第十章曲线积分与曲面

第十 §10.1第一类曲线内容概名主要内空间曲线f(xyLL1L2,则 dsLL计Lxx(t)tx(ty(t具有一阶连续的导数，yds x2y2dt，f(x,y)dsf[x(t),y(t)]x(t)2y(t)2 Lyf(x)，axb，其中f(xbds1y2dx f(x,y)dsf[x,f(x)]1f(x)2 Lxfy)cyd，其中fydds1x2dy f(x,y)dsf[f(y),y]1f(y)2 4．L:rr()，，则ds r2r2f(x,y)dsf(rcos,rsin)r2(r)2 计xyy(t,t，其中x(ty(tz(tzds x2y2z2f(x,y,z)dsf(x(t),y(t),z(t))x2y2z2 In20sinnd20cosndnnIn2,I11,I02例题分y★★1.L(xy)ds，其中L为连接O(0,0A(1,0B(0,1的闭折线思路:L由三段直线段组成，故要分段积分解：LOAABL(xy)ds(BO)(xOA:y0,0x1，ds1(y)2dxdx(xy)ds1(x0)dx1x21

21AB:y1x,0x1，ds21

1(y)2dx

2dx

(xy)ds0

2dx

2x10注：AB上，故总有f(xy)xy0BO:x0,0y1，ds 1(x)2dy(xy)ds1(0y)dy1y21 1

22122L(xy)ds2

1 2注：1AB(xy)dsBA(xy)dsBO(xy)dsOB(xAB段的积分可化为对x的定积分y的定积分，但OA段OBx（y）的定积分2★★2.计算LydsL为圆周2

(ya2

a2.4思路:L为圆周用极坐标表示较简单Lrasin,0ds

r2(r)2d

(asin)2(acos)2dyrsinasin2

1

yds

asin2ad2a20

sin2d2a2 2

a221t★3.x2y2z2ds，其中x1t应于t从02的一段弧思路:空间曲线，用空间间曲线第一类曲线积

cost,y

sint,zet解：ds

(x)2(y)2(z)2dt

(etcost)2(etsint)2e2tdt

3et2原式 2

3etdt

3etdt

3et2

3(1e2)2 e2t12

0

★★★1.计算曲线积分xyz0的交线

x2z2xzds，其中为球面x2y2z2R2

R2思路:的参数方程不易求出不好用空间间曲线第一类曲线积 但满足x

xz 2x2zx2z2R2x2y2z2R

:

2z

xz222 xyz

xyzR2原式=R2

ds

dsRR2

R2R

2R2x2z2x2z2R2注：1)利用被积函数f2x2z2x2z2R2为平面xyz0上的一个圆，圆心(0,0,0，半径为R课后习题全习题10-★1.x0y面内有一分布着质量的曲线L，在点(xy(x,y，用对弧长的曲线该曲线弧对x轴、y轴的转动惯量IxIy该曲线弧的质心坐标xy思路:xOyL，其(x,y，L的质量为L(x线段L关于x轴和yMxLy(xy)dsMyLx(x线段Lx轴和y轴的转动惯量Ix

y2(x,y)ds，Iy

x2(x,LLLL

Ix

y2(x,y)ds

Iyx2(x,

xM

Lx(x,y)ds,yM

Ly(x, L(x, L(x,★2.计算

x2y2dsLxacost,yasin

(0t2解：法一ds原式=

(x)2(y)2dt

(asint)2(acost)2dt(acost)2(a(acost)2(asint)2法二：原式=

a2dsads2a2.(利用性质L★3.L(xy)ds，其中L为连接(1,0)(0,1两点的直线yO解：直线方程为y1x,0xOds1(y)2dx1

x2原式=02

2dx★★4．计算(x43y43)ds，其中L为内摆线x23y23a2L解：xacos3tyasin3t,0t

(a0ds

(x)2(y)2dt

(3asintcos2t)2(3acostsin2t)23asintcost原式

a4/3(cos4tsin4t)3asintcost40

a4/3(cos4tsin4t)3asint12a7/3[0

cos5tsintdt0

sin5tcos12a7/

1cos6t

1sin6t2]4a7/ ★★5.计算曲线积分(x2y2z2ds为螺xacost,yasintzkt上相t从02解：ds (x)2(y)2(z)2 (asint)2(acost)2k2dt a2k2原式

(a

(kt)2

dt2a2a2ka2k

2k2★★6.

x2zyds，其中ABCD,ABCD依次为点(0,0,0，(0,0,2解：如图，原式=ABBC

zBCD1zBCD1A3 AB：x0,y0,zt(0t

x2zyds

0ds BC：xt,y0,z2(0t1)，

x2zyds

0dsCD：x1,yt,z2(0t3)，ds (x)2(y)2(z)2dt x2zyds312tdtt23 原式=0099★★7.计算xds，其中Lraek(k0在圆ra的内L解：依题意：aek 得ds

r2(r)2d

(aek)2(akek)2d

1k2xds

aekcosaek1k2 a

cos11k

d 2ka212ka21k★★★8.计算曲线积分

2y2z2ds，其中为球面x2y2z2a2xy的交x2y2z2a解 :

2y2z2a :2 x x22法一：的参数方程为x2

acost,y

acost,zasint(0t2原式

ds0

(x)2(y)2(z)2dtoΦ-xaadt2oΦ-xa法二：原式=

a2dsadsa2a2a★9a、中心角为2的均匀圆弧（1的质心解：x轴，顶点为原点建立平面直角坐标系，则xacos,yasin()ds

(x)2(y)2d

(asint)2(acost)2d由图形的对称性和1y0， x

xds

acos

asin

asin 2aa

故质心在（sin,0★10.求螺旋线xacost,yasintz常数

(0t2z轴的转动惯量，设曲线的密度解ds

(x)2(y)2(z)2dt

(asint)2(acost)2k2 a2k2I

(x2y2)ds0

a2

a2k2dt2a a2k11.设螺旋形弹簧一圈的方xacost,yasintzkt，其0ta2k(xyz)x2y2z2.求螺旋形弹簧关于z轴的转动惯量Iz解:ds

(x)2(y)2(z)2dt

(asint)2(acost)2k2dt

a2k2(1)I

(x2y2)ds

2a2(a2k2t20

a2k2a

a2k2(a2t232

t30

a

a2k2(2a2

8k22)3(2)M

(x,y)ds2(a2k2t20

a2k22 a2k2(a2t23

t3 0

a2k2(2a2

8k223yOz,zOx,xOy平面Mx

x(x,y)ds

2acost(a2k2t20

a2k200aa2k2[a22costdt2(a2k2t2)00aa2k2[0(a2k2t2)sint0

22k2tsina2a2kaa2k2[02k2(tcost

2costdt)]4ak2同法得M

y(x,y)ds

asint(a

k2t2 a2k00aa2k2[a22sintdt2(a2k2t2a2k00aa2k2[0(a2k2t2)cost0aa2k2[42k22k2(tsint0

22k2t0sina2k4a2kMz

Γz(x,y)ds

2kt(a2k2t20

a2k2 k kkak(a2

t40

2

a2k2(a22k22)xMxM

6ak,3a24k2,

yMM

3a24k2

zMzM

3k(a22k22.3a24k2.★★★1.计算L

x2y2ds，其中L为正向圆

x2y2a2，直线yxx轴在第一项yyox22 22yx与xyLLL

在第一象限的交点为

a) L1:y0,0x

ds

1(y)2dx2aL2:yx,0x 2a

ds

1(y)2dx

L3:y

a2x2,

xa

ds

1(y)2dx

dx2则原式2a

x2y2dsa2a2x

x2y2dsa

x2y2aa2a2

exdx 2e2x

2dx2

ea exae0

a20xaa220xaa22(ea1)aea()ea(2a) x2yax2y★★★★2.计算zds，其中为圆柱面(x2)

与锥4

z 的交线 (x

a)2y2

xacos2x2yx2y2解 :

4，参数方程为yacostsin

t ds

zx2y2z2dt

1sin2

zazdsaΓ

2acost2

1sin2tdt2a

2cost0

2a22cost0

1sin2tdt2a20

1sin2tdsinusint2a201

1u211u

1u1u

21u21u1u1u01u0

du

du

du 2I

1 du2121

1u2)0

2)22I 2 2)2222故zds2a22ln(1 2)2

2)]a2.(此题请核查 §10.2第二类曲线内容概名主要内平面曲线LP(xy)dxQ(x空间曲线P(xyz)dxQ(xyz)dyR(xy1．其中L表曲线的某一方向(正向),L表曲面的另一方向(负向 2.若LL1L2,则 计Lxx(t，起点t，终点tx(ty(t具有一阶连续的导数，yLP(x,y)dxQ(x,y)dyP[x(t),y(t)]x(t)Q[x(t),计xyy(t,起点t，终点tx(ty(tz(t具有z PdxP[x(t),y(t), QdyQ[x(t),y(t),RdzR[x(t),y(t), 例题分★★1.计 (x2y2)dx(x2y2)dy，其中L是O(0,0),A(1,1)B(0,2)C(1,1)为顶点的LyCAox思路:如图LyCAox解：LOAABBC (x2y2)dx(x2y2L()(x2y2)dx(x2y2 yOA:y

0x1x变化从0到(x2y2)dx(x2y2)dy12x2dx xAB:yx

0x1x变化从1

BC:yx2,1x0x变化从0到

(x2y2)dx(x2y2)dy1{[x2(x2)2][x2(x2)2]012x2dx21x31 CO:yx,1x0x变化从1

(x2y2)dx(x2y2)dy214224 ydxxdy 于t02的一段弧

x2y2z

，其中x

cost,y

sint,z

上对思路:空间曲线，用空间间曲线第一类曲线积 2etsint(etcostetsint)dtetcost(etsintetcost)dtet解：原式

e2tcos2te2tsin2t2e2t

1

t

dt20(1

)dt (t2

(3 ) 习题10-

课后习题全★1.Lydxsinxdy，其中L为解：如图LL1

ysin

(0xxyox其中L1:ysinxx变化从yoxL2:y0x变化从到01I11

ydxsinsinxdxsinxcosxdx(cosx

1sin2 0 02I22

ydxsinxdy

0dxsinxd0原式L

ydxsinxdyI1I21★2.Lydxxdy，其中L为圆周xRcostyRsint上对应于t 的一段弧2 原式2RsintRsint)dtRcostRcostdtR22cos0R2

2sin 0★★3.计算曲线积分

xdxye2xx2dy，其中L为从O(0,0)经y 到2x2xx22xx2解2xx2

yAO1xx变化从AO1x1原式xdx 2xx2e2xx22 dxxdxe2xx2(1x)dx112xx2xx(1x2

12

2xx20

1e2★★4.计算曲线积分

(xy)dx(xy)dyx2y2

L为圆

x2y

a

y

xacos,yasin

从0变到2a(cossin)(asin)da(cossin)a 原式

a1d2★★★5.计 (y2z2)dx2yzdyx2dz，设xt,yt2,zt

(0t1，式中解：原式1(t4t6dt2t2t32tdtt23t2dt1(3t62t40(7

t7

2t51 1

3

1★★★6.计算

x2dxzdyydz，其中xkyacoszasin于0到的一段弧解：原式k22kdasinasin)dacosacos03(k32a2)d3

k33a2

k3

a2 ★★★7.计算

x3dx3zy2dyx2ydz，其中是从点A(3,2,1到点B(0,0,0ABs为故其参数方程为x3ty2tzt,t从1变到原式0(3t)33dt3(t)(2t)22dt3t)22t00

87t3dt87t0 0

874★★★8.计算yz)dx(zx)dyxy)dz，其中为圆xz1(a0h0的交线l，从x轴正向看为逆时针方向

x2y2a2 xacosyasinzh(1cos从0变到原式2asinh(1cos)(asin0h(1cos)acos(acos)d(acosasin)h

-a2ahah(sincos)da2ahah(sincos)02(a20★★★9.在过点O(0,0A(,0的曲线族ysinx(0)L，该曲线从O到A的积分(1y3dx(2xy)dy的值最小。L解：L：ysinx( x从0变到I()(1y3)dx(2xy)dy(13sin3x)dx(2xsinx)(cos 2(x2xsinx2cosx2443I()44I(0得1（负号舍去

sin20

30

sin3 ,I )lim(443) ,II

23

ysinx为所求曲线★★★10.计算Lxydxyx)dyL分别直线AB;(2)ACB

y2(x1)21;(3)三角形（1）

x121

y31

1x2

即y2x2

x从1变到2C原式22

x(2x1)dx(2x1x) 2 1(2xx x x

A(1,1)

y2(x1)2

x从1变到2原式 x2(x1)1dx2(x1)1x)4(x2 22 10(x1)32(x1)2x)dx10(x1)42(x1)31x22

ADBADDB

AD:y

x从1变到

DB:x2y从1变到23原式ADxydxyx)dyDBxydxyx)dy23

xdx

(y21x2

(2

y22 3 3★★★11.为曲xt,yt2zt3上相应于t0变到1的一段曲线弧,把对坐标的曲线PdxQdyRdz解：ds

x2y2z2dt

14t29t4dt

14x29y2 dxdt,dy2tdt,dz3t2cosdx14x214x29y

114x29y

dx 114x29y

14x2914x29y14x29y14x29y114x29y14x214x29y

dz 14x29yPdxQdyRdz14x29y

x2y2z21yz相交的圆其方向沿曲线依次经过1，2，7，812的参数方程xcosy12

sin,z

12sin,从0变到212xyzdz

22222

cossin2

1cosd

42(sin2sin4) 0

2(12

31) 242

n 0注：利用In0

sinnd0

cosnd

In2,I11,I0★13.z轴与重力的方向一致m的质点从位置(x1,y1z1沿直线移到(x2,y2z2时重作的功F={0,0,mg},g为重力加速度;记dr={dxdydzA(x1y1z1

B(x2,y2,z2)则 WFdr

z2mgdz

z1★★★14.质点p沿以AB为直径的半圆周A(1,2运动B(3,4的过程中F的作用F的大小等于点PO之间的距离，其方向垂直于线段OP，且与y轴正2

F对质解：Fyixjdrdx从A点到B点半3

4 21

Cx2

2cos,y3

2sin,从

变 则 WABFdrABydx141

(3

2sin)

2sin)d(2

2cos)

2cos4(24

2sin

2cos)d2

2cos

2sin4222

2xy)dyL为上半椭圆

x2ya

L

xacosybsin0变到0原式a2cos22acosbsin)(bcos0

32

d 2

2ab2

2

2

2sos §10.3及其应内容概名主要内P(x,y),Q(x,y及它D上连续，QPxdy y PdxD 其中LD的边界曲线，且取正向面A1xdyydx xdy 2 Dxy处处成立沿域D内的任一闭路积分为零，即PdxQdyL在域D内存在函数u(xy，使du(xyPdx 若域Dxy，则D内任意两点(x1y1),(x2y2(x2,y2)PdxQdyu(x,y)u(x,y 计★★★1)

例题分(exsinyy)dx(excosy1)dy★★★★2)

(exsinyy)dx(excosy1)dy其中A(0a,B(a,0O(0,0,ABOA是折线AB是由AB的直线段，如图知识点：思路:1)Pexsiny- Qexcosy1

QP1，应 方便 yo减去补上的这些曲线段上的线积分.补上的这些曲线段上的线积分本身应易于计算.BOA（如图yo解：1

(exsinyy)dx(excosy

(exsinyy)dx(excosy[(excosy1)(exsinyD 2D1dxdy2如图

-

其中

(exsinyy)dxexcosy1)dy1a2（见本题2BO:y0,dy

(exsinyy)dx(excosy1)dyOA:x0dx0y由0变到a(exsinyy)dx(excosy1)dya(cosy1)dy(sinyy)asina

-

sinaa2(sinaa)aa2sina

P

ydxdyPdxQdyP(xy),Q(xyy,

连续D

Q(xy前是""号，如本题改写成

(exsinyy)dx(1excosy)dyQ1excosy，而应是Qexcosy1. (x (x★★★★2.计算L2(x2y2)，其 为圆

y

2的逆时针方向知识点：

Q

0，应 方便,.但因L围的区域内含被积函数不连续的点(0,0)，yLLDLLD xL包围的区域内作顺时针方向的小圆L1xcosysin,变化从2到LL1D上

4y28xyx x24y2

QPdxdy 4 IL

y

x

yL

xx4 x4(cos4sin)cos(cos(sin)(sin2 d 1d1 注：因L围的区域内含被积函数不连续的点(0,0)，故此题不能直接用课后习题全习题10-★★1.利 计算积分(yx3ey)dx(xy3xey2L其中L为正向圆周曲线x2y2a2解：Pyx3e Qxy3xey2Px3e

Qy3ey

QPy3x3

原式

y2

r

a(4)rdr2a0★★2.利 计算积 (x2xy3)dx(y22xy)dy，其中L顶点为L和(0,2的正解：L围的区域为D:0x2,0yPx2 Qy2P Q2y QP2y3xy 原式(2y3xy2dxdydx(2y3xy2 2 000y2xy dxxdxxx2 000

20203.ey2dxxdy，其中L是沿逆时真方向的椭圆4x2y28xLDLox解：设L围的区域为DLoxPe QP2

Q1

Q

12ye2原式2

(12yey2)dxdy

dxdyDD

2yey2dxdy0★★4.1

xacos3tyasin3t解：

A2Lxdy02acos3t3asin2tcostasin3t(3acos2tsin03a22cos2tsin2tdt3a22sin2 3a221cos4tdt3a2(t1sin

3a223a ★★5.求双纽线x2y22a2x2-y2

解：r2a2cosxr()cos,yr()sinA1

xdyL1rcos(rsinrcos)drsin(rcosrsin21r2A2

14a2cos2da21sin21

axy2dyx2

4

2 24★★6.计算

2y

，其中L

x2y2a

的顺时针方向解L参数方程为xacostyasintt变化从20acosta2sin2tacostdta2cos2tasint(asin原式 a2a22cos2tsin2tdt1a22sin22tdt1a 2xx2注：因L围的区域内含被积函数不连续的2xx2★★7.计算(x2y)dxxsin2y)dy，其中LL

y 上解：设O(0,0,A(1,1B(1,0连接ABBOLABBO围区域yLADB0Px2- QxsinLADB0P

Q

QP (x2y)dx(xsin2y)dy

0dxdyL (x2y)dx(xsin2L

(x2y)dx(xsin2y)dy

(x2y)dx(xsin2BA:x1,dx0,0y1

(x2y)dx(xsin21 1

2ydy

dy()y

OB:y0,dy0,0x1(x2y)dx(xsin2y)dy1(x20)dx1 1

原式 sin2 ★★8.(xesiny)dyy1)dx，其中L

xy1与位

x2y21构成A(1,0B(0,1再到C(1,0)yC(-1,0)o 解：连接CALCA围yC(-1,0)o P-y2

QxesinP

Q

QP (xesiny)dy(y1)dx

2dxdy2(1)1

(xesiny)dy(y1)dx1(xesiny)dy(y1 111dx1

11 1 1

★★9.计算excosydyexsinydx其中L从O(0,0沿摆线xa(tsintya(1LyALDBoπayALDBoπa解：B(a,0)连接ABBOLABBOPPexsin

QexsinQexsin

QP excosydxexsinydy0dxdy0L LexcosydyexsinydxexcosydyexsinydxL

excosydyexsin002aeacosydy0easiny2aeasin00ynDLox★★★10.Lxcos(nxycos(ny)ds，其中L为包围有界闭区域D得简单曲线D的面积S，nynDLox解：L沿逆时针方向的任意点的单位切向量tcosicos(,分别是 与x轴、y轴正向夹角 dxcoscos(n,y),dy

coscos(n,Lxcos(n,x)ycos(n,y)dsLxdyydx2S★★★11.I

(x4y)dy(x x24y ，其中L

x2y21的正向y-y-ox-L1xcosy2sin,2到 4y28xyx LL1D上y

4

2

，(x4y)dy(xy)dx

(QP)dxdy11

x24y

D I

(x4y)dy(xy)dx

(x4y)dy(x x

4y

x

4y1(cos4sin)cos(cos(sin)(sin12 d 1d1 ★★★12.

ydx(x1)dy(x1)2y2

，其中L

xy

的正向 2解：L包围L1:x1cos,ysin,变化从2到 LL1D上

(x1)2y(x1)2y2

ydx(x1)dy

(QP)dxdy11

(x1)2y

D

ydx(x ydx(x (x1) 1(x1)2

(1,2)(x

4xy3

d 计算Px44xy3

Q6x2y25y4

P12xy2

12原式1x4dx2(6y25y4)dy1 (2y3y5 7912 ★★14.证明曲线积分

(xy)dxxy)dyxOy面内与路径无关，并计算积分值解：法一：xy)dxxy)dyd(x2)d(xy)d(y2)d被积式是函数u(xy)x2xyy

222

xy

22y 22Px

QxyP1

22

(x1)dx

(2y)dy=(

x2

(2y

y2 3 3★★15.(x2y)dx(2xy)dy(x22xyy2)dx(x22xyy2)d(2xcosyy2cosx)dx(2y 解：(1)Px2

Q2xy

P1 x2y)dx2xy)dy是某函数的全微xyxu(x,y)xdx(2xy)dy1x (2xyxyx

y2 (2)P2x2y (x22xyy2)dx(x22xyu(x,y)xx2dxy(x22xyy

0x1x

(x2yxy2

P2xsiny2ycosx (2xcosyy2cosx)dx2ysinxx2siny)dy是某函数的全微(2xcosyy2cosx)dx(2ysinxx2sincosydx2y2dsinxsinxdy2x2dcosdx2cosydy2sinxd(x2cosyy2sinu(x,y)x2cosyy2sinx★★16.

xy2Y2xy8，改变力确了一个力场证明：W (xy2)dx(2xyL

2y上述线积分之值，即功W之值与路径无关 (x,y ★★★17.试求指 ，使曲线积分(x,y

xr

dx

x 2

dy(r

x2yyx2y00 x

x P

,Q y2

xy

x(y2r2-ryyr122x2yr2xr2xrx2r12x2y y

xy

(2r

x

2令P

, y

(y2r2r)y

(2rx2r2rr2(x2y2)1时上述曲线积分与路径无关(x,y(x,y

xr

dx

x 2r

dx

x2y00yx2 x2y00yx2yxyx21y1yx200

x2x20

x2y2) 0 x2x2yx2y oxB(-π,-oxB(-π,-A(π,-

(xy)dxyx)dy，其中L是沿ycosx由A(,)B(,

x2y P

x

Q yx2y x2yPx22xyy2MoxBA x2MoxBAx

ANB:y

,t变化从

(xy)dx(yx)dyx2y

(xy)dx(yx)dyx2y2(2)2[(cost(2)2[(costsint)dcost(costsint)dsin(2)2(cos2tsin232 4(1)dt 2 注：连接直线AMBAMBydy0x由变到，(xy)dx(yx)dy x

x2y

x2( dx dx0arctanxx2 x2 (xy)dx(yx) x

(xy)dxyx)dyx2yAMBMA围的区域内含被积函数不连续的点(0,0，不能说明积分与路径无关.P

xxy)(0,0，故不包含原点的任何闭曲线积分为0.为使域内不出现原点，一般可将面域沿负y轴剪开即联A,B的任意曲线均通过负y轴在沿负y轴剪开的域中，积分与路径无★★★2.设f(x在(,)有连续导函数

1y2f(xy)

dxx[yy

f(xy1]dy其中

A(323

P

1y2f(xy)

Qxy

[y

f(xy)P

f(xy)xyf(xy)y

Q(yy轴剪开的域中，积分与路径无关.PdxQdyPdxQdyPdx

2

f x)]dx

[f(y)

]dy3y

3

f x)dx3

f(y)dy12

tf

.总习题★★1.计算xds，其中L为由yxyx2所围成区域的边界LLL1

其中

:yx,0x1,ds

1y2dx

2L:yx2,0x1,ds21

1y2dx14x21xdsxdsxdsx2dxx14x2

1 21x1

1

14x2d(14x21 812251 225

(14x2) 30

★★2.

y2ds，其中L为摆线一拱xa(1sint),ya(1cost),0tds

x2y2dt

(acost)2(asint)2dtyds2a2(1cost)2adta324cos4tdt4a32cos4 318a322cos4d16a3 42

★★★★2.计算球面上的三角形x2y2z2a2x0y0z0的均匀围线的重心坐标解：xyxM

ABCAxds ABCA

xrsinyrsinsin zrCA:xasin,y0,zacos,02BC:x0,yasin,zacos,02AB:xacos,yasin,z0,02

xds2acos0xds20ds0

(asin)2(acos)202da22cosda0 00

2

2

22sin0

xds

)xds2a2

ds34

2 x 2 故所求重心坐标为(x,yz)

,

★★★★4计算

xydx，其中L为圆周(xa)2y2a2a0x轴所围成的在第一象限(xa)2y

a2x0的极坐标方程：x2acos2y2asincos,0xydx

x0dx22acos22asincos(4acossin 0 0

20

616a3(4

1 22

3

2

法二：设L围的区域为D:(xa)2y2a2y0

,0r2a2 得原式

(0

)dxdyxdxdy2d

2a

rcos 2a

2cos r

d

a32cos4 8a331 42 ★★★★5.计算dxdyydz为有限闭折线ABCA,这里，ABC依次为点(1,0,0，(0,1,0解：设表示L围的曲面xyz1

C

B原式 1

x11dydz0dzdx0dxdydydz1dy1ydz1(1y)dy(y1y2 1

★★★★6.在过点O(0,0A(,0)的曲yasinx(a0中，求一条曲线L，使沿该曲线从到A的积分(1y3dx2xy)dy的值最小L解I(a)[(1a3sin3x)dx2xasinx)acos0[(1a3sin3x)(2xasinx)acos0a3sin3xdx2axcosdxa2sin

2sin3xdx

0

sin2 4a34a且I(a)8a,I(1)80I(aa1处取得最小值，所求曲线是ysinx,(0x)★★7.一力场由沿横轴正方向的常力Fmx2y2R2按逆yF0RF0R 解FFi0

drdxdyFFdrLW

LFdxFRdxFLFdxFRdxFR

y2dxz2dyx2dz，其中为 曲

x2y2z2a2,x2y2ax(z0a0若从x轴正方向看去，此曲线沿逆时针方向进行解：x

2ty

tz2a

t

y2dxz2dyx2dz0

2[a2sin2tcos2t2asintcosta2sin2ta(cos2tsin22a2cos4ta2costdt2a2cos4ta2

22[2a3sin3tcos3t]dt2

2sin2t(12sin2t)dt2

1 31 2a3

sin4t sin6t]

2 ] a32 2

2 42 注：x2y2ax得极坐标表示xacos2tyacostsin代入

y

z

a

得z

a

sin

t,(2

t2★★★9.

(xy)dx(yx)dyx2y2

，其中L是以原点为中心、L围的区域为P

xyx2y2

Q yxx2y

P

x22xyyx2y

yL0xPyL0xP,Q,y,x在D内连续， ， (xy)dx(yx)dy 0dxdy xDL参数xcostysintt变化从0到y原2(costsint)(sint)dt(sintcost)a =

ε dt注：因L围的区域内含被积函数不连续的点(0,0)，故此题不能用（3）L包围的区域内作顺时针方向的圆yCLoεxL1:xcostysinttyCLoεxLL1DP由

，

QPdxdy

(xy)dx(x (xy)dx(x x x-2(costsint)(sint)dt(sintcost)a

dt★★★10.Ix2dxdy,其中D是以A(1,1B(3,2、C(2,3为顶点的三角形区域D思路:此题用二重积分直接算D要分块，较繁，现应用将二重积分化为第二类区线积分为此Q

x

1，令P0,Q 13

解如图区域D的边界为LABBC1设P0,Q x3，13

Q

xIx2dxdyPdxQdy 33 13AB:y2(x1),1x3，AB3

dy1

dx 23 223BC:yx5,2x3，BC

dy3

(dx)4CA:y2x7,1y2，

12

2dx214I1x3dy1

x3dy

ABBC3

3(AB

dyBC

dyCA

dy) 3

) ★★11.计 (ey3x2)dx(xey2y)dy其中L为沿过(0,0)(0,1)(1,2)的圆周从LPey3x

Qxey2y,Pey

(ey3x2)dx(xey2y)dy1(e03x2)dx2(ey2 =(xx3)1(eyy2) ★★★★12.设在右半平x0中有一力

yf(x),xf(x),f(x)，f(x)为可微函数，

f(x使质点在此场内移动时所做的功与路径无关，再计算质点由(1,0移动到(2,3常解：场力所作的功W FL

yf(x)dxxf(x)dy

f(x)(ydx场力所作的功与路径无关

yf(x)

[xff(x)f(xxf(x)xf(x)2fxdf(x)2f(x)df(x)2 f 两边同时积分解得lnf(x)2lnxln

(c为任意常数f(x)cx

c

fx)x2为所求此 f(x)(ydxxdy)

ydx

d(y(2,3)

x2 y 所求的功W(1,0)

(ydxxdy)x

2★★13.证明xdxydy在整个xOy平面除去y的负半轴及原点的开区域G内是某个二原函数的全x2y解：Pxy),QxyxOy平面y的负半轴及原点的开区域G在G

P(x,

Qx,y

P

2 (x2y2)2

Q，所以存在u(x,y)，duxdxydy.为求出一个u(xy来，取积分路径(1,0)(x,0)(xx2yu(x,y)

(x,y)xdxydy

xxdx

x2y

0x2ylnxx1ln(x2y2)y1ln(x2y2 xdxydyxOy平面x的负（正）半轴及原点的开区域G内是某个二原函数的全微x2y★★14.证明曲线积分(3,4)(6xy2y3dx6x2y3xy2dy在整个xOy平面内与路径无关,并(6xy2y3dx6x2y3xy2dy3y2dx2y3dx3x2dy2d(3x2y2)d(xy3)d(3x2y2xy3被积式是函数u(xy)3x2y2xy3的全微分，从而题设曲线积分与路径无关(3,4)(6xy2y3)dx(6x2y3xy2)dy(3x2y2xy3) 3324234331222123★★★★★15.选择ab

(y22xyax2)dx(x22xyby2)dy(x2y2)2

为某一函数uu(x,的全微分，并求u(x,y)y22xy

x22xy

解：P

,(x2y2)2

(x2y2

yx2y即(x2y2

4y(y22xyax2)(x2y2)3

2x2(x2y2

4x(x22xyby2)(x2y2)3整理得(1a)x2y1b)xy20a1b为求出一个u(x,y来，取积分路径(1,0)(x,0)(x,(x,y)(y22xyx2)dx(x22xyy2u(x,

(x2y2xx

yx22xyy

y(x2y2)2xy2y

x4dx

(x2y2

dy

1

(x2y2)2 1x11[1x

dyx 2 dy

d(x2y2

x2y 0(x2y2

0(x2y2)211[

dyx

d(x2y2)y 11[

x2y1

dy

0(x2y2)2xxxx2yyx2y

x2yyy y

x2y

0x2y11x

x2y

1x

]x2y

xyx2y注：此题与第13题同PdxQdy在整个xOy平面除去y的负半轴及原点的开区域G内是某个二原函数的全微分，积分路径的选取可在y的负半轴及原点外的开区域G内.a2x2a2x2y

在xOy面上的投影为 :x2y2a2(z用极坐标表示，则为02,0r

z

yzydS

1z2z2dxdyadxdy

z za2x2ya2a2x2ya2x2y

a2a2raa2ra drda0d dra2rasin 2a2 acostdt2a22sintdt2a20a Mz

zdSM

a

zadxdyz

dxdyaa2a故ZM

) ★★17.计算(2x4yz)dS,其中是平面xyz1在第一卦限的部分 解：:z42x4y,x0,y0,z 3xyo>xyoP在xOy面上的投影为Dxy:231 QyPdS

1z2z2dxdy1(2)2(4)2dxdy 61 原式

(2x3

y42x3

y)

3

461dxdy461123 a2x2y★★18.计算(xya2x2y解：在xOy面上的投影为 :x2y2a

.(z用极坐标表示，则为02,0r

xz

yzdS

1z2z2dxdy

adxdy

za2x2yza2x2ya2x2yD

)

0d

a2x2ya2x2ya

a2r2) dra2rra2ra2rra2r

dr

1rx2yx2ya

a3★★19.计算zdS,其中为曲22

x2y22az(a0)被曲面z

:z

x2y

xOy面上Dxy:

y

(z用极坐标表示，则为02,0r 1(2x)2(2y)21(2x)2(2y)2x2y1ax2y1x2y1a

dxdy 2a

a2rzdSa2r

dxdy2a20d0

1

2ar

1d(a2r22a

a2a2ra2r2t2a(t2a2)t2tdt0

a2

t5232

t3 0

a1010★★★20.设为曲面

x2y22az(a0z2a

za x解：依题意求dS，其中ΣS1S2，如Σx2yxx2yS:z ，S:z2a x2yx2y

x2y2a两面交线

x2y2

解得

z在xOy面上的投影为 :x2y2a2(z用极坐标表示，则为02,0r 1(2x)21(2x)2(2y)2aa4(x2y21a

1zxzydxdy

1

dxdy

dS

dxdy

a

d

a24a24r4(x2y214(x2y21a

11d(a24r2)

2(a2r2)

551aa24ra24r

4a 0S:dS

1z2z2dxdy

1

)2

)2

x2y

x2y dS2dxdy 2dxdy

dSdSdS(551

a2 xdydzz

★★21.计算(x2y2z2)12,其中为球面xy解：设:x2y2z2a2,利

a的外侧原式

1xdydzz2dxdy1(12x)dxdydz11dxdydz 2a a a 2注：1)被积函数定义在上，故总有x2y2z2a2，直接代入积分式中简化运算f(xyz)x为奇函数，积分域Ω关于yOz对称，所以xdxdydz0Ωz nnO★★★22.xyzdxdyxzdydzz2dzdxy0yh(h0所截下部分的外侧解xyzdxdyxzdydzz2dzdxI1I2I3Σ

x2z2a2x0的一半中被Σx2z2a2xOz面上Dxz

x2z2a2,x

(y投影域面积为0I3z2dzdxΣa2yΣx yOz面上Dyz0yh,aa2y

(xa2yI2a2y

zdydzz为奇Dyz关于y轴对称 所以I2I1xyzdxdyΣa2x2法一ΣxOy面上的投影，则曲面a2x2

是双值函数，为把曲面表达成单值函a2x2Σ1a2x2

a2x2Σ2:a2x2Σ1Σ2xOy面上Dxy0xa,0y

(zxyzdxdy()xyzdxdyxy

a2x2dxdyxy

a2x2

32xy

a2x2dxdy2hydy

a2x2xdxh22(a2x2)30

2h2a33I1xyzdxdyxyzcosdSxyzcos 而在曲面Σ:

x2z2a2n

}，所 I xyzzdydz x

0 0 2a

2dz23

2a3 xyzdxdyxzdydzz2dzdx2h2a3002h2a3 ★★★★23.设函数P(x,yz),Q(x,yzR(x,yz)在曲面上连续，M为在上的明其中S为曲面的面积

PdydzQdzdxRdxdy证明：ncoscoscos为PdydzQdzdxRdxdyΣ

(PcosQcosRcosΣ AΣ

A{P,Q,P2Q2RP2Q2R AndS

AndSΣ

AdS ΣMdSΣ★★★24.A=(2x

x2

xz2k穿过曲面的全表面流向外侧的通量,其中立方体0xa,0ya,0za表面.（书上无表面两字解：设为围的立体， Σ

2z2

Ω

x xΩ

dv aΩa

(2x

1a a

a22

1a2a2

1a22a32

1a56★★★★25x其中是由曲线x

I(8y1)xdydz2(1y2)dzdx4y1(1y3y轴旋转一周所成的曲面y轴正zzoy3x 2zx

y1(1y3y轴旋

y1x2z2，如图 作辅助平面：y3,x2z22方向外侧，则和构成一个方向为外侧的闭曲面.设为围的立体，在xOz上投影D :x2z2 2用极坐标表示，则为02,0r2(8y1)dydz2(1y2)dzdx43(8y14y4y)dvdvdxdz1x2z2 4(2x2z2)dxdz2d2(2r2)rdr2(r21r44

2020 (8y1)xdydz2(1y2)dzdx4yzdxdy2(1y2 2(19)dzdx16dzdx162I(

)(8y1)dydz2(1y2)dzdx42(32)26u(x,yz)

v(x,y,z)是两个定义在闭区域上的具有二阶连续偏导数的函数，u,v依次表示u(x,yz，v(x,yz沿n(vuuv)dxdydz(vuuv 其中是空间闭区域的整个边界曲面证明：ncoscoscos是在点(x,yz) uucosucosu vudSv(un)dS[(vu) (vu)cos(vu)cos(vu)cos

(vu)

(vu)

u)Ω Ω

zvΔudVuvuvuv x y zz vΔudVu vΔudVvndSu uΔvdVundSv (vΔuuΔv)dxdydzvudSuvdS(vuuv

★★★★27.设l为任意的固定方向n为的外法线方向，证明cos(n,l)dSΣ证明：ncoscoscos是在点(x,yz)l{cos,cos,coscos(n,l

coscoscoscoscoscosΣ

cos(n,l

(coscoscoscoscoscosΣ由于l为固定方向，cos,cos,cos为常数，利 原式(coscoscos)dV0dV

注 另一表示xyzdv(PcosQcosRcosrΩ r★★★★28.(1

,计算div[

fA的各分量都有二阶连续偏导数，证明div(rotA)0 x

xr,yr.,z

f(r)f

x,fr

y.,fr

zrr

f(r)rdiv[

f(r)]

x

y x[

(r)r

y[

r

z[

(r)r f(r) f(r) )f(r)r f(r)y2f(r)(y2)f(r)r f(r)y2f(r)(y2)f(r)r x2y2

x2y2 f(r)r2

f(r)

f(r)r

A{P,Q,iij

f(r)f(r)rk (RQk

R

Prot Q

z)i(yx)j(

ydiv(rotA)

(RQ)

(PR)

(QPx

y

z 2R 2P 2R 2P(yxzx)(zyx