武汉大学结构动力学

武汉大学结构动力学第1页/共122页第一章概述1.1动力荷载与结构动力分析的概念2.动力荷载：荷载大小、方向、作用点随时间迅速变化的荷载，它引起结构的响应也随时间迅速变化。在动力荷载作用下各支点的加速度及相应的惯性力不可忽略，成为结构荷载的重要组成部分。

静力荷载是动力荷载的一种特殊形式，它是缓慢加到结构上的荷载，它的大小、方向、作用点是随时间不变或缓慢变化。1.结构动力学的任务：研究在动荷载下结构的强度、刚度与稳定性的科学。第2页/共122页3.结构动力分析：分析结构在动力荷载下的响应，称为结构动力分析。按照动力荷载是确定的还是随机的结构动力反应的分析方法分为数定的和非数定的两大类。结构体系在确定性动荷载下的反应分析称为数定分析，是本课程的主要内容。结构在随机动荷载下的反应分析，将在“结构随机振动”课程中详细介绍。动力荷载与静力荷载的概念是相对的，它与结构的动力特性（自振频率）有关，如图1-1所示荷载，当

秒时，对于柔性结构（如自振周期

秒）为动荷载，对于刚性结构（如秒）为静力荷载。在静力荷载的作用下，结构各质点没有加速度或加速度很小，加速度产生的惯性力与静力荷载本身相比可略去不计。第3页/共122页4.本课程主要内容：单自由度、多自由度、无限自由度结构体系在各种动荷载下的时域响应分析、频域响应分析、(非)线性响应分析，以及它们的动力特性（自振频率、振型和阻尼比）。第4页/共122页1.2工程中常见的动力荷载

1.简谐周期荷载具有偏心质量的m的电机以角速度匀速转动，其惯性力的竖向和水平分量为：2.冲击荷载气锤打桩、发射火箭的反推力等。作用时间

很短，

很大，如图1-3。第5页/共122页4.爆炸荷载各种爆炸引起的冲击波（如图1-5）。5.周期性非简谐荷载螺旋桨对船的推进力（如图1-6）。3.突加荷载荷载突然加载结构上，此后保持不变，如吊车制动（见图1-4）。第6页/共122页7.脉动风荷载（随机）作用在建筑物上的脉动风压(如图1-8）。6.地震荷载（随机）基底运动引起水塔的动力反应（如图1-7）。第7页/共122页1.3弹性体系的自由度在结构动力分析过程中，将结构上连续分布的质量化为一系列的质量点或质量块，能大大地简化计算，并达到工程所需要的精度。这种方法叫集中质量法，所建立起来的体系为多自由度体系。所谓自由度即弹性体系在一切可能的变形中，决定其所有质点位置所需要的独立几何参数的数目。

在计算结构体系的自由度时，一般杆柱的轴向刚度很大，可忽略其变形，质点的转动自由度亦可忽略不计。第8页/共122页试判断下列各结构的自由度：第9页/共122页1.4运动方程的建立当弹性体系的自由度确定以后，描述各个自由度随时间变化的方程为运动方程，建立运动微分方程以后，通过时域或频域的运算求解，即可得到运动方程。运动微分方程的建立通常有如下两种方法：1.利用牛顿第二定律或达朗贝尔原理建立运动微分方程或力的平衡方程。

1)由牛顿第二定律求得某一质点在某一运动方向的微分方程：2)达朗贝尔原理：第10页/共122页2.利用拉格朗日方程或哈密顿原理得到运动微分方程—从能量角度建立方程，避免了复杂的矢量变换。1)拉氏方程：对于保守体系：L为拉氏函数，T、V为体系的动、势能，q为广义坐标、为广义力。

对非保守体系：，2)哈氏方程：

为非保守力做的功

第11页/共122页1.5弹性体系振动的衰减弹性体系由于各种干扰离开平衡位置，去掉干扰后，体系将发生自由振动。结构的自由振动为衰减振动（如图1-10）。造成衰减振动的原因是阻尼力引起了振动能量的耗散。形成阻尼的原因有一下几点：

1)结构体系材料的内摩擦将振动的动能转化为热能消失在介质中。无内摩擦时（如图1-11）。材料变形时的能量在卸载时完全恢复，为无能量损耗的理想振动状态。第12页/共122页有内摩擦时，结构振动时的应力变化如图1-12，可以看出应变总是滞后于应力，形成滞变回线，回线面积为为一个应力循环中单位体积材料所耗散的能量。令即最大变形能。为滞变回线所围面积，

为材料的耗散系数，例如钢混的耗散系数为0.3。2）结构体系周围介质对振动的阻力（水、空气）3）节点、支座、连接产生的摩擦力。4）基础、地基振动耗散的能量，主要是土壤的内摩擦力耗散的能量。第13页/共122页第二章

单自由度体系的振动单自由度体系分析起来既简单又具有普遍意义，他能揭示振动的一般规律，是一种理想模型。利用广义坐标可以将任何线性体系的强迫振动化为一个单自由度系或一系列单自由度问题来研究。2．1不计阻尼时的自由振动如图2-1，由牛顿第二定律得:

由达朗贝尔原理得：为刚度系数，是使质点沿运动方向产生单位位移所需外力。为柔度系数，是质点运动方向单位力产生的位移。第14页/共122页式为二阶常系数齐次线性微分方程，由高等数学知识：从而：式中，可化为：式中，为圆频率。第15页/共122页注意：1）自振频率与初始条件无关。2）振幅与初始条件及自振频率有关。3）刚度大，频率大；质量大频率小。弹性体系的自由振动为周期性振动，每秒振动的次数为自振频率：第16页/共122页例1.如图2-2，求水平振动的自振频率。解：此为并联体系例2.如图2-3，求自振频率。解：第17页/共122页例3.如图2-4，板均质，质量m，转动惯量为，方柱EI，求其在平面内扭振频率。解：如图2-3.a，产生单位转角所需的力为：

故：而平动频率：可见扭转频率是平动频率的倍。事实上：第18页/共122页例4.如图2-5，杆质量不计，基础抗滑刚度、抗扭刚度

，求自振周期。解:这相当于三个弹簧串联体系。当基础无滑动也无转动时：当杆不变形、基础只滑不转时：当杆不变形，基础只转不滑时：当杆变形、基础既滑又转时：第19页/共122页习题：第20页/共122页2-2考虑阻尼时的自由振动在工程实际中，由于阻尼的作用，自由振动实际是衰减振动。下面介绍两种常见的阻尼理论模型。1.粘滞阻尼理论该理论于十九世纪下半叶提出，它认为材料内摩擦阻尼力与粘滞液体中的粘滞摩擦相似，是变形速度的线性函数。振动中的材料应力有两部分：

弹性应力：

阻尼应力：

为阻尼系数总应力

：如图2-6：当

>0时（上分支），

当

<0时（下分支），

对单自由度体系，阻尼力

：自由振动方程为（达氏定理）：第21页/共122页式中，

、、；为阻尼系数与临界阻尼的比值，常用其表示阻尼的大小，小于1为低阻尼、等于1为临界阻尼、大于1为过阻尼，（可参看相关资料)。

求解(2-2)可得：式中：初始条件：代入初始条件得：式中，各振幅的包络线为：相邻两振幅之比为：第22页/共122页为对数衰减率。也可写为：对于小阻尼体系：这一结果与实测结果不符，对数衰减率实际上与频率无关，主要与材料性质、结构类型有关。二.复阻尼理论（滞变阻尼理论）1.西奥多森—加里克理论

此理论认为，阻尼应力与弹性应力成正比，与变形速度同相。若用复数表示应变的简谐振动：因为，故

，较

相位超前

。

第23页/共122页相应的单自由度阻尼振动方程为：

式中，振幅包络线：频率

与实际不符。2.米克里斯达德理论（Myklestad）——改进的复变阻尼理论由于阻尼的作用，应变的相位比应力相位落后

，

为阻尼常数。由此得到振动方程：第24页/共122页式中，

（s相当于阻尼比），

。由初始条件确定复积分常数

得：式中，对数衰减率：

对数衰减率与周期无关，与实测相符。三.小结1.粘滞阻尼理论是古老、方便、至今还常用的理论。其方程是线形的，求解简便。在微幅振动时与工程实际吻合较好。当振幅较大时，改进的复变阻尼理论(米克里斯达德理论)与工程实际吻合较好。第25页/共122页

2.根据粘滞阻力理论，阻尼越大，衰减越快，当

时，体系失去振动性质，为一简单衰减曲线。令

称为（临界）阻尼比，

时体系为衰减振动，土木工程结构

，通常

。

3.对数衰减率可由自由振动的曲线记录计算，并由此确定体系的阻尼参数4.考虑阻尼影响的体系，其圆频率

略小于无阻尼体系的圆频率，但由于阻尼参数

都很小5.两种理论的对数衰减率第26页/共122页2.3在任意荷载作用下的强迫振动1.运动方程的建立方法1.达氏原理

式中，惯性力、弹性恢复力

、阻尼

。则：方法2—哈密顿原理：非保守力虚功：第27页/共122页又：，则：

可得：方法2在复杂情形（广义坐标）时较为方便。

对于竖向或斜面振动，重力影响可通过坐标建立平衡位置来消除（如图2-7）：消去

得：第28页/共122页2.由杜哈梅积分求任意荷载下单自由度体系的运动该方程由齐次解与特解两部分组成是由初位移、初速度引起的自由振动。

为杜哈梅积分，是强迫振动。杜哈梅积分的来历（此讨论无阻尼情况）：如图2-8，体系无位移，给一冲量s，

第29页/共122页引起的响应为：

则：有阻尼存在时，

。

的存在而存在。有阻尼时的杜哈梅积分：

第30页/共122页2.4在简谐荷载作用下的强迫振动1.响应分析由

代入微分方程得：

令：

第31页/共122页1）.响应由

与

两部分组成，第一部分消失之前稳为暂态响应，消失后

稳为稳态响应，亦稳为纯强迫振动响应2）纯强迫振动的振幅只决定于荷载的幅值、频率与体系的频率、阻尼比、质量。它的频率与荷载频率相同，与荷载存在相位差

，相位差只与体系频率、荷载频率及体系阻尼比有关。

3）当简谐荷载的幅值稳定，为一常量时，体系的最大响应通常在暂态响应未失时（过渡阶段）发生。这时两部分响应的叠加十分复杂。当简谐荷载的幅值随时间增加时，最大响应发生在稳态响应阶段。2动力放大系数和相位差稳态响应的表达式：

为当荷载为常量时的静位移。第32页/共122页

为动力放大系数，这样，稳态振幅，故可将D理解为体系的振动将荷载幅值作为静荷载时引起的位移的放大倍数。动力放大系数与荷载幅值无关，只与体系频率、荷载频率及体系阻尼比有关。如图2-10，为幅-频曲线（图中0.1、0.2等为阻尼比）。从图中可以看出：1）

，当荷载频率小于0.25hz时，可以近似为一个静荷载。第33页/共122页第34页/共122页如图2-11，为相-频曲线。（图中1、0.2、0.05、0等数值分别为不同得阻尼比）。从图中可以看出：第35页/共122页第36页/共122页第37页/共122页3振动的合成——拍第38页/共122页第39页/共122页2-5、在周期荷载作用下的振动第40页/共122页第41页/共122页第42页/共122页显然越是高次谐波，其幅值越小，一般来讲，实际计算时只需要取前几个谐波分量即可满足要求。第43页/共122页

方法二：将荷载展开为复数形式的傅立叶级数第44页/共122页第45页/共122页第46页/共122页2-6在突加荷载作用下的振动第47页/共122页2-7在冲击荷载作用下的反应冲击荷载为一个单独脉冲，持续时间短，最大响应在短时间内达到，阻尼力来不及吸收较多的能量，故阻尼力的影响很微弱。但是，由于阻尼力的存在，冲击荷载引起的结构响应在荷载结束后将逐渐减少，直至消失，类似于一个由初位移、初速度引起的自由振动响应。

一.三角形脉冲爆炸荷载引起的冲击波近似为一三角形脉冲（如图2-15）。其荷载曲线为：现考虑无阻尼体系在零初始条件下的反应：第48页/共122页第49页/共122页二、矩阵脉冲tP00P(t)第50页/共122页三、冲击荷载的近似求解（1）对于持续时间长的荷载（如t/T>1），动力放大系数主要依赖于荷载达到其最大值的增加速度和荷载降为零的减小速度。具有足够持续时间的单阶荷载产生的动力放大系数趋于2，反之则小于2。（2）对于持续时间短的荷载，如t/T<=1，动力放大系数主要依赖于荷载的冲量和结构本身的频率，与荷载的大小及随时间的变化关系很小。举例说明如下：如右图，当时：第51页/共122页第52页/共122页2-8地面运动引起的强迫振动把

当为已知的地震荷载。第53页/共122页2-9杜哈梅积分的数值计算分析当荷载p(t)复杂时，特别是p(t)由实验或实测数据给出，无解析表达式，此时杜哈梅积分只能用数值方法求解。第54页/共122页令

n个

第55页/共122页第56页/共122页第57页/共122页第58页/共122页2.10强迫振动的频域反应计算C第59页/共122页由于：则：第60页/共122页频域算法的一般步骤为：第61页/共122页二.数值计算方法——离散傅里叶变换（DFT）三.数值计算方法——快速傅里叶变换（FFT）FFT法在60年代发展起来，大大提高了计算速度，现已制成软件在工程中广泛应用。第62页/共122页2-11单自由度体系的非线性反应分析1.分析过程杜哈梅积分和数域积分的分析方法都是用了叠加原理，只适用于线性体系，即反应过程中体系的特性保持不变。当体系受到大的干扰力时（如地震力）体系发生了大的变形，为非线性体系，这时体系刚度K(t)为时间函数（图2-17）。

非线性分析的基本方法——逐步积分法：取一系列短时增量

，在每个

的起点和终点建立动力平衡方程，体系的基本特性在每个时间间隔内为常量。其非线性的特性在每个时间间隔的起点由所求得的体系的位移、速度来决定，每个时间间隔

终点的速度和位移作为下一个间隔计算时的初始条件，如此往复，求得全部时间的响应。第63页/共122页2.平衡的增量方程非线性体系，如图2-18：对任一瞬时t，作用力质量m上的各个力可建立如下平衡方程：第64页/共122页对于下一瞬时，平衡方程为：二式相减得到:即为运动方程的增量形式。

式中：3．逐步积分法：基本假定：1）在时间

内加速度是线性变化的。2）体系的阻尼、刚度在

时间内保持不变。第65页/共122页第66页/共122页将上述表达式中的加速度、速度增量，用位移增量及速度、加速度增量表示（可认为此过程为线性转换）：第67页/共122页第68页/共122页2-12强迫振动理论的工程应用1.加速度计与位移计

1）.加速度计的原理第69页/共122页第70页/共122页二、

隔振1、积极隔振（主动隔振）第71页/共122页第72页/共122页3、用共振法确定阻尼第73页/共122页第三章：多自由度体系的振动3.1多自由度体系的运动方程与结构特性矩阵单自由度体系实际上是一种理想模型，适用于质量集中于一点的弹性体和可用一个广义坐标来定义其运动的刚性体系。如果体系存在多个集中质量，或刚性体系的运动必须用多个独立的坐标参数来定义，则必须建立多自由度体系模型来描述体系的运动状态。

多自由度体系即离散参数体系，其自由度通常对应于结构上（集中质量）点的位移，对于刚体体系也可对应于一组广义位移模式。

本章主要研究前者，实际结构的振动位移曲线是连续变化的。第74页/共122页当用一组离散点的位移

来表示时，应注意：1）.原则上离散点的设置是任意的，但实际上点的分布必须与结构的主要物理特性（质量的分布、变形的状态）相符。2）原则上离散点越多越精确，实际上有几个乃至十几个集中质量即可达到很好的精度。第75页/共122页2．多自由度体系的弹性特性多自由度的弹性特性，可以由刚度法或柔度法来描述，以简支梁为例。

第76页/共122页

第77页/共122页3多自由度体系的运动方程多自由度体系的运动方程可由平衡条件建立，考虑有多个集中质量的简支梁(如图3-3）：式中四部分分别为：惯性力、阻尼力、弹性恢复力、外荷载。第78页/共122页4、轴向压力效应

轴向压力将对结构的刚度产生影响，特别是当结构产生较大变形时，这种影响不能忽略。第79页/共122页第80页/共122页5、刚度矩阵与质量矩阵（1）刚度矩阵多自由度体系将结构分隔成在有限个结点处相互连续的离散单元体系，通过分析单个单元的弹性特性并适当地迭加、集成，就可得到整个结构的刚度矩阵。如果结构单元都是等截面直杆，可方便地用结构静力学的形常数得带其单元刚度。但对于变截面，可由如下方法建立单元刚度：第81页/共122页第82页/共122页第83页/共122页②对于等截面梁，此方法所得单元刚度矩阵为精确值；对于变截面杆由于插值函数产生的误差，此式求得的单元刚度系数为近似值，但将杆分为足够多个有限单元时，计算精度仍较理想。③当结构的全部有限单位的刚度系数求得后，适当叠加单元刚度能得到整个结构的刚度。第84页/共122页

（2）质量矩阵①集中质量矩阵如图3-5.由静力学方法，将连续分布的质量向单元两端的节点简化，形成集中质量矩阵。任一部分向两端结点分配后，其质量中心应保持不变。第85页/共122页

②一致质量矩阵为方向单位加速度引起的方向上的等效结点惯性力，从物理意义讲，它为等效质量影响系数，即：

第86页/共122页注意：①单位的一致质量矩阵形成后，可以用从单元刚度矩阵建立结构刚度矩阵相同的方法，建立结构的质量矩阵。

②一致质量矩阵不是对角矩阵，动力分析和计算量比集中质量矩阵大得多。第87页/共122页6.阻尼矩阵和荷载向量注意：①受结构形式等因素的影响，C难以准确确定，由在实际中由实验或经验直接确定结构的振型阻尼比。

②单位阻尼矩阵被确定后，可用与上述刚度矩阵和质量矩阵相同的方法确定结构的阻尼矩阵。第88页/共122页(2)荷载向量

①静力等效法计算节点力向量第89页/共122页第2、3题可留作本章第三节作业。第90页/共122页3.2多自由度体系的自由振动3.2.1概述①对于多自由度体系，其动力特性包括自振频率、阻尼和振型（单自由度体系动力特性只有频率和阻尼）。②多自由度体系在动荷载作用下的动力反应可以通过振型分解法化为一系列单自由度体系反应的迭加，因此，求多自由度体系（自由振动）的动力特性是分析其动力反应的必要步骤。③一般多自由度体系的阻尼矩阵很难直接得到，且对其自振频率与振型的影响很小，故可分析无阻尼自由度体系的频率和振型，用于多自由体系动力反应计算。第91页/共122页3.2.2用柔度法分析多自由度体系的自由振动故有变形方程：或写为：第92页/共122页可设其解的形式为：代入变形方程得：第93页/共122页例：如右图，求其振型及自振方程。第94页/共122页自由振动的解为：对于任意多个自由度体系可用同样的方法求解。第95页/共122页对n个自由度体系的求解与两