第五讲显式差分和隐式差分

第五讲显式差分和隐式差分第1页，共52页，2023年，2月20日，星期一回顾1.有限差分法的相容性、稳定性和收敛性相容性：针对差分格式而言，在时间步长和空间步长趋近于零的情况下，如果差分格式的截断误差（差分格式与原有偏微分方程之差）的模趋近于零，则该差分格式与原偏微分方程是相容的，或称该差分方程与原偏微分方程具有相容性。第2页，共52页，2023年，2月20日，星期一稳定性（stability）：如果偏微分方程的严格解析解有界，差分格式给出的解也有界，称该差分格式是稳定的；如果差分格式给出的解是无界的，则称该差分格式是不稳定的。稳定性反映了差分格式在计算中控制误差传递的能力第3页，共52页，2023年，2月20日，星期一收敛性（convergence）：如果当时间和空间步长趋于零时，FDE解趋于PDE解，称该差分格式是收敛的。如果则称该差分格式是收敛的。收敛性描述的是当差分网格无限细化时，差分方程的解是否具有无限逼近偏微分方程的解的能力Lax等价定理（Laxequivalencetheorem）：如果逼近一个给定问题的差分格式是相容的，那么该差分格式的收敛性与稳定性互为充分必要条件。相容性是比较容易满足的。在此基础上，如果满足了稳定性条件，差分格式的收敛性就自动满足。第4页，共52页，2023年，2月20日，星期一U=0U=0U=100U=02143658710912111413152.5有限差分法实例(i,j)(i+1,j)(i-1,j)01234(i,j)(i+1,j-1)(i-1,j-1)(i,j+1)(i+1,j+1)(i-1,j+1)i-1ii+1j-1jj+1h1h3h2h4第5页，共52页，2023年，2月20日，星期一(i,j)(i+1,j)(i-1,j)01234(i,j)(i+1,j-1)(i-1,j-1)(i,j+1)(i+1,j+1)(i-1,j+1)i-1ii+1j-1jj+1h1h3h2h4forj=2:n-1fori=2:m-1;a((j-1)*m+i,(j-1)*m+i+1)=1;a((j-1)*m+i,(j-1)*m+i-1)=1;a((j-1)*m+i,j*m+i)=1;a((j-1)*m+i,(j-2)*m+i)=1;a((j-1)*m+i,(j-1)*m+i)=-4;endend内部节点：边界节点：A矩阵非零系数减少，同时引入第一类边界，方程右端项B向量出现非零元素。局部节点编号总体节点编号第6页，共52页，2023年，2月20日，星期一组建A和B矩阵，求解线性方程组得到X第7页，共52页，2023年，2月20日，星期一%Matlab2Dclear;clc;figure('color','w');

a=zeros(135,135);fori=1:135a(i,i)=1;end;fori=1:7a(15*i+1,15*i+2)=-0.25;a(15*i+1,15*i+16)=-0.25;a(15*i+1,15*i-14)=-0.25;endfori=1:7a(15*i+15,15*i+14)=-0.25;a(15*i+15,15*i+30)=-0.25;a(15*i+15,15*i)=-0.25;Enda(1,2)=-0.25;a(1,16)=-0.25;a(121,122)=-0.25;a(121,106)=-0.25;a(135,134)=-0.25;a(135,120)=-0.25;a(15,14)=-0.25;a(15,30)=-0.25;fori=2:14a(i,i-1)=-0.25;a(i,i+1)=-0.25;a(i,i+15)=-0.25;endfori=122:134a(i,i-1)=-0.25;a(i,i+1)=-0.25;a(i,i-15)=-0.25;endfori=1:7forj=2:14;a(15*i+j,15*i+j-1)=-0.25;a(15*i+j,15*i+j+1)=-0.25;a(15*i+j,15*i+j+15)=-0.25;a(15*i+j,15*i+j-15)=-0.25;endendb=a^(-1);c=zeros(135,1);fori=121:135c(i,1)=25;endd=b*c;s=zeros(11,17);fori=2:16s(11,i)=100;endfori=1:9forj=1:15;s(i+1,j+1)=d(15*(i-1)+j,1);endend

subplot(1,2,1),mesh(s)axis([0,17,0,11,0,100])subplot(1,2,2),contour(s,32)第8页，共52页，2023年，2月20日，星期一第9页，共52页，2023年，2月20日，星期一2.5应用实例南加州一次未来大地震的强地面运动的数值模拟第10页，共52页，2023年，2月20日，星期一盆地效应第11页，共52页，2023年，2月20日，星期一Cui,2013第12页，共52页，2023年，2月20日，星期一Cui,2013第13页，共52页，2023年，2月20日，星期一Cui,2013第14页，共52页，2023年，2月20日，星期一Cui,2013第15页，共52页，2023年，2月20日，星期一总结：1、有限差分方法给出的数值解的精度取决于所用的差分形式（向前、向后、中心）。2、偏微分方程的显式有限差分格式通常是有条件稳定的，为了保证得到精确的数值解，最关键的是需要根据稳定性条件选取正确的空间和时间步长。第16页，共52页，2023年，2月20日，星期一显式与隐式差分格式主讲人：胡才博中国科学院大学地球科学学院中国科学院计算地球动力学重点实验室第17页，共52页，2023年，2月20日，星期一显式差分格式（explicitdifferencescheme）

差分方法中可逐层逐点分别求解的格式。特点1.不联立解方程；2.时间步长和空间步长的选择受限制。通常要求时间步长足够小。隐式差分格式（implicitdifferencescheme）特点时间步长和空间步长的选择不受限制；需要联立解方程组显式和隐式：求解问题与时间相关第18页，共52页，2023年，2月20日，星期一例子：1.显式差分格式：左端：n+1时刻的值；右端：n时刻的值。特点：结构简洁，直接求解，求解速度快。但是，时间步长需满足：显式差分格式才能得到稳定的数值解，否则，数值解将会不稳定而振荡。第19页，共52页，2023年，2月20日，星期一显示差分格式示意图第20页，共52页，2023年，2月20日，星期一2.隐式差分格式：时间一阶精度空间二阶精度第21页，共52页，2023年，2月20日，星期一隐式有限差分格式第22页，共52页，2023年，2月20日，星期一Crank-Nicolson隐式差分格式第23页，共52页，2023年，2月20日，星期一Crank-Nicolson隐式差分格式第24页，共52页，2023年，2月20日，星期一Forward-TimeCentral-SpacemethodBackward-Time

Central

-SpacemethodCrank-Nicolson隐式差分格式一般差分格式第25页，共52页，2023年，2月20日，星期一312546求解区域：边界条件：初始条件：一种隐式差分格式的程序实现第26页，共52页，2023年，2月20日，星期一A=sparse(nx,nx);fori=2:nx-1A(i,i-1)=-s;A(i,i)=(1+2*s);A(i,i+1)=-s;endA(1,1)=1;A(nx,nx)=1;rhs=zeros(nx,1);rhs(2:nx-1)=Told(2:nx-1);rhs(1)=Tleft;rhs(nx)=Tright;内部节点：边界节点：载荷项：内部边界第27页，共52页，2023年，2月20日，星期一312546边界条件：初始条件：Crank-Nicolson隐式差分格式的程序实现第28页，共52页，2023年，2月20日，星期一A=sparse(nx,nx);fori=2:nx-1A(i,i-1)=-s;A(i,i)=(2+2*s);A(i,i+1)=-s;endA(1,1)=1;A(nx,nx)=1;内部节点：边界节点：B=sparse(nx,nx);fori=2:nx-1B(i,i-1)=s;B(i,i)=(2-2*s);B(i,i+1)=s;endB(1,1)=1;B(nx,nx)=1;内部节点：边界节点：第29页，共52页，2023年，2月20日，星期一例子：牛顿冷却定律：温度高于周围环境的物体向周围媒质传递热量逐渐冷却时所遵循的规律。当物体表面与周围存在温度差时，单位时间从单位面积散失的热量与温度差成正比。Tair一阶常微分方程的数值解首先对时间和温度进行离散：利用向前差分形式：得到以下的显式差分格式：Tcap第30页，共52页，2023年，2月20日，星期一利用向前差分格式：现在改用向后差分形式进行近似，得到隐式差分格式：可以验证，当时间步长趋近于零时，以上近似解趋于解析解。因此，该格式收敛。稳定性条件：T单调减小的条件显式差分格式隐式差分格式第31页，共52页，2023年，2月20日，星期一当dt=1.25，tau=0.7时，显式差分格式不稳定，结果振荡；隐式差分格式稳定，结果不精确。隐式差分格式无条件稳定重点考察差分格式的收敛性第32页，共52页，2023年，2月20日，星期一当dt=1，tau=0.7时，显式差分格式不稳定，结果振荡；隐式差分格式稳定，结果不精确。第33页，共52页，2023年，2月20日，星期一当dt=0.5，tau=0.7时，显式差分格式稳定，隐式差分格式稳定，结果不精确，两者都不精确。第34页，共52页，2023年，2月20日，星期一当dt=0.1，tau=0.7时，显式差分格式稳定；隐式差分格式稳定；结果都比较精确。第35页，共52页，2023年，2月20日，星期一当dt=0.01，tau=0.7时，显式差分格式稳定；隐式差分格式稳定；结果都相当精确。第36页，共52页，2023年，2月20日，星期一第37页，共52页，2023年，2月20日，星期一当dt和tau都大于零时，该式无条件满足，因此混合差分格式无条件稳定。第38页，共52页，2023年，2月20日，星期一

xt(nt+1)=nt*dt;

plot(xt,T_e,'b.-',xt,T_i,'g.-',xt,T_m,'m.-',xt,T_a,'r.-',);holdon

%

set(gca,'DataAspectRatio',[(max(xt)-min(xt))/(max(T_e)-min(T_e))/311]);xlabel('Time(s)','Fontname','timesnewroman','FontSize',14);

ylabel('Temperature','Fontname','timesnewroman','FontSize',14);title('dt=0.01tau=0.7');%Malab-1Dclear;clc;figure('color','w');

t0=1;%initialtemperaturetau=0.7;%timeconstantdt=0.01;%timeintervalt_total=10;nt=round(t_total/dt);%totaltimesteps

T_e(1)=t0;T_i(1)=t0;T_m(1)=t0;

fori=1:nt;xt(i)=(i-1)*dt;T_e(i+1)=T_e(i)*(1-dt/tau);%explicitT_i(i+1)=T_i(i)/(1+dt/tau);%implicitT_m(i+1)=T_m(i)*(1-dt/2/tau)/(1+dt/2/tau);%mix

T_a(i)=t0*exp(-xt(i)/tau);%analyticalresultsend不同差分格式的matlab程序第39页，共52页，2023年，2月20日，星期一混合差分格式精度最高！不同差分格式计算结果对比第40页，共52页，2023年，2月20日，星期一混合差分格式精度最高！不同差分格式计算结果对比第41页，共52页，2023年，2月20日，星期一混合差分格式精度最高！不同差分格式计算结果对比第42页，共52页，2023年，2月20日，星期一混合差分格式精度最高！不同差分格式计算结果对比第43页，共52页，2023年，2月20日，星期一混合差分格式精度最高！不同差分格式计算结果对比第44页，共52页，2023年，2月20日，星期一显式差分格式1.对步长有要求；2.无需解方程第45页，共52页，2023年，2月20日，星期一二阶精度第46页，共52页，2023年，2月20日，星期一第47页，共52页，2023年，2月20日，星期一%Matlab2Dclear;clc;figure('color','w');

lx=17;ly=11;%v1=zeros(ly,lx);%forj=2:lx-1v1(ly,j)=100;end%v2=v1;maxt=1;t=0;k=0;while(maxt>1e-6)%k=k+1maxt=0;fori=2:ly-1forj=2:lx-1;v2(i,j)=(v1(i,j+1)+v1(i+1,j)+v1(i-1,j)+v1(i,j-1))/4;t=abs(v2(i,j)-v1(i,j));if(t>maxt)maxt=t;endendendv1=v2;end%subplot(1,2,1),mesh(v1)axis([0,17,0,11,0,100])subplot(1,2,2),contour(v1,32)迭代解法:K:迭代步数K=419第48页，共52页，2023年，2月20日，星期一第49页，共52页，2023年，2月20日，星期一总结：显式格式算法简单、易于编程，可以从给定的初始条件开始，在时间上逐层前进求解。一些与时间有关的偏微分方程的求解，需要用到隐式差分格式，在时间上计算数值解的传播时，需要求解线性方程组。通常在计算的每一个时间步，需要求矩阵的逆矩阵。因此，隐式格式算法相对于显式格式更复杂，编程更困难。显式格式通常比隐式格式的稳定性差，如果时间步长取得过大，可能会给出物理上不正确的结果。某些隐式格式的优点是其无条件稳定性，因此时间步长可以取得大一些，但是并不能保证精度很高。可以利用显式-隐式混合格式（如：Crank-Nicholsonscheme