(x)>0,加(x)单

调递增.

即m(x)>=3-21n2>3-2x0.7=1.6.

n(x)=xsinx+cosx,XG(0,2),贝ij〃’(x)=xcosx.

当xe(0m时，n(x)>0,单调递增；

当工€怎,2卜寸，n(x)<0,〃(x)单调递减；

即〃,即xe(0,2)时，〃z(x)>1.6>〃(x).

所以，当xe(0,2