中考数学复习《相像形》教案新人教版

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相似形

中考要求

1、理解相像图形的性质.

2、把握相像三角形的判定及性质，并能利用他们解决一些简单的几何问题和实际应用题.3、了解位似图形，能利用位似变换将一个图形放大或缩小.知识概要一相关概念

1、成比例线段假使四条线段a、b、c、d满足

ac?（即ad?bc），那么这四条线段是成比例线段，bd简称比例线段.2、相像比

相像多边形对应边的比叫相像比.相像比为1的两个图形全等.3、位似图形

假使两个多边形不仅相像，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边相互平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心.二相像三角形的判定

1、平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相像.2、假使两个三角形三组对应边的比相等，那么这两个三角形相像.

3、假使两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相

似.4、假使一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相像.5、假使一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三形的斜边和一条直角边的对

应比相等，那么这两个直角三角形相像.三相像三角形的性质

1、相像三角形（多边形）对应角相等，对应边的比相等.

2、相像三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相像比.3、相像三角形（多边形）周长的比等于相像比，面积的比等于相像比的平方.四位似变换的坐标规律

在平面直角坐标系中，假使位似变换是以原点为位似中心，相像比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k..范例解析

例1（2023深圳）如图，矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图放置，则矩形ABCD的周长为_．

分析要求矩形周长，可矩形的边长都是未知的.由题意，每个小正方形的边长为1，可得

0

AE=EF=4，GF=2，而∠AEF=∠EFG=90，不难发现△ABE≌△ECF∽△FDG，继而可得到这些三角形边长之间的内在联系，求出矩形的边长.

00

解∵∠GFD+∠EFC=90∠EFC+∠FEC=90

1

∴∠GFD=∠FEC

0

又∵∠D=∠C=90∴△ECF∽△FDG∴

ECEF4???2DFGF2∵AE=EF=4∠BAE=∠FEC∠B=∠C∴△ABE≌△ECF∴AB=ECBE=CF∵AB=CDEC=2DF∴AB=2DF=2CF=2BE设BE=x则AB=2x222∵x+(2x)=4

?854585?4?=855∴矩形ABCD的周长=2(AB+BE+EC)=2???∴x=

?555??5?点评此题综合运用了全等与相像三角形的判定和性质，找到线段之间的关系，是解题的关

键所在.当然还要用到矩形的性质，并借助勾股定理列方程，因此有一定综合性.

例2（2023衢州）如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(-1，0)．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，记所得的像是△A′B′C．设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是（）

1A．?a

2

1B．?(a?1)

21C．?(a?1)

2

1D．?(a?3)

2分析此题是求位似变换下点的坐标，但位似中心不是原点，不能直接利用课本相关结论，为此可将图形向右平移，使位似中心C与原点重合，求出平移后B点坐标，再将图形向左平移到原先的位置，问题便迎刃而解.

解将△ABC与△A'B'C向右平移一个单位，则B'的横坐标变为a?1，∵点C的坐标是(-1，0)∴平移后C点位于原点O

∵△ABC与△A'B'C的相像比为1：2，点B与点B'在原点异侧

1?a?1?211∴平移前B点的横坐标为??a?1??1，即??a?3?

22∴B点平移后的横坐标为?应选D

点评课本位似变换下点的坐标变化规律是以原点为位似中心，此题通过平移，使这一条件得到满足，这种转化思想在解题时经常用到，要注意细心体会.当然此题还可分别过B、B'点作x轴的垂线，利用相像三角形列比例式，也可求出B点坐标.

例3（2023黄冈）如图，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连结BC，AC，过点C作直线CD⊥AB于点D，点E是AB上一点，直线CE交⊙O于点F，连结BF，与直线CD

2

交于点G．求证：BC?BG?BF

2

分析将等积式BC?BG?BF化成比例式

2BCBF?，发现只要证明△BCG∽△BFC即可.BGBC证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，又CD⊥AB于D，∴∠BCD=∠A，又∠A=∠F，∴∠F=∠BCD=∠BCG，

??BCG??F??GBC??CBFBCBG?∴△BCG∽△BFC∴BFBC在△BCG和△BFC中，?即BC?BG?BF

点评在圆中找角相等比较便利，圆中的相像三角形往往通过“两角对应相等，两三角形相像〞这一判定来证.

例4（2023奉化）△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的顶点E

位于边BC的中点上．

（1）如图1，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△CNE；（2）如图2，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N，于是，除（1）中的一对相像三角形外，能否再找出一对相像三角形？并证明你的结论．

FDDAMBE图12MANNCBE图20

FC

0

分析（1）对于△BEM与△CNE，有∠B=∠C=45，又∠BEM+∠CEN=∠BEM+∠BME=135，从而∠BME=∠CEN，△BEM∽△CNE.（2）图2在（1）的基础上多出了两个三角形（可用字母表示），

3

即△EMN与Rt△AMN，Rt△AMN不与原两个等腰直角三角形相像，可考虑△EMN与△BME和△CEN是否相像.

证：（1）??ABC是等腰直角三角形，

∴?B?45，∴?BME??MEB?135又??DEF是等腰直角三角形，∴?DEF?45∴?NEC??MEB?135

0∴?BME??NEC，而?B??C?45，

0000∴?BEM∽?CNE

（2）与（1）同理?BEM∽?CNE，∴又?BE?EC?BEEM?CNNEECEM?，CNNEECME0?则?ECN与?MEN中有，又?ECN??MEN?45，CNEN∴?ECN∽?MEN

点评在△DEF绕点E旋转过程中，图1、图2中始终有∠BEM+∠CEN=∠BEM+∠BME，从而得到∠BME=∠CEN，在解题中擅长抓住图形变化过程中的不变量，至关重要.另外（2）问有一定的开放性，哪些三角形可能相像要能快速判断出，而在证明时要用到（1）的结论，得到比例式，再进行等线段替换，作为判定三角形相像的一个条件，这些是证明相像三角形时常用到的方法，有一定的难度.

例5(2023武汉)如图1，在Rt△ABC中，?BAC?90°，AD⊥BC于点D，点O是AC边上一点，连接BO交AD于F，OE⊥OB交BC边于点E．（1）求证：△ABF∽△COE；

ACOF?2时，如图2，求的值；ABOEACOF?n时，请直接写出（3）当O为AC边中点，的值．ABOE（2）当O为AC边中点，B

DFA

O图1

ECA

O图2

BFDEC

分析在(1)中通过找两三角形角之间的关系，易证这两个三角形相像.而（2）在原题条件下又加了两个条件，结合（1）的结论，不难得到OE=BF，将求

OFOF转化为求，再通过作OEBF4

辅助线，使OF与BF所在的三角形相像，从而将

OF进一步转化，直到转化为可求出比的BF两线段之比.（3）问是更一般的情形，沿用（2）的思路不难写出结果.解（1）?AD⊥BC，??DAC??C?90°．??BAC?90°，??BAF??C．?OE⊥OB，??BOA??COE?90°，

??BOA??ABF?90°，??ABF??COE．?△ABF∽△COE；（2）BDFGAOE

C

如图，作OG⊥AD（或OG∥BC），垂足为G∵OA=OC

AC?2AB∴AB=OA=OC

由（1）知△ABF∽COE∴

BFAB??1∴BF=OEOEOCOFOG?BFBDOGAD?BDBD∵AD⊥BCOG⊥AD∴OG∥BC∴△OGF∽△BDF

∵AB=OA∠ADB=∠OGA∠ABD=∠OAG∴△ADB≌△OGA∴OG=AD∵△ADB∽CAB

OFADAC?2??2∴OEBDABOF?n．（3）OE∴

点评将要求的比转化，常用的方法有等线段替换和等比替换，此题这两种替换都用到了.另外，构造相像三角形时，寻常是作平行线，构造“A字型〞或“X字型〞等基本相像图形，从而得到需要的比例式.稳定训练一、选择题1．（2023天津）在△ABC和△DEF中，AB?2DE，AC?2DF，?A??D，假使

△ABC的周长是16，面积是12，那么△DEF的周长、面积依次为（）A．8，3B．8，6C．4，3D．４，6

A2．（2023烟台）如图，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP?1，D为AC上一点，若?APD?60°，则CD的长为（）

D60°CB

P5

13D．243.（2023牡丹江)如图，△ABC中，CD?AB于D，一定能确定△ABC为直角三角形的

A．

B．

C．

条件的个数是（）①?1??A，②

3223CDDB，?，③?B??2?90°④AC?BD?BC?CD

ADCDA．1B．2C．3D．4

4.（2023宁波）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，M、N分别是边AB、AD的中点，连接OM、ON、MN，则以下表达正确的是（）A．△AOM和△AON都是等边三角形

B．四边形MBON和四边形MODN都是菱形C．四边形AMON与四边形ABCD是位似图形D．四边形MBCO和四边形NDCO都是等腰梯形

AMB

OC

ND

5.（2023济宁）如图，在长为8cm、宽为4cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相像，则留下矩形的面积是（）

2222

A.2cmB.4cmC.8cmD.16cm

6．(2023温州)一张等腰三角形纸片，底边长l5cm，底边上的高长22．5cm．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如下图．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是()

A．第4张B．第5张C.第6张D．第7张

7．（2023广州）如图，在平行四边形ABCD中，AB?6，AD?9，?BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，若BG?42，则△CEF的

6

周长为（）

A．8B．9.5C．10D．11.5AD

G

BCE

F

二、填空题8．（2023朝阳）如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影长为___________米．

BOM

A

F:BE?．9.（2023年黄石）在□ABCD中，E在DC上，若DE:EC?1:2，则B

10.（2023庆阳）如图，正方形OEFG和正方形ABCD是位似形，点F的坐标为（1，1），点C的坐标为（4，2），则这两个正方形位似中心的坐标是．

11．（2023大连）如图，原点O是△ABC和△A′B′C′的位似中心，点A(1，0)与点A′(－2，0)是对应点，△ABC的面积是

y

3C2B

1A′A-4-3-2-1O1234x

-1

-2

-312.（2023日照）将三角形纸片（△ABC）按如下图的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB＝AC＝3，BC＝4，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相像，那么BF的长度是．

7

3，则△A′B′C′的面积是________________．2

AB

13．（2023贺州）如图，正方形ABCD的边长为1cm，E、F分别是BC、2

CD的中点，连接BF、DE，则图中阴影部分的面积是cm．

ECDF三、解答题

0

14．（2023河南）（1）把两个含45角的直角三角板如图1放置，点D

在BC上，连接BE、AD，AD的延长线交BE于点F，求证：AF⊥BE

0

（2）把两个含30角的直角三角板如图2放置，点D在BC上，连接BE、AD，AD的延长线交BE于点F，问AF与BE是否垂直？并说明理由.

B

BFDE

F

DA

图1

C

A

图2

E

15．（2023长沙）在Rt△ABC中，?ACB?90°，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连结DE并延长，与BC的延长线交于点F．（1）求证：BD?BF；

（2）若BC?6，AD?4，求⊙O的面积．

ADOBEFC

C

16．（2023安徽）如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝α，

且DM交AC于F，ME交BC于G．

AMB

（1）写出图中三对相像三角形，并证明其中的一对；（2）连结FG，假使α＝45°，AB＝42，AF＝3，求FG的长．

FGC

D

E17．（2023广东）正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC

上运动时，保持AM和MN垂直，（1）证明：Rt△ABM∽Rt△MCN；

（2）设BM=x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置

A

D8

时，四边形ABCN的面积最大，并求出最大面积；（3）当M点运动到什么位置时Rt△ABM∽Rt△AMN，求此时x的值.

18.(2023年上海)已知∠ABC=90°，AB=2，BC=3，AD∥BC，P为线段BD上的动点，点Q在射线AB上，且满足

PQAD?（如图1所示）．PCAB（1）当AD=2，且点Q与点B重合时（如图2所示），求线段PC的长；（2）在图1中，联结AP．当AD?为x，

3，且点Q在线段AB上时，设点B、Q之间的距离2S△APQS△PBC?y，其中S△APQ表示△APQ的面积，S△PBC表示△PBC的面积，求y关于

x的函数解析式，并写出函数定义域；

（3）当AD?AB，且点Q在线段AB的延长线上时（如图3所示），求?QPC的大小．A

D

A

P

PQB

图1

C

（Q）B

C

图2

Q

稳定训练答案一、选择题

1、A2、B3、C4、C5、C6、C7、A二、填空填

8、59、3：510、（?2，0）11、612、

B

图3

D

A

D

PC

212或213、73三、解答题

14、（1）证明：

0

在△ACD和△BCE中，AC=-BC，∠DCA=∠ECB=90，DC=EC∴△ACD≌△BCE，∴∠DAC=∠EBC∵∠ADC=∠BDF

0

∴∠EBC+∠BDF=∠DAC+∠ADC=90

0

∴∠BFD=90，∴AF⊥BE（2）AF⊥BE，理由如下：

9

∵∠ABC=∠DEC=300，∠ACB=∠DCB=900

∴

BC?ECDC?tan600AC∴△DCA∽△ECB，∴∠DAC=∠EBC∵∠ADC=∠BDF

∴∠EBC+∠BDF=∠DAC+∠ADC=90

0

∴∠BFD=900

，∴AF⊥BE15、（1）证明：连结OE．?AC切⊙O于E，?OE⊥AC，

又?ACB?90°，即BC⊥AC，

?OE∥BC

??OED??F．A又OD?OE，

D??ODE??OED，??ODE??F，OE?BD?BF．

（2）设⊙O半径为r，由OE∥BC得△AOE∽△ABC．

BCF

?AOOEr?4rAB?BC，即2r?4?6，?r2?r?12?0，解之得r1?4，r2??3（舍）．

?S⊙O?πr2?16π．

16、（1）证：△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM

以下证明△AMF∽△BGM．

∵∠AFM＝∠DME＋∠E＝∠A＋∠E＝∠BMG，∠A＝∠B∴△AMF∽△BGM．

（2）解：当α＝45°时，可得AC⊥BC且AC＝BC

∵M为AB的中点，∴AM＝BM＝22又∵AMF∽△BGM，∴

AFBMAM?BG∴BG?AM?BMAF?22?2283?3

又AC?BC?42cos45??4，∴CG?4?83?43，CF?4?3?1∴FG?CF2?CG2?12?(453)2?3

10

17、（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠C=90°，∠AMB+∠BAM=90°

∵∠ABM+∠CMN+∠AMN=180°，∠AMN=90°∴∠AMB+∠CMN=90°∴∠BAM=∠CMN∴Rt△ABM∽Rt△MCN（2）∵Rt△ABM∽Rt△MCN，∴

ABx(4?xMC=BMCN，即44-x?xCN解得：CN?)4

∵S1梯形=?CN+AB?BC∴y=1?x(4?x)22??4?4????4,即：y??12x2?2x?8又∵y??1212122x?2x?8??2(x?4x?4?4)?8??2(x?2)?10

∴当x=2时，y有最大值10.

∴当M点运动到BC的中点时，四边形ABCN的面积最大，最大面积是10.