锐角三角比的拓展

#锐角三角比的拓展知识定位 古希腊数学家和古代中国数学家为了测量的需要，他们发现并经常利用下列几何结论：在两个大小不同的直角三角形中，只要有一个锐角相等，那么这两个三角形的对应边的比值一定相等．正是古人对天文观察和测量的需要才引起人们对三角函数的研究，1748年经过瑞士的著名数学家欧拉的应用，才逐渐形成现在的sin、cos、tan、cot的通用形式.三角函数揭示了直角三角形中边与锐角之间的关系，是数形结合的桥梁之一.知识梳理知识梳理：锐角三角比的性质1．单调性；2．互余三角函数间的关系；3．同角三角函数间的关系．平方关系：sin2a+cos2a=1；»拈辛毛4 ~sina cosa商数关系：tana= ,cota= ；cosasina倒数关系：tana•cota=L例题精讲.ifc.Ff【试题来源】【题目】已知在^ABC中，NA、ZB是锐角，且sinA=—,tanB=2,AB=29cm,13则saabc=——•【答案】145【解析】过C作CD±AB于D,这样由三角函数定义得到线段的比，sinA=CD=AAC13tanB=CD=2,设CD=5m,AC=13m,CD=2n,BD=n.BD尸竽=/m".人口=B."{13冏户E15稗1=12m从而售AB^AD-\-lil>=12^+yffl=为，由2g=引，得卅二1e40.5A3=48mC口・1田【知识点】锐角三角比的拓展【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】如图，在^ABC中.NACB=90°,NABC=15°,BC=1,贝UAC=()A.2+、；3 B.2_、.3 C.0.3D.43-五【答案】B【解析】由15°构造特殊角，用特殊角的三角函数促使边角转化.作/E丹D=1T,交ECFD•螂人D=BDt/AX=30\【知识点】锐角三角比的拓展【适用场合】当堂练习题【难度系数】3【试题来源】【题目】如图，已知△ABC是等腰直角三角形，NACB=90°,过BC的中点D作DE±AB于E,连结CE,求sin/ACE的值.

【答案】【解析】作EF^AC于点F,如右图所示设AC=BC=2j■：^ABC是等腰直角三角形"ACB=903过BC■的中点。作DELAB于E,乙90>NB=£A=45^CD=BD=a.ADEB=9O:,-EF^AC,BC_AC.,△AFEs^ACBt【知识点】锐角三角比的拓展【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】已知：在Rt^ABC中，NC=90°,sinA、sinB是方程％2+px+q=0的两个根.(1)求实数p、q应满足的条件；的正弦?【答案】实数p、Q应满足的条件是：囱八它们是直角三角形的两个锐角的正弦值【解析】（.1） 、占二nB是方程下二 十4=/b,¥/rjz4-fiinD=—p>艮［3^ii/A '\/2s-Z7»（A-+-45^）=—p-,（Tv吊vc>O0，/.I<—x/2:广—V—■1,r^inA-sinD= -Bp^irtA-ra.s/1=q..1.,wn2>k=l2tf；/.（）V。V—?-1j1)<qW21山的两个根，-P，⑵若p、q满足(1)的条件，方程x2+px+q=0的两个根是否等于Rt△ABC中两锐角A、B-3hrA+sinB~=(sinA+fiinB]12&inA►sinBj『-2q-1：一实数八Q应满足的条件是：/-2q=1,二-0分<1：0<r/<[2；1<。<寸£[，设sin2A=2(],则24=2a，或180°-2a，即.4=(t或90°-«;【知识点】锐角三角比的拓展【适用场合】当堂例题【难度系数】4【试题来源】【题目】已知a为锐角，下歹lj结论①sina+cosa=l；②如果a>45°,那么sina>cosa；③如果cosa>1,那么a<60°；④、.-'(sina-1)2=1-sina.正确的有2【答案】②③④【解析】①先画出直角三角形，然后报据三角函教的定义解答；②③④根据三角函数的增减性及特殊角的三角函数值解答.①如图，②云为sin4T-cos46J=1,且在锐角范围内，三强函数为增函数，余弦函数为减函数，故口＞45"时，£=tit!＞挈，c口snC挈，于是si口＜1＞口口£［：故结论E确：③因为g耳6r=%且在锐角范围内J余弦函数为减函数，故D强口＞=时，c＜6。：故结论E确；④云为在winaWL所以“㈠加看一1产二l—sinH：故结论正确.【知识点】锐角三角比的拓展【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】如图，NC=90°,NDBC=30°,AB=BD,利用此图可求得tan75°=【答案】+3【解析】设AB=BD=2\'ZDBC=30\ZC=90\，在AAED中，ZA=ZADB=15^在RSDBC中，ZDBC=30\DB=2,则BC=J3,DC=b在RtZXADC中，AC=2—J',dc=1,tanZADC=tan750=~qjj=2+【知识点】锐角三角比的拓展【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】化简ivtan227°+tan263。-2=.sin2l°+sin22°+…+sin288°+sin289°=.【答案】cot270-tan27a；441.【解析】'「tan63、=col27%tan27c<tak,.1■tan270<cot270.、介加27。+卅63。—2二\/tarr'170cot'227°—2tan27^ci)t27o[tan27^—cot27^=|tan27a-CDt270|=cot270-tan270；sin2r+sin22°+..+sin288c，+sin2890=(sin2l°+sin289°)+(sin220+sin288°)+...+(sin2440+sin2460)+sin245°=1+1+...+1+1【知识点】锐角三角比的拓展【适用场合】课后两周练习【难度系数】3【试题来源】【题目】身高相等的三名同学甲、乙、丙参加风筝比赛．三人放出风筝线长、线与地面夹角如下表(假设风筝线是拉直的)，则三人所放的风筝中( )同学甲乙丙放出风筝战长100m100m90m蛾与地面夹角40"45・6TA.甲的最高 B.丙的最高 C.乙的最低 D.丙的最低【答案】A【解析】利用所给角的正弦函数可得到垂直高度，比较即可.甲所放风筝的高度为1。0n门4口口：乙所放风筝的高度为-TO米：丙所放风筝的高度为n60°七7g米.而100sin404 100sin45*.因此可知丙的风筝飞得最高，乙次之，而甲最低.故选A.【知识点】锐角三角比的拓展【适用场合】课后两周练习【难度系数】399【试题来源】【题目】已知sin【题目】已知sinacosa=1,且0

8<a<45°则coa-sina的值为（ ）D．_3一4D．_3一42【答案】【解析】.I-2,sino-■co3n=1-/2 1r, 血-^-<鹤号门<i!（J< <—^-j8s口■■sina.>0,【知识点】锐角三角比的拓展【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】已知关于x的方程4x2—2(m+1)x+m=0的两根恰是某直角三角形两锐角的正弦，求m的值.

【答案】J3【答案】J3【解析】由耳的方程dfI|,m=口的两根恰是某直角三角形两锐角的正蔻」设两根为：吕玩点，，式足3,则仔加cI,宇MS=7nqisinasin/ji=彳J―1 ,IB=90°3,\sina：=cos^3代人得：cas8-卜蟾n8=二41;.lI2m;.lI2m花捌加#=1।?=m'1])"计算得出：病m又,「cofJ&dnB=—>0,..nf>0?4故皿=\/3-【知识点】锐角三角比的拓展【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】已知关于％的方程3—4•sina+(—cosa)=有两个不相等的实数根，a为锐角，那么a的取值范围是.【答案】11 1 1,11【解析】.「关于笈的方程短-如■aina+2{1-CGsa)=0有两个不相等的实数根,」.△>■口=即△=16翥储fit—1x3x2(1-2得nt)>■。，化同为2ajn-ct| -3>-0I又；sin~ctIcas~a=1，.2上一―站小，l1H0」即(2co,wt-1)(0?.?^-1)<0,.-<co-.sa■<1,即加<sr< ,所以n的取值范围是(T<仕<(KT.【知识点】锐角三角比的拓展【适用场合】课后一个月练习【难度系数】3【试题来源】【题目】已知是△ABC的三边，a、b、c满足等式(2b)2=4(c+a)(c-a)，且有5a-3c=0，则sinA+sinB+sinC的值为.【答案】一【解析】「口rti、*两足等式=4(c4a)(c—a),「.庐=/_/,即产+1=d,「△ABC是以边口为斜边的直角三角形，5丁’…仁5'‘设口=3』贝U七=5,6=4,TOC\o"1-5"\h\z..n 3 ,「匕 1,1号工tiA=l=—si-nJ3=一==：c D c5.烧hC=Hin%'=1，X1 12II■与MC=—।-।]=—.【知识点】锐角三角比的拓展【适用场合】阶段测验【难度系数】3【试题来源】【题目】如图，若两条宽度为1的带子相交成30°的角，则重叠部分(图中阴影部分)的面积是( )【解析】因为在直角三角形中30度角对应的直角边是斜边的一半,在题目中的菱形中,已知菱形的高为1,可得边长为2,所以面积为2.所以A选项是正确的.【知识点】锐角三角比的拓展【适用场合】当堂练习题【难度系数】3【试题来源】【题目】己在4ABC中，a、b、c分别是NA、NB、NC的对边，且c=55，若关于x的方程(5J3+b)x2+2ax+(5<3-b)=0有两个相等的实根，又方程2x2-(10sinA)x+5sinA=0的两实根的平方和为6,求4ABC的面积.【答案】18【解析】二方程(5仃-b)/_2g+(5逐■b)=0有相等实数根，=O产-1(573I则-6)=0.得/十户=背.C~=75，./.I庐=1・故△ABC是直角三角形,且/C=骸口.设11>欧是？/—(IOsitiA)t+5s7w4=0的两实数根,贝U片1I5=53而启§*]•工？=，sinA-：Xy|期'=6，而HJI-—(J7]|磁尸—2jT]-畋;(5由几启『5号加』0:0.计算得出smA=:,或占加总=—，(舍去)-在R仙ABC中，C— ，a=c-sinA.=3a^3jfr=g@一<j"=4V^故义<且<:=q仃a=in1【知识点】锐角三角比的拓展【适用场合】阶段测验【难度系数】4【试题来源】【题目】设a、b、c是直角三角形的三边，c为斜边，n为正整数，试判断an+b”与cn的关系，并证明你的结论．【答案】【解析】当1?=1」则在Ib>当n=2,则口？।b-=商当,则gy<人证明如下：/sinA=-,匚西力=-,u c而U<.sin/I<130<cosA<1,:几?3j,smrt/l<sin1A；cdyC1A<con-A」:由n\4Icon11A<f^in2AIcon2A=1，即（£『+价<1,“nIpv〃.【知识点】锐角三角比的拓展【适用场合】阶段测验【难度系数】4【试题来源】【题目】如图，已知边长为2的正三角形ABC沿直线l滚动.(1)当4ABC滚动一周到^AlB1cl的位置，此时A点所运动的路程为—，约为—(精确到0.1,n=3.14)(2)设^ABC滚动240°，C点的位置为C',4ABC滚动480°时，A点的位置在A"请你利用三角函数中正切的两角和公式tan(a+B)=(tana+tanB)：(i-tana・tanB),求出/CAC'+NCAA"的度数.

15【答案】(1)15【答案】(1)8.377588.4(2)30【解析】(1)当AABC滚动一周到△禹耳。1的位置，此时A点运动的路径为两个半径为2的三分之一的圆周长，即网点的路程长为:；乂2m3,14x2=8,37758,