第四章直梁弯曲

第四章直梁的弯曲4§4-1平面弯曲概念梁的类型1、梁弯曲 常见弯曲变形构件,如房屋支承梁，工厂中起重机横梁及化工中的卧式容器等。结构如图：第四章直梁弯曲卧式化工容器：弯曲梁受力特点——在通过梁某一纵向平面 内，受到垂直于轴线的 外力或力偶作用。受力如图：第四章直梁弯曲变形特点——任两个截面绕垂直于梁轴线轴 相对转动，梁轴线由直线变曲线。平面弯曲——所有外力或力偶作用在纵向对称 面内，梁轴线在对称面内弯曲成 平面曲线。纵向对称面——在纵向可将梁分成对称两半。第四章直梁弯曲2、梁简化对实际梁受力分析和强度计算，对梁进行简化，以轴线表示梁。

梁简化成三种力学模型：（1）简支梁如图：一端固定简支，另一端可动铰支。（2）外伸梁如图：梁一端或两端伸出支座外。（3）悬臂梁如图：梁一端固定约束，另一端自由。第四章直梁弯曲各支座处力与位移边界条件：①固定铰支

支座处梁左、右，上、下均不可移动，但可绕约束点转动。解除约束受力图力的边界条件位移边界条件m=0Rx≠0Ry≠0x=0y=0第四章直梁弯曲②可动铰支支座点左、右可移动，上、下不可动。解除约束受力图力的边界条件位移边界条件Ry≠0Rx=0m=0x≠0y=0③固定端约束限制固定端既不能转动，也不可移动。解除约束受力图第四章直梁弯曲力的边界条件位移边界条件Rx≠0Ry≠0m≠0x=0y=0各支座反力可根据平衡条件求出。

如果未知力数与所列出的独立方程数相同，则可求出未知力——称为静定问题，属于静定梁；

反之为静不定，称为不静定梁或超静定问题。第四章直梁弯曲①集中力：作用力作用在很小面积上，可近似一点。如图：②集中力偶：力偶两力分布在很短一段梁上，可简化为作用在梁的某一截面上。如图：③分布载荷：载荷分布在较长范围内，以单位长度受力q表示。q单位N/m如图：作用于梁上载荷有三种形式：第四章直梁弯曲§4-2梁弯曲时的内力一、内力计算内力计算方法如下：第一步——解除支座约束，计算约束反力。第二步——用截面法将梁分成两部分。第三步——由平衡条件计算截面处内力。第四章直梁弯曲如图：简支梁，试计算m—n截面内力。解:(1)解除约束，求约束反力列平衡方程RxA=0RyA+RyB=PRyB·(a+b)–Pa=0第四章直梁弯曲(2)用截面法求内力截面处存在的内力：①阻止RyA

作用下绕O转动，截面必存在附加内力矩M，阻止转动。②平衡RyA力，截面上必有向下力Q附加内力矩M——称为截面弯矩。 截面内力Q——称为剪力，与外力平行，有使 梁沿m—n截面剪断趋势。分离体处于平衡，由平衡条件得：∑y=0RAy–Q=0∑M=0M–RAy·x=0第四章直梁弯曲结论：①受弯曲梁任一截面内力有弯矩与剪力。②剪力等于截面之左（或右）所有外力代数和。③弯矩等于截面之左（或右）所有外力（力偶）对截面形心之矩代数和。剪力与弯矩对梁强度影响：由经典力学分析弯矩对梁强度影响远大于剪力对梁强度。

工程计算一般只考虑弯矩，忽略剪力。第四章直梁弯曲二、弯矩符号规定规定如下：

所求弯矩的截面附近能形成上凹下凸的弯曲变形，该截面弯矩为正；反之为负。m—n截面附近弯曲形状，如图，弯矩M为正。反之发生如下图弯曲形状，弯矩为负。第四章直梁弯曲由此得“左顺右逆”弯矩为正规定：截面左侧——所有对截面形心之矩为顺时针 的外力及顺时针的力偶，它们 在截面处产生弯矩为正，反之 为负。截面右侧——所有对截面形心之矩为逆时针 的外力及逆时针的力偶，它们 在截面处产生弯矩为正，反之 为负。第四章直梁弯曲§4-3弯矩图由截面法计算出横截面弯矩随轴线x变化规律M=M(x)→称为梁弯矩方程将弯矩大小与正负表示在图上——弯矩图画弯矩图的基本方法：(1)对双支点梁解除约束，求支座反力，悬臂 梁不必求支座反力,从悬臂端开始计算。(2)在有集中力或集中力偶处分段，求出每一段弯矩方程。(3)选适当比例，以横截面位置x为横坐标，弯矩M为纵坐标作弯矩图。第四章直梁弯曲例一，如图：受集中载荷简支梁。试画出弯矩图。解：①解除约束，求约束反力RAy·3a–P·2a+m=0RAy+RBy–P=0第四章直梁弯曲②分段求各段弯矩AC段，在AC段任取一截面0≤x≤aDC段，在DC段任取一截面a≤x＜2a第四章直梁弯曲BD段，在BD段任取一截面0≤x＜a③画弯矩图第四章直梁弯曲例二、有一悬臂梁长l，其上分布载荷q和集中力偶矩m.

试画出弯矩图。解：悬臂梁可不必求约束反力直接分段AB与BC段①AB段在AB之间任取一截面弯矩B截面右侧MB右=0≤x≤第四章直梁弯曲②BC段在BC之间任取一截面B截面左侧，MB左C点x=l，MC=0第四章直梁弯曲例三、有一梁受力如图，试画出弯矩图。解:(1)解除约束，求约束反力RBx=0RBy+RAy–qa–qa=0RAy=1.75qaRBy=0.25qa第四章直梁弯曲(2)分段求各段弯矩，分DA,AC,CB三段。0≤x≤aDA段，在之间任取一截面AC段，在之间任取一截面

a≤x≤2a第四章直梁弯曲BC段，在之间任取一截面(3)画弯矩图0≤x≤a第四章直梁弯曲§4-4纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲——忽略掉剪应力，梁变为只有弯矩 而无剪力梁，此时弯曲为纯弯曲。纯弯曲梁——梁横截面上只有弯矩而无剪力。两端受到一对外力偶作用——典型纯弯曲梁梁上既有弯矩又有剪力作用时的弯曲称为剪切弯曲

第四章直梁弯曲分析纯弯曲梁横截面正应力方法分四步：一、实验观察与假设推论如图一矩形截面梁，在侧面分别画上与梁轴线相垂直的线1—1，2—2，及与梁轴线平行线ab，cd1—1，2—2代表横向截面ab，cd代表纵向截面第四章直梁弯曲两端施加外力偶，使梁产生纯弯曲

变形如图观察现象如下：1、变形后，1—1，2—2仍为直线，但转一定角度，仍与梁轴相垂直。2、纵向线ab，cd及轴线由直线变为圆弧，ab缩短，cd伸长。3、梁横截面高度不变，宽度变化，凹入顶部略增大，凸出底部略变小。第四章直梁弯曲由观察现象作两点假设：1、平面假设——梁横截面弯曲变形后均为 平面，仍垂直于轴线。横 截面只绕某轴转个角度。2、互不挤压假设——假设梁由很多层纤维 组成，变形时各层纤 维只受轴向拉伸或压 缩，各层纤维互不 挤压。第四章直梁弯曲由假设作如下推论：由观察得知，横截面只相对偏转了一个角度，纵向纤维受到轴向拉伸或压缩。1、纯弯曲梁变形本质是拉伸或压缩变形，不是剪切变形。2、横截面只有正应力，无剪应力。凹侧受压，有压缩应力，凸侧受拉，存在拉应力。3、中间存在一层既不受拉也不受压的中性层，其上应力为0。注意：中性层含义第四章直梁弯曲二、应变与几何尺寸之间关系从受纯弯曲梁取一段dx长。dx微段的两横截面变形后夹角dθ,中性层曲率半径为ρ

OO1=OO2=ρ

O1O2=dx=ρdθ中性层变形前后长度不变。变形后c1d1=(ρ+y)dθc1d1的应变⌒第四章直梁弯曲三、物理关系——虎克定律由假设可得梁弯曲本质是拉伸与压缩

hook定律：上式显示：梁截面上任一点应力与该点到中性轴距离成正比，y=0的中性面上应力σ为0，上、下边缘正应力最大。第四章直梁弯曲四、静力学关系寻找正应力σ与弯矩M之间关系如图：纯弯曲梁横截面应力分布中性轴两侧一边受拉一边受压可构成力偶如图在梁横截面上取微面dA，距中性轴距离ydA上内力dF

dF=σdA第四章直梁弯曲dF对中性轴之矩dM，dM=σ·y·dAM=∫AdM=∫AσydA,M=∫Ay2dA令IZ=∫Ay2dA，IZ—横截面对中性轴的轴惯性矩

y——为横截面任一点到中性层的距离

EIZ——抗弯刚度第四章直梁弯曲此式为纯弯矩梁横截面上任一点正应力公式。y→横截面上任一点距中性轴距离。①曲率与M成正比，M越大，梁弯曲越厉害。②曲率与EIZ成反比。第四章直梁弯曲注意：①弯曲正应力σ与M成正比，与距离y成反比，最大应力存在于梁边缘处

②当截面对称于中性面，最大拉、压应力相等。③当中性面与上下边缘距离不等时，要分别计算拉应力与压应力。令WZ——横截面对中性轴Z的抗弯截面模量。第四章直梁弯曲五：弯曲正应力公式适用范围弯曲正应力计算公式是在纯弯曲下导出——梁截面只有弯距没有剪力。实际梁受到横向力作用——梁截面既有弯矩又有剪力。横截面存在剪力互不挤压假设不成立，梁发生翘曲。根据精确理论和实验分析：当梁跨度L与横截面高度h之比L/h＞5时，存在剪应力梁的正应力分布与纯弯曲很接近。公式适用范围：①梁跨度l与横截面高度h之比l/h＞5，可使用梁正应力计算公式。第四章直梁弯曲②梁正应力计算公式由矩形截面梁导出，但未使用矩形的几何特性。所以公式适用于有纵向对称面的其它截面梁。如工字钢、槽钢及梯形截面梁等。③梁材料必须服从虎克定律，在弹性范围内，且材料的拉伸与压缩弹性模量相同，公式才适用。第四章直梁弯曲§4-5截面的轴惯性矩和抗弯截面模量1、矩形截面（中性轴与截面形心重合）梁上受载荷如图(h＞b立放)轴惯性矩IZ抗弯截面模量WZIZ=∫

y2bdy=h/2-h/2IZ=∫Ay2dAdA=b﹒dy第四章直梁弯曲Iy=∫

y2hdy=-b/2b/2将上图矩形截面梁，如图放置时（平放）Iy=∫Ay2dAdA=h﹒dy对相同的矩形截面梁不同放置方法,会有不同的轴惯性矩和不同的抗弯模量。工程上承受弯曲作用时,要选择I与W大的放法,要立放第四章直梁弯曲对中性轴与截面形心不重合如图梯形截面

IZ=∫y2dA=∫y2dAy1-y2WZ1与WZ2不相等，正应力计算时采用较小抗弯模量进行计算。对中性轴与截面形心不重合的梁，IZ只有一个值，但抗弯模量有两个，在设计与计算时必须注意。A第四章直梁弯曲2、圆形及圆环形截面①对实心圆截面对圆截面，通过形心任一轴的惯性矩相等。即Iz=Iy=∫y2dA=∫(Rsina)2

·dAdA=2Rcosa·dy,y=Rsinady=Rcosa·daAIz=Iy=2∫2R4sin2a·cos2a·da=截面抗弯模量Wz=Wy=π0第四章直梁弯曲②对圆环截面令d/D=α

Iy=Iz=Wz=Wy=对于口径较大，壁厚较薄管

D-d=2SIz=Iy≈作业:4-1(c、g、h），2，3第四章直梁弯曲§4-6弯曲正应力的强度条件保证梁工作时最大应力在许用应力范围内，即满足强度条件：可能存在最大应力的位置：①弯矩最大截面②惯性矩IZ

最小截面第四章直梁弯曲注：①弯矩有正负。计算时以绝对值代入， 计算应力σmax总为正，是拉应力。

②许用应力[σ]由实验确定。

③截面不对称于中性轴时，存在两个抗 弯截面模量WZ1，WZ2，计算取较小截 面模量代入。

④材料抗拉、抗压强度不同时，分别求出梁的最大拉、压应力，保证：σmax拉=σmax压=≤[σ]拉≤[σ]压第四章直梁弯曲例一、有一阶梯圆柱截面梁，许用应力[σ]=200MPa,结构尺寸如图d1=50mm，d2=80mm，d3=60mmP1=10kN，P2=5kN第四章直梁弯曲解：①解除约束，求约束反力N1

·1500－P1

·750－P2

·250=0N1=5.83(kN)N2=9.17(kN)②画弯矩图分段求各段弯矩方程MAB=5.83x，0≤x≤0.75mMCD=9.17x，0≤x≤0.25m第四章直梁弯曲③可能的危险截面

E，F，B截面可能成为危险截面。E截面弯矩ME=5.83×0.5=2.92kN·mB截面弯矩MB=5.83×0.75=4.37kN·mF截面弯矩MF=F在B、C中点④对B，E，F截面强度校核对B截面≈87MPa<[σ]=200MPa安全第四章直梁弯曲对F截面=157MPa<[σ]安全对E截面=238.9MPa>[σ]危险第四章直梁弯曲例二、有一梯形截面支承架，结构尺寸如图截面惯性矩IZ=100cm4，y1=100mm，y2=50mm材料许用拉应力[σ]拉=200Mpa材料许用压应力[σ]压=250Mpa试校核该梁强度。第四章直梁弯曲解：①解除约束，求约束反力N1

·5－1×5×2.5=0N1=2.5kNN2=2.5kN②求弯矩0≤x≤5③画弯矩图第四章直梁弯曲④强度校核σmax拉=σmax拉==156MPa<[σ]拉σmax压=σmax压==312.5MPa>[σ]压梁不安全第四章直梁弯曲§4-7梁截面合理形状选择工程常用的矩形截面梁如图：h>b,

立放平放立放WZ1>平放WZ2

上、下表面应力小，安全或可以承受更大载荷。第四章直梁弯曲§4-8梁弯曲变形一、梁的弹性曲线，挠度和转角如图梁受力，中心轴线变形AB`的曲线为挠曲线挠度：梁任一截面形心位移量为该截面挠度，用y表示。用f表示最大挠度。y与坐标轴y正方向相同为正，反之为负。第四章直梁弯曲将梁弯曲形状用曲线方程表示，该方程称为挠曲线方程。位移量y随截面位置变化，y=f(x)为挠曲线方程。截面转角：梁截面绕自身中性轴转角θ表示。θ逆时针为正，反之为负。由微分学得：θ很小时，tgθ≈θ,即