一道广东高考数学压轴题的分析

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马敏李耀光何小亚

华南师范大学数学科学学院510631

一、压轴题

(2023年理科卷第20题，14分)已知双曲线x2/2?y2?1的左、右顶点分别为A1，A2，点

P(x1,y1)，Q(x1,?y1)是双曲线上不同的两个动点。(1)求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程；(2)

若过点H(0,h)(h?1)的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点，且l1?l2，求h的值。

二、得分状况统计

随机选取290300万份样卷进行统计，考生平均得分1.47分，标准差2.17。表1列出了各分数段的得分人数及百分比例，1～2分段考察直线A1P与A2Q的方程表示；3～4分段为求解直线A1P与A2Q的交点(以下称为M)坐标或从整体上利用该交点的条件性质；5～6分数考察轨迹E的方程表示；8～10分段和11～13分段为分别求解当直线l1和l2与轨迹E在同时相切或同时相交条件下的h值；14分段为求解当轨迹E与直线l1相切(或相交)，但与l2相交(或相切)条件下的h值。

表1各分数段得分人数及百分比例

得分人数01～23～4379745～7135188～1011～131148954141315326573987比例(%)52.79525.48613.0814.65663.9580.0190.0045三、解法分析第(1)问考察直线方程的基本概念和基本公式，考察方程、化归与转化的数学思想方法。第(2)问考察直线与圆锥曲线等知识，考察数形结合、分类与整合的数学思想方法，以及推理论证、运算求解和数学探究等能力。

1.第(1)问的解法差异主要表达在对交点M的运算处理和对轨迹E的条件探究方面，有以下三种常见解法。

解法1：由题设知|x1|?2,A1(2,0),A2(2,0),则直线A1P和A2Q的方程分别为可求得M的坐标为x?2/x1,y?2y1/x1,转化y?y1(x?2)/(x1?2)和y??y1(x?2)/(x1?2)，

为式(1)：x1?2/x,y1?2y/x,则x?0,且由|x1|?2知|x|?2。又点P(x1,y1)在双曲线

22x2/2?y2?1(以下称为C)上,得x1/2?y1?1，把(1)式代入此方程并整理，得轨迹E的方程为

x2/2?y2?1,x?0且x??2。

解法2：与解法1的不同之处是，不直接求出M的坐标，而是注意到点P(x1,y1)在C上,y1与

22x1有函数关系式(1)：y1?(x1?2)/2。在得到直线A1P和A2Q的方程后，相乘得到方程

y2??y12(x2?2)/(x12?2)，将(1)式代入此方程并整理，即可得轨迹E的方程。

但解法2对轨迹E的限制性条件探究提出了更高的要求，虽然点A1，A2比较简单排除，然而要排除点(0,1)和(0,?1)，看似简单而实属不易！破解的关键在于发现双曲线有一个特征：当直线l

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经过双曲线的顶点A，且与双曲线的渐近线平行时，l与双曲线有且只有一个交点，就是A本身。发现了这一特征，再运用斜率关系简单验证，轨迹E不能经过点(0,1)和(0,-1)。

解法3：利用三点共线模型，求得直线A1P和A2Q的方程分别为y/(x?2)?y1/(x1?2)和y/(x?2)??y1/(x1?2)，其余与解法2基本一致。

2.第(2)问中“过点H的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点〞，可分为三种情形：情形①，直线l1和l2与轨迹E都相切。情形②，轨迹E与过点A1的直线l1和过点A2直线l2同时相交。情形③，轨迹E与直线l1(或l2)相交，而与直线l2(或l1)相切。解法的差异主要在于对直线方程的不同设定方式和对直线与曲线相切时的直线斜率的不同求解方法。

解法1：情形①，设过点H的直线为y?kx?h,代入曲线x2/2?y2?1，用判别式法得

h2?2k2?1?0，再由l1?l2,得k1?k2?(1?h2)/2??1，于是h?3。情形②，由l1?l2知A1H?A2H,

得h/2?(?h/2)??1,于是h?2。情形③，易知l1的斜率k1?h/2，设l2的方程为y?kx?h,类似情形①可得h2?2k2?1?0,取k??h2?1/2，再由l1?l2,得k?k1??1,则h?(1?17)/2。根据图形的对称性，当轨迹E与l2相交，而与l1相切时，h值保持不变。经验证，符合条件的h值为3，2或(1?17)/2。

解法2：与解法(1)的不同之处是，在情形①和情形③中用导数思想求轨迹E的切线斜率，在情形②中用直径所对的圆周角为直角这一性质。情形①，设直线l1、l2与轨迹E分别相切于点

22(x2,y2)和(?x2,y2)，则x2/2?y2?1且y2?0。对曲线x2/2?y2?1两边的x求导，则l1、l2的斜率

22?4y2分别为k1??x2/2y2和k2?x2/2y2，并由l1?l2知k1?k2??1，则x2。点H在

22l1:y?y2??x2(x?x2)/2y2上，则2y2h?x2?2y2，这就可求得h?3。情形②，以线段A1A2为直径

的圆与y轴正半轴的交点为H(0,2),这时A1H?A2H,且A1H、A2H所在的直线l1、l2与轨迹E分

22/2?y0?1，别仅有一个交点，所以h?2符合题意。情形③，设轨迹E与l2的切点为(x0,y0),则x0由斜率关系得(y0?h)/x0??x0/2y0和?x0/2y0?h/2??1，这就可得到h?(1?17)/2。此外，情形①还有两种常见的做法，一是设l1的方程为y?kx?h，由l1?l2知l2的方程应为

y??x/k?h。二是注意到中心在原点的椭圆与l1、l2都相切，且l1?l2时，l1、l2的斜率分别为1和-1，于是直接设l1:y?x?h，再利用判别式法求解。

四、教学启示

1.概念、原理的本质理解是基础的核心

从评卷结果来看，竟然有52.795%的理科生不能正确求出双曲线C的顶点坐标，或在已知直线l1过点P(x1,y1)和A1(?2,0)，直线l2过点Q(x1,?y1)和A2(2,0)的条件下，不能正确列出直线l1或

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l2的方程！以前压轴题得分低，教师们归因于前面的题量大和难度大。但在今年的选择题、填空

题和前面的四道大题都不难的状况下，还是有超过一半的理科生未能了解双曲线的基本概念和基本性质，也没有把握好直线方程的概念与性质。原因是学生没有从心理上去建构、体验并获得这些概念和公式的生成过程，而是死记硬背或依靠“题海战术〞去生搬硬套，出现如双曲线C的顶

（?3,0）点坐标为、(?5,0)；直线A1P的方程为y?y1x/(x1?2)、y?(x1?2)/[y1(x?2)]等错

误结果。因此，对新课程中基本的数学概念、原理，教师应舍得花时间去“大讲、特讲〞，花力气去“讲清、讲透〞，而不应只顾教学速度去让学生“浅尝辄止〞。假使将概念教学真正落到实处，则全省还有153265个学生可能至少增加1至2分，从而使该题的平均得分提高到1.999至2.527分。

2.教材的教学价值需要重视

这道压轴题可以看作是新课标数学教材选修1-1(人教社2023年版)第58页练习3“求以椭圆

x2/8?y2/5?1的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线方程〞的转化、延伸和扩展，只是它

改变了外在的建构方向(从双曲线到椭圆)，增加了建构的中间元素(如直线)，但并未改变考察直线与圆锥曲线的位置关系的思想意图。

教材中的例题、练习、习题等，多数是一些最基本、最核心、最重要的内容，但大量高三数学教师就是看不起教材，热衷于一些复习资料、模拟题，甚至是一些超纲的、生编硬造技巧的高考题。但是，近四年，特别是2023、2023、2023年的广东数学高考题说明，猜题、押题没有用，回归课本、基础是正道。那种“在一年半载内讲完全部教材〞的做法，使得教材的培养功能大打折扣。

教材中有大量例题和习题蕴含着重要的数学思维方法，教师应积极引导学生通过“假使、列举、比较、替代、想象、组合、类比〞等问题探究方法(何小亚，教育战争与数学教育的出路，数学教育学报，2023)，不断提出新问题并加以解决，既能有效稳定基础知识，发展学生的数学能力，又能充分利用教材，发挥教材的扩张效应。

3.教好问题解决

这道题的压轴效果很明显，主要表达在：第(1)问中对轨迹E的限制性条件探究。在29多万份样卷中，答对(x?0且x??2)的人数比例不超过5.332%；第(2)问中的11～13分段和14分段。从表1可知，8～10分段的人数比例是11～13分段的约208倍，更是14分段的约880倍。这说明学生更熟悉情形①，由于仅需代数知识就能快速找到对应的解决图式，即“分别建立两个方程组，判别式?等于零〞，而情形②需要学生运用数形结合思想，作出图象并进行观测、推理和判断；情形③则是问题探究方法中“组合〞思想的运用。这道题通过创设多条解题路径，使不同思维层次的学生都有表