第二节行列式的基本性质与计算

第二节行列式的基本性质与计算第1页，共51页，2023年，2月20日，星期一定义3

设

一、行列式的基本性质

性质1.

行列式与它的转置行列式相等,即

第2页，共51页，2023年，2月20日，星期一因为性质2.

互换两行(列),行列式改变符号.

注：由性质1可知,行列式中行与列具有同等地位,行列式的性质凡是对行成立的,对列也成立,反之亦然.所以第3页，共51页，2023年，2月20日，星期一注:

换行:换列:即例如:第4页，共51页，2023年，2月20日，星期一又如:

推论1.

若行列式中某一行(列)的所有元素均为零,则

证明:当第一行元素全为0时,即由行列式定义知D=0;第5页，共51页，2023年，2月20日，星期一若第i

行(i＞1)的元素全为0,即(第i行)=0.证毕.第6页，共51页，2023年，2月20日，星期一推论2.

若行列式D中有两行(列)完全相同,则D=0.证明:将相同的两行互换,有

性质3.

若行列式中某行(列)的所有元素是两个数的和,则D可表示成两个新行列式之和.即

第7页，共51页，2023年，2月20日，星期一第8页，共51页，2023年，2月20日，星期一证明:当i=1时，由行列式的定义知第9页，共51页，2023年，2月20日，星期一当i>1时，把第i行与第一行互换，再按上面的方法把行列式拆成两个行列式之和，然后再把这两个行列式的第i行与第一行互换即可．第10页，共51页，2023年，2月20日，星期一性质4.行列式中某一行(列)所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.即证:当i=1时，由行列式的定义知第11页，共51页，2023年，2月20日，星期一当i>1时，把第i行与第一行互换，根据上面的结论，可把第一行的公因子提到行列式外，然后再互换第一行和第i行，即得该命题．第12页，共51页，2023年，2月20日，星期一(第j行)推论20.(第i行)也就是

推论3.

若行列式D

中有某两行(列)对应元素成比例,则D=0.第13页，共51页，2023年，2月20日，星期一

性质5把行列式中某一行(列)的各元素乘以常数k后加到另一行(列)对应的元素上去,行列式保持不变,即第14页，共51页，2023年，2月20日，星期一又注意:

注:

利用上述性质和推论可以简化行列式的运算,即可把行列式化成上三角(或下三角)行列式来计算.第15页，共51页，2023年，2月20日，星期一例1.计算解:D第16页，共51页，2023年，2月20日，星期一第17页，共51页，2023年，2月20日，星期一例2.计算解:从第四行开始,后行减去前行,得第18页，共51页，2023年，2月20日，星期一第19页，共51页，2023年，2月20日，星期一例3.

计算n

阶行列式

解:此行列式的特点是各行n个数之和均为a+(n-1)b,故把第二列至第n列都加到第一列上去:第20页，共51页，2023年，2月20日，星期一第21页，共51页，2023年，2月20日，星期一解法二(镶边法)当a,b相等时，行列式为0,当a,b不等时第22页，共51页，2023年，2月20日，星期一第23页，共51页，2023年，2月20日，星期一例：计算解：第24页，共51页，2023年，2月20日，星期一第25页，共51页，2023年，2月20日，星期一第26页，共51页，2023年，2月20日，星期一

引理一个n阶行列式，如果其中第i行(或第j列)所有元素除外都为零，那末此行列式等于与它的代数余子式的乘积，即二、行列式按任一行(列)展开

根据行列式的定义和性质1,我们知道行列式等于它的第一行(列)的各元素与它们对应的代数余子式的乘积之和.

事实上可以证明更一般的结论.为此先证明以下引理.例如第27页，共51页，2023年，2月20日，星期一也就是:若则第28页，共51页，2023年，2月20日，星期一(1).当位于第一行第一列的情形,即证明:

先证由定义,按第一行展开得(2).再证一般情形(第i行除外,其它元素全为零),此时第29页，共51页，2023年，2月20日，星期一得第30页，共51页，2023年，2月20日，星期一其中得第31页，共51页，2023年，2月20日，星期一第32页，共51页，2023年，2月20日，星期一于是证毕.

定理一.行列式等于它的任一行(列)的各元素与它们对应的代数余子式乘积之和，即行列式按行（列）展开法或

证明:把行列式D的第i行的每个元素按下面的方式拆成n个数的和,再根据性质3,可将D

表示成n个行列式之和:第33页，共51页，2023年，2月20日，星期一引理第34页，共51页，2023年，2月20日，星期一证毕.同理,若按列证明,可得

推论.

行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即证明:

不妨设i＜j,考虑辅助行列式第35页，共51页，2023年，2月20日，星期一←第i行←第j行其中第i行与第j行对应元素相同,又将按第j行展开,有于是得第36页，共51页，2023年，2月20日，星期一上述证法按列进行,同理可得证毕.小结:关于代数余子式的性质有:(1).(2).或简写成:第37页，共51页，2023年，2月20日，星期一例1.利用定理一计算前面的例1解:D第38页，共51页，2023年，2月20日，星期一第39页，共51页，2023年，2月20日，星期一例2.计算0000解:按第一行展开,有第40页，共51页，2023年，2月20日，星期一第41页，共51页，2023年，2月20日，星期一递推公式第42页，共51页，2023年，2月20日，星期一例3.证明范德蒙(Vandermonde)行列式说明:第43页，共51页，2023年，2月20日，星期一下面我们来证明范德蒙(Vandermonde)行列式.证明:用数学归纳法.因为第44页，共51页，2023年，2月20日，星期一第45页，共51页，2023年，2月20日，星期一按归纳法假设,有故第46页，共51页，2023年，2月20日，星期一常见的行列式计算法1.用定义2.化为三角行列式3.每行(列)元素之和为同一常数4.奇数阶的反对称行列式为零(n为奇数）