2022年新高考北京数学高考真题(解析版)(一)

绝密★本科目考试启用前

2022年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)

数学

本试卷共5页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答

无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第一部分(选择题共40分)

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目

要求的一项.

1.已知全集。={可-3cx<3},集合A={x|-2<xWl},则gA=()

A.(-2,1JB.(-3,-2)U[1,3)C.[-2,1)D.(-3,-2]U(1,3)

【答案】D

【解析】

【分析】利用补集的定义可得正确的选项.

【详解】由补集定义可知：gA={x|—3<x4—2或l<x<3},即4，A=(-3,-2]U(l,3),

故选：D.

2.若复数z满足i.z=3-4i,则忖=()

A.1B.5C.7D.25

【答案】B

【解析】

【分析】利用复数四则运算，先求出z,再计算复数的模.

【详解】由题意有Z=^—=党」=—4—3i,故4)+(—3)=5.

故选：B.

3.若直线2x+y-l=0是圆(不一4了十丁=i的一条对称轴，则。=()

11

A."B.----C.1D.—1

22

【答案】A

【解析】

【分析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解.

【详解】由题可知圆心为(。,())，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即2。+0-1=0,解得

1

a=—.

2

故选：A.

4.己知函数则对任意实数X,有()

1+2

A./(-x)+/(%)=0B./(-%)-/(%)=()

C.f(-x)+f(x)=lD.=

【答案】C

【解析】

【分析】直接代入计算，注意通分不要计算错误.

11T1

【详解】/(—x)+/(x)=-------------1------------------------1------------故A错误，C正确;

1+2-1+2"1+2、1+2*

A===1

()1+2-.r-1+2.r=1+2^-1+2,2.t+1-2.t+1不是常数，故BD错误;

故选：C.

5.已知函数/(x)=cos?x-sin?%,则()

(71万、/7171\

A./⑴在［一于一石)上单调递减B.f(x)在一z，五上单调递增

C./(X)在(0,上单调递减

D./")在上单调递增

【答案】C

【解析】

【分析】化简得出/(x)=cos2x,利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.

【详解】因为/(x)=cos2x-sin2%=cos2x.

对于A选项，当一1<x<—?时，一)<2%<-3，则/(x)在卜泉—彳)上单调递增，A错;

1

冗JC7tTC/rrjr

对于B选项，当—2<x<一时，一一<2x〈上,则/(X)在一“正上不单调，B错;

412267

对于C选项，当0<x<?时，0<2x<耳，则/(x)在上单调递减，C对；

对于D选项，当时，-<2x<—,则在仁,石J上不单调，D错.

故选：C.

6.设｛%｝是公差不为0的无穷等差数列，则“｛%｝为递增数列”是“存在正整数N。，当〃〉N0时，

>0”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】设等差数列｛q｝的公差为d,则dwO,利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定

义判断可得出结论.

【详解】设等差数列｛%｝的公差为d，则1。()，记［x］为不超过X的最大整数.

若｛a,｝为单调递增数列，则d>0,

若4NO,则当〃22时，«„>«1>0；若4<0,则=q+(〃-1)。，

由a”=4+(〃-l)d>0可得〃>1一幺，取&=+1,则当〃>乂时，an>Q,

dLd_

所以，“｛4｝是递增数列”="存在正整数No,当〃>N0时，%>0"；

若存在正整数N。，当〃〉N。时，an>0,取AeN*且&>2),q>0,

假设d<0，令a*=4+(〃-Z)d<0可得〃>上一号，旦k-?>k,

当“〉k*+1时，/<0,与题设矛盾，假设不成立，则4>0,即数列｛4｝是递增数列.

所以，”｛%｝是递增数列”u”存在正整数N。，当〃>N0时，怎>0”.

所以，”｛4｝是递增数列”是“存在正整数N。，当〃>N0时，4>0”的充分必要条件.

故选：C.

7.在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥

作出了贡献.如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和IgP的关系，其中T表示温度，单位是

K；P表示压强，单位是bar.下列结论中正确的是()

A.当T=220,P=1026时，二氧化碳处于液态

B当T=27(),。=128时，二氧化碳处于气态

C.当T=300，。=9987时，二氧化碳处于超临界状态

D.当7=360,尸=729时，二氧化碳处于超临界状态

【答案】D

【解析】

【分析】根据T与他尸关系图可得正确的选项.

【详解】当7=22(),。=1026时，lgP>3,此时二氧化碳处于固态，故A错误.

当T=270,P=128时，2<lgP<3,此时二氧化碳处于液态，故B错误.

当T=300,P=9987时，1g尸与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，

另一方面，T=300时对应是非超临界状态，故C错误.

当7=360,尸=729时，因2<1g尸<3,故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确.

故选：D

8.若(2x-1)4=a*++qx+，则4+。2+。4=()

A.40B.41C.-40D.-41

【答案】B

【解析】

【分析】利用赋值法可求4+。2+4的值•

（详解］令X=1,则。4+1+。2++。0=1，

4

令1=-1,则a4-a3+/一q+q）=（-3）=81,

,,1+81.

故/+%+%=~~~=41，

故选：B.

9.已知正三棱锥尸-ABC的六条棱长均为6,S是△A3C及其内部的点构成的集合.设集合

T={QeS|PQK5},则T表示的区域的面积为（）

3兀CC

A.—B.万C.2兀D.3兀

4

【答案】B

【解析】

【分析】求出以尸为球心，5为半径的球与底面ABC的截面圆的半径后可求区域的面积.

设顶点P在底面上的投影为。，连接B0,则。为三角形ABC的中心,

且3O=Zx6x@=2百，故PO=j36-12=2而

32

因为PQ=5,故OQ=1,

故S的轨迹为以0为圆心，1为半径的圆，

2x走*36

而三角形ABC内切圆的圆心为0,半径为z彳a=出〉1'

故S的轨迹圆在三角形A8C内部，故其面积为万

故选：B

10.在AABC中，AC=3,5C=4,NC=90°.尸为AABC所在平面内的动点，且PC=1,则丽.而

的取值范围是（）

A.[-5,3]B.[-3,5]C.[-6,4JD.[-4,6]

【答案】D

【解析】

【分析】依题意建立平面直角坐标系，设尸（cos。,sin。），表示出丽，丽，根据数量积的坐标表示、

辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；

【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则C（0。，A（3,0）,5（0,4）,

因为PC=1,所以P在以C为圆心，1为半径的圆上运动，

设产（cos。,sin。）,0e[O,27r],

所以PA=（3-cos0一sin。），PB=[-cos4-sin0）,

所以PAPB=（-cos^）x（3-cos^）4-（4-sin9）x（—sin夕）

=cos20-3cos-4sin+sin20

=l-3cos6-4sin。

./\34

=1—5sin（9+0）,其中sin0=《，cos^9=—,

因为一l<sin（e+°）<l,所以T<l-5sin（6+0）W6,即百.丽e[T,6]；

故选：D

第二部分(非选择题共110分)

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11.函数/(幻=,+>/仁的定义域是.

X

【答案】(3,0)5。5

【解析】

【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可：

/、1/—[l-x>0

【详解】解：因为/(x)=—+jn,所以〈八，解得且尤工0,

x[xwO

故函数的定义域为；

故答案为：(—,0)=(0,1]

12.已知双曲线V+E=i的渐近线方程为丫=±走》，贝ij〃?=.

m3

【答案】-3

【解析】

【分析】首先可得加<0,即可得到双曲线的标准方程，从而得到。、。，再跟渐近线方程得到方程，解

得即可；

22

【详解】解：对于双曲线y+L=l,所以加<0,即双曲线的标准方程为丁2一上_=1,

m-m

26

则a=l,0=J二最，又双曲线/+二=1的渐近线方程为y=±四x，

m3

所以q="即3=走,解得加=一3；

b3yj-m3

故答案为：-3

13.若函数/(%)=Asinx-Gcosx的一个零点为；，则4=_______；.

【答案】①.I②.-42

【解析】

JTTT

【分析】先代入零点，求得A的值，再将函数化简为/(x)=2sin(x-§),代入自变量》=在，计算即

可.

【详解】：/(楙)=¥A—¥=0，.,•A=I

/./(x)=sinx-73cosx=2sin(x-^-)

/(Z)=2sin(N/)=-2siT=-夜

121234

故答案为：1,-V2

[-ax+\,x<a,

14.设函数/(x)=。、2若f(x)存在最小值，则a的一个取值为________；。的最大值为

\x-2),x>a.

【答案】①.0(答案不唯一)②.1

【解析】

【分析】根据分段函数中的函数、=-依+1的单调性进行分类讨论，可知，a=0符合条件，。<0不符合

条件，a>0时函数y=-⑪+1没有最小值，故/a)的最小值只能取y=*-2)2的最小值，根据定义域讨

论可知_〃+120或_/+]“°_2)2,解得0<a4l.

1,x<0

【详解】解：若a=0时，/(》)={,

(x-2),x>0

若a<0时，当x<a时，/(x)=-ax+l单调递增，当时，/(x)->-00,故/'(x)没有最小值，不

符合题目要求；

若a>()时，

当x<a时，/(x)=-奴+1单调递减，/(%)>f(a)=-a2+1,

0(0<a<2)

当x>a时，/(x)={

min(。一2)(a>2)

，一4+120或一/+l"a-2)2,

解得0<aWl,

综上可得OWaWl；

故答案为：0(答案不唯一)，1

15.己知数列｛4｝各项均为正数，其前〃项和S,满足勺♦£=9(〃=1,2,…).给出下列四个结论：

①｛%｝的第2项小于3；②｛4,｝为等比数列；

③｛%｝为递减数列；④｛。“｝中存在小于击的项.

其中所有正确结论的序号是.

【答案】①③④

【解析】

99

【分析】推导出/=--------,求出%、。，的值，可判断①；利用反证法可判断②④；利用数列单调性

anan-\

的定义可判断③.

【详解】由题意可知，V〃eN*，。“>0，

当〃=1时，a；=9,可得q=3；

9999

当“22时，由S“=一可得S,i=——,两式作差可得为=--------,

a

4n-\a,an_｝

999

所以，---=----4,则----々=3,整理可得。：+3a,-9=(),

%4%

因为4>0,解得出=吟二2<3,①对；

f9VQ1

假设数列｛%｝为等比数列，设其公比为/则W=q%，即一=——，

所以，S；=S3,可得a：(l+4)2=Y(l+4+q2),解得〃=(),不合乎题意，

故数列｛q｝不是等比数列，②错；

999(a„,-a,,｝<、

当〃22时，an=----------=_iZ>o,可得可〈。，山所以，数列｛4｝为递减数列，③对；

4%a/,”

假设对任意的〃eN*，42+，则E0000Gzi00000x+=1000,

991

所以，400000=《一^―<—，与假设矛盾，假设不成立，④对

Jiooooo1UUU1UU

故答案为：①③④.

【点睛】关键点点睛：本题在推断②④的正误时，利用正面推理较为复杂时，可采用反证法来进行推导.

三、解答题共6小愿，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.在-ABC中,sin2C=V3sinC.

(1)求NC；

(2)若8=6,且△ABC的面积为6百，求AABC的周长.

7T

【答案】(1)7

6

⑵6+673

【解析】

【分析】(1)利用二倍角的正弦公式化简可得cosC的值，结合角C的取值范围可求得角C的值;

(2)利用三角形的面积公式可求得。的值，由余弦定理可求得。的值，即可求得AABC的周长.

【小问1详解】

解：因为Ce(O,»),则sinC〉()，由已知可得6$皿。=25也。85。，

可得cosC="，因此，C=-.

26

【小问2详解】

解：由三角形的面积公式可得'ABc=ga"sinC=|a=6G，解得。=4#.

由余弦定理可得=«2+Z?2-2«Z>cosC=48+36-2x473x6x—=12，:(=2框，

2

所以，AABC的周长为a+6+c=6百+6.

17.如图，在三棱柱ABC—AgG中，侧面BCG片为正方形，平面BCG4,平面

AB^BC=2,M,N分别为4片，AC的中点.

（1）求证：MN〃平面BCC/i；

（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值.

条件①：ABkMN；

条件②：BM=MN.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

【分析】（I）取4?的中点为K，连接MKNK,可证平面MKN〃平面C8BC1，从而可证朋N〃平面

CBB©.

（2）选①②均可证明平面ABC，从而可建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量可求线面

角的正弦值.

【小问1详解】

取AB的中点为K，连接MK,NK,

由三棱柱ABC-4gG可得四边形ABB,A为平行四边形，

而B、M=MA,,BK=KA,则MK//BB},

而A/Kg平面CB61G，Bgu平面CBgG，故MK〃平面,

而CN=NA,BK=KA,则NK//BC,同理可得NK〃平面CBgC；,

而NKCMK=K,NK,MKu平面MKN,

故平面MKN〃平面CBgG，而MNu平面MKN,故MN〃平面

【小问2详解】

因为侧面CBBCi为正方形，故C5，BB,,

而CBu平面CBBg,平面CBB£1平面ABB.A,,

平面CSqGc平面A=BBj,故CBJ•平面ABB,4,

因为NKHBC,故NK_L平面ABB,,

因为ABi平面故NK工AB,

若选①，则ABL肱V,而NK1AB,NKC\MN=N,

故AB_L平面M/VK,而MKu平面MVK,故

所以而C8L6耳，CBcAB=B,故8与，平面ABC，

故可建立如所示的空间直角坐标系，则3(0,0,0),A(0,2,()),N(l,l,0),M(0,l,2),

故丽=(0,2,。),丽=(1,1,0),丽=(0,1,2),

设平面BNM的法向量为n=(x,y,z),

[“•8N=0x+y=°-z、

则〈______,从而＜1y+2z=。'取z一则〃=(々21),

\n-BM=0

设直线AB与平面BMW所成角为8,则

42

sin6=cos(n,AB

-2^3-3

若选②，因为NK//BC,故NKJ_平面ABga，而KMu平面MKN,

故NK1KM,而BM=BK=1,NK=1,故B、M=NK,

而5|8=MK=2,MB=MN,故ABB1M三AMKN,

所以NBB]M=NMKN=90°,故耳片1BB},

而C8_L8g,CBcAB=B,故平面ABC,

故可建立如所示的空间直角坐标系，则3((),0,0),A(0,2,0),N(l,l,()),"((),1,2),

故丽=(0,2,0),丽=。,1,0),丽7=(0,1,27

设平面BNM的法向量为n-(x,y,z),

n-BN—0x+y=0

则从而《取z=—1,则”=(-2,2,—1),

n-BM=0y+2z=0

设直线A6与平面BNM所成的角为。，则

I——\42

sin6=cos(n,AB)=----=一.

\!2x33

18.在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50m以上（含9.50m）的同

学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到

如下数据（单位：m）：

甲：9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,935,9.30,9.25；

乙：9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23；

丙:9.85,9.65,9.20,9.16.

假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立.

（1）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；

（2）设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）；

（3）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）

7

【答案】（1）0.4（2）y

（3）丙

【解析】

【分析】（1）由频率估计概率即可

（2）求解得X的分布列，即可计算出X的数学期望.

（3）计算出各自获得最高成绩的概率，再根据其各自的最高成绩可判断丙夺冠的概率估计值最大.

【小问I详解】

由频率估计概率可得

甲获得优秀的概率为04,乙获得优秀的概率为0.5,丙获得优秀的概率为0.5,

故答案为0.4

【小问2详解】

设甲获得优秀为事件4,乙获得优秀为事件丙获得优秀为事件4

------3

P(X=0)=P(AA24)=0.6X0.5X0.5=^,

P(X=1)=P(A4A)+嗝aA)+P(AAA)

o

=0.4X0.5X0.5+0.6x0.5x0.5+0.6x0.5x0.5=—,

20

P(X=2)=P(A4A)+p(44A3)+P(44A)

7

=0.4x0.5x0.5+0.4x0.5x0.5+0.6x0.5x0.5=—,

20

P(X=3)=「(444)=0.4x0.5x0.5=2.

•••X的分布列为

X0123

3872

P

20202020

x-J+3-7

二E(X)=0

202020205

【小问3详解】

丙夺冠概率估计值最大.

因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩.比赛一次，丙获得9.85的概率为1,甲获得9.80的概率为

410

乙获得9.78的概率为!.并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数越多，对丙越有利.

19.已知椭圆：£；：［+二=1（。>/7>0）的一个顶点为4（0,1）,焦距为

a"b~

（1）求椭圆E的方程；

（2）过点尸（-2,1）作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B,C,直线AB,AC分别与x轴交于点M,

N,当|MN|=2时，求左的值.

v-2

【答案】（1）—+/=1

4-

(2)攵=-4

【解析】

%=1

【分析】（1）依题意可得（2c=2g,即可求出。，从而求出椭圆方程:

c2^a2-b2

（2）首先表示出直线方程，设8（x”y）、C（x”%）,联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，由直线

AB、AC的方程，表示出与、根据|儿叫=%一%|得到方程，解得即可;

【小问1详解】

解：依题意可得6=1,2c=26，又。2=合一从，

所以。=2,所以椭圆方程为三+丁=1；

4-

【小问2详解】

解：依题意过点「（一2,1）的直线为y-l=Z（x+2）,设6（%,%）、C（x2,y2）,不妨令

-2<Xj<x2<2,

y-1=k（x+2）

由,区,,消去V整理得（1+4女+06左2+8k）x+16女2+16左=0,

V=1

彳

所以△=（16公+8%『一4（1+4/）（1642+16左）＞0,解得女＜（）,

\6k2+Sk16公+16Z

所以X]+赴=X,-X=--------------z—

1+4/'2-l+4k2

y.—1x

直线48的方程为y-l=2—X,令y=0,解得

%if

1y>—i

直线AC的方程为yT=^—％,令y=0,解得/=L

马if

所以|知'|=冈一”|=7^-一4

1-%i-X

=X2_________________X

1—[左（X?+2）+1]1—[%（X]+2）+1]

=々।%

—k（x、+2）Z（X]+2）

_（“2+2）%-/+2）

k^x2+2）（X]+2）

2

ki--y2|_2

M

\k\^x2+2）（+2）

所以禺-司=14(/+2)(%+2),

即j(*l+尤2)2_43九2=闪[工2%+2(々+xJ+4]

2

Bnf16公+8女丫，16k2+16k|“「16攵2+16攵(\6k+Sk}

即J-------厂-4x------L=1Z1-------厂+2-------厂

我1+4/1+4F1+4公I1+4左2

即]+：正,(2公+媒—(1+&2)俨+1)=_j£L[16k2+16左一2(1622+8攵)+4(1+4%2)]

整理得8口=可%|,解得

20.已知函数/(x)=e」n(l+x).

(1)求曲线y=/(x)在点(0,/(0))处的切线方程；

(2)设g(x)=/'(x),讨论函数g(x)在［0,+8)上的单调性;

(3)证明：对任意的s,fe(0,+8),有/(s+/)>/(5)+/(f).

【答案】(I)y=x

(2)g(x)在［0,+8)上单调递增.

(3)证明见解析

【解析】

【分析】(1)先求出切点坐标，由导数求得切线斜率，即得切线方程；

(2)在求一次导数无法判断的情况下，构造新的函数，再求一次导数，问题即得解；

(3)令/〃(x)=/(x+r)—/(x),(%3>0),即证加(x)>机(0),由第二问结论可知加(幻在［0,+8)上

单调递增，即得证.

【小问1详解】

解：因为/(©=片111(1+%),所以/(())=(),

即切点坐标为(0,0),

又尸(x)=e%ln(l+x)+J-),

...切线斜率火=r(o)=i

切线方程为：y=x

【小问2详解】

解：因为80)=/。)=6‘0(1+1)+」一)，

1+X

2I

所以g'(x)=ev(ln(l+x)+----------了)，

1+x(1+JC)

21

令〃(1)=ln(l+x)+

1+x(1+x)~

22x2+l

则〃(x)=--——

1+x(1+x)2(1+x)3(1+X)3

〃(x)在［0,+8)上单调递增,

/?(%)>/z(0)=1>0

...g'(x)>0在［0,+00)上恒成立，

二g(x)在［(),+0。)上单调递增.

【小问3详解】

解：原不等式等价于f(s+0-f(s)>f(t)~/(0),

令加。)=/(》+力一/(%),(%">0),

即证加(x)>/〃(0),

,/m(x)=f(x+t)-f(x)=ex+,ln(l+x+r)-e*ln(l+x),

.r+/X

mr(x)-ex+tln(l+%+/)+--------eAln(l4-x)------=g(x+/)-g(x),

1+x+r1+x

由(2)知8(幻=/'(犬)=^(皿1+犬)+占)在［0,+8)上单调递增，

g(x+t)>g(x),

m(x)>0

.•.M(x)在(O,+8)上单调递增，又因为X,f>0,

m(x)>m(0),所以命题得证.

21.已知Q：%,小，…，%为有穷整数数列.给定正整数机，若对任意的“e{l,2,…,相},在Q中存在

4,4+[，4”2/一,q+式/2()),使得4+4*]+a,*2+…+4+j=〃>则称。为帆一连续可表数列.

(1)判断Q：2,1,4是否为5-连续可表数列？是否为6