高中数学-高中数学2.3数学归纳法教学设计学情分析教材分析课后反思

PAGE课题：数学归纳法【教材分析】1、教学内容：数学归纳法是人教社全日制普通高级中学教科书数学选修2-2第二章第3节的内容，根据课标要求，本书该节共2课时，这是第一课时，其主要内容是数学归纳法的原理及其应用。2、地位作用：在已经学习了不完全归纳法的基础上，介绍了数学归纳法，它是一种用于关于正整数命题的直接证法。教材通过剖析生活实例中蕴含的思维过程揭示数学思想方法，即借助“多米诺骨牌”的设计思想，揭示数学归纳法依据的两个条件及它们之间的关系。【教学目标】1、知识与技能：（1）了解归纳法，理解数学归纳法的原理与实质，掌握数学归纳法证题的两个步骤。（2）会证明简单的与正整数有关的命题。2、过程与方法：努力创设课堂愉悦的情境，使学生处于积极思考，大胆质疑的氛围，提高学生学习兴趣和课堂效率，让学生经历知识的构建过程，体会类比的数学思想。3、情感、态度与价值观：通过本节课的教学，使学生领悟数学思想和辩证唯物主义观点，激发学生学习热情，提高学生数学学习的兴趣，培养学生大胆猜想，小心求证的辩证思维素质，以及发现问题、提出问题的意见和数学交流能力。【教学重点】借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些简单的与正整数n（n取无限多个值）有关的数学命题。【教学难点】（1）学生不易理解数学归纳法的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明。（2）运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。【教学方法】运用类比启发探究的数学方法进行教学；【教学手段】借助多媒体呈现多米诺骨牌等生活素材辅助课堂教学；【教学程序】第一阶段：创设问题情境，启动学生思维情境1、法国数学家费马观察到：归纳猜想：任何形如（n∈）的数都是质数，这就是著名的费马猜想。半个世纪以后，数学家欧拉发现，第5个费马数不是质数,从而推翻了费马的猜想。——“不完全归纳有时是错误的”（培养学生大胆猜想的意识和数学概括能力．概括能力是思维能力的核心．鲁宾斯坦指出：思维都是在概括中完成的．心理学认为“迁移就是概括”，这里知识、技能、思维方法、数学原理的迁移，我找的突破口就是学生的概括过程．）情境2、数列通过对前4项归纳，猜想——可以让学生通过数列的知识加以验证——“不完全归纳有时是正确的”。通过对上述两个情况的探究可以发现用“不完全归纳法”得到的结论不一定可靠。为了寻求一种能够证明与正整数有关的数学问题的方法，从而引入本节课的新课内容一数学归纳法。第二阶段：搜索生活实例，激发学习兴趣1、“多米诺骨牌”游戏动画演示：探究“多米诺骨牌”全部倒下的条件引导学生思考并分析“多米诺骨牌”全部倒下的两个条件；①第一块骨牌倒下；②任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下。强调条件②的作用：是一种递推关系（第k块倒下，使第k+1块倒下）。2、类比“多米诺骨牌”的原理来验证情境2中对于通项公式的猜想。“多米诺骨牌”原理①第一块骨牌倒下；②若第k块倒下，则使得第k+1块倒下验证猜想↓↓①验证猜想成立②如果时，猜想成立。即，则当时，即时猜想成立3、引导学生概括,形成科学方法证明一个与正整数有关的命题关键步骤如下：(1)证明当n取第一个值时结论正确；（归纳奠基）(2)假设当n＝k(k∈，k≥)时结论正确,证明当n＝k＋1时结论也正确．（归纳递推）完成这两个步骤后,就可以断定命题对从开始的所有正整数n都正确．这种证明方法叫做数学归纳法．第三阶段：巩固认知结构，充实认知过程例1.用数学归纳法证明证明：（1）当n=1时，左边，右边，等式成立。（2）假设当n=k时，等式成立，即则当n=k+1时，左边=即当n=k+1时等式也成立。=右边即当n=k+1时等式也成立。由（1）、（2）可知，n∈时，等式成立。师生共同总结：1、数学归纳法是一种完全归纳的证明方法，它适用于与自然数有关的问题。2、两个步骤、一个结论缺一不可，否则结论不能成立；3、在证明递推步骤时，必须使用归纳假设，进行恒等变换。4、完成第1)、2）步骤的证明后，要对命题成立进行总结。练习：用数学归纳法证明证明：(1)n=1时，左边=证明：(1)n=1时，左边=右边=等式成立。(2)假设n=k（k∈N*(2)假设n=k（k∈N*)时等式成立，即则n=k+1时，则n=k+1时，即当n=k+1时等式也成立。即当n=k+1时等式也成立。根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N*都成立。探究:已知数列设Sn为数列前n项和，计算S1,S2,S3,S4,根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明。解:可以看到，上面表示四个结果的分数中，分子与项数一致，分母可用项数n表示为3n+1,可以猜想证明过程由学生自主完成。【课堂小结】（1）数学归纳法只适用于证明与正整数有关的命题。（2）用数学归纳法证明命题的一般步骤：1°验证n=n0（n0为命题允许的最小正整数）时，命题成立2°假设n=k（k≥n0）时命题成立，证明n=k+1时命题成立，由1°和2°对任意的n≥n0,n∈N*命题成立。（3）本节课通过从“多米诺骨牌”讲起，借助这个游戏的设计理念，揭示了数学归纳法依据的两个条件及它们之间的关系。（4）本节课使用数学归纳法只证明了与正整数有关的等式成立的问题，在以后的学习中，我们将会遇到使用数学归纳法证明与正整数有关的不等式及几何问题，也会遇到n0的取值不是1的情况。在下一节课我们还将通过具体的例子使同学们明白为什么在使用数学归纳法证明时两个步骤缺一不可。【作业】习题2.3A组1.2.3思考：平面内有n条直线，其中任意两条不平行，任意三条不共点，设f(n)为n条直线的交点个数，求证：证明：(1)n=1时，f(1)=1等式成立(2)假设n=k时,等式成立即成立那么当n=k+1时，即当n=k+1时等式也成立。即当n=k+1时等式也成立。根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N*都成立【板书设计】§2·3数学归纳法(1)证明当n取第一个值n0时结论正确；（归纳奠基）(2)假设当n＝k时结论正确,证明当n＝k＋1时结论也正确．（归纳递推）由1°和2°对任意的n≥n0,n∈N*命题成立猜想证明过程：练习：1)学生板演2)例题：数学归纳法学情分析数学归纳法是一种学生完全没有接触过的数学方法.再此之前,学生通过对数列的学习,脑海里有一定归纳猜想的思想,但是并不是很清晰.初次接触数学归纳法时,学生往往难以理解,会怀疑数学归纳法证明的可靠性或者只是形式上的模仿而不知其所以然,这会对以后进一步的学习造成极大的困难.因此要突破这一节课的难点和重点.学生已经在必修5中学习了不完全归纳法(推导等差、等比数列的通项公式)；在本章的合情推理中已经学习了归纳推理，在演绎推理中学习了“三段论”．这些内容的学习是学生理解推理思想和证明方法的重要基础．因此，教学中通过类比的方法，引导学生理解数学归纳法的本质．数学归纳法当堂评测结果分析1．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步时，正确的证法是()A．假设n＝k(k∈N＋)，证明n＝k＋1命题成立B．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋1命题成立C．假设n＝2k＋1(k∈N＋)，证明n＝k＋1命题成立D．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋2命题成立2．用数学归纳法证明“1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n－1)<n(n∈N*，n>1)”时，由n＝k(k>1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是()A．2k－1B．2k－1C．2kD．2k＋13．对于不等式eq\r(n2＋n)<n＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n＝1时，eq\r(12＋1)<1＋1，不等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即eq\r(k2＋k)<k＋1，则当n＝k＋1时，eq\r((k＋1)2＋(k＋1))＝eq\r(k2＋3k＋2)<eq\r((k2＋3k＋2)＋(k＋2))＝eq\r((k＋2)2)＝(k＋1)＋1，∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法()A．过程全部正确B．n＝1验得不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确4．若f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，则f(k＋1)与f(k)的递推关系式是_____．5．观察不等式：1>eq\f(1,2)，1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)>1,1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,7)>eq\f(3,2)，1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,15)>2,1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,31)>eq\f(5,2)，…，由此猜测第n个不等式为________(n∈N*)．6．(本小题满分12分)已知数列{an}的各项都是正数，且满足：a0＝1，an＋1＝eq\f(1,2)an·(4－an)(n∈N)．证明：an<an＋1<2(n∈N)．1.考查学生对命题中变量取值的整题把握，这对数学归纳法的证明尤为关键，本题的答对率为100%。2.本题考查用数学归纳法证明时由n＝k(k>1)不等式成立，推证n＝k＋1时命题中项的变化情况，在部分复杂命题中会给学生造成一定的障碍。本题的答对率为90%。3.本题考查在用数学归纳法的证明过程中必须用归纳假设，否则就会造成证明错误。本题的答对率为90%。4.本题考查用数学归纳法证明时由n＝k(k>1)不等式成立，推证n＝k＋1时命题中项的变化情况，只需用f(k＋1)-f(k)即可。本题的答对率为100%。5.本题考查学生的归纳猜想能力本题的答对率为90%。6.本题考查学生综合运用数学归纳法进行问题的证明，首先是证明的步骤的训练，其次是综合推理能力的考查，对学生的能力要求较高。本题的答对率为80%。总评：通过以上题目进行当堂评测，可以发现大部分学生已经掌握了本节的基础知识，只是在综合题目的把握上还需强化提高。数学归纳法教材分析本节内容是第三册(选修)第二章极限的第一节.数学归纳法在讨论涉及正整数无限性的问题时是一种重要的方法,它的地位和作用可以从以下三方面来看:1.中学数学中的许多重要结论,如等差数列,等比数列的通项公式与前n项和公式,二项式定理等都可以用数学归纳法进行证明.由归纳猜想得出一些与正整数有关的数学命题,用数学归纳法加以证明,可以使学生更深层次地掌握有关知识.2.运用数学归纳法可以证明许多数学命题(不等式、数列、等式、整除),既可以开阔学生的眼界,又可以使他们受到推理论证的训练.3.数学归纳法在进一步学习数学时要经常用到,因此掌握这种方法为今后的学习打下了基础.本节课在已经学习了不完全归纳法的基础上，介绍了数学归纳法，它是一种用于关于正整数命题的直接证法。教材通过剖析生活实例中蕴含的思维过程揭示数学思想方法，即借助“多米诺骨牌”的设计思想，揭示数学归纳法依据的两个条件及它们之间的关系。数学归纳法当堂检测1．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步时，正确的证法是()A．假设n＝k(k∈N＋)，证明n＝k＋1命题成立B．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋1命题成立C．假设n＝2k＋1(k∈N＋)，证明n＝k＋1命题成立D．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋2命题成立解析：A、B、C中，k＋1不一定表示奇数，只有D中k为奇数，k＋2为奇数．答案：D2．用数学归纳法证明“1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n－1)<n(n∈N*，n>1)”时，由n＝k(k>1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是()A．2k－1B．2k－1C．2kD．2k＋1解析：增加的项数为(2k＋1－1)－(2k－1)＝2k＋1－2k＝2k.答案：C3．对于不等式eq\r(n2＋n)<n＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n＝1时，eq\r(12＋1)<1＋1，不等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即eq\r(k2＋k)<k＋1，则当n＝k＋1时，eq\r(k＋12＋k＋1)＝eq\r(k2＋3k＋2)<eq\r(k2＋3k＋2＋k＋2)＝eq\r(k＋22)＝(k＋1)＋1，∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法()A．过程全部正确B．n＝1验得不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确解析：在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的假设，不是数学归纳法．答案：D5．用数学归纳法证明不等式eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n)<eq\f(13,14)(n≥2，n∈N*)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时不等式左边()A．增加了一项eq\f(1,2k＋1)B．增加了两项eq\f(1,2k＋1)、eq\f(1,2k＋2)C．增加了B中两项但减少了一项eq\f(1,k＋1)D．以上各种情况均不对解析：∵n＝k时，左边＝eq\f(1,k＋1)＋eq\f(1,k＋2)＋…＋eq\f(1,2k)，n＝k＋1时，左边＝eq\f(1,k＋2)＋eq\f(1,k＋3)＋…＋eq\f(1,2k)＋eq\f(1,2k＋1)＋eq\f(1,2k＋2)，∴增加了两项eq\f(1,2k＋1)、eq\f(1,2k＋2)，少了一项eq\f(1,k＋1).答案：C6．(2011·淮南调研)若f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，则f(k＋1)与f(k)的递推关系式是_____．解析：∵f(k)＝12＋22＋…＋(2k)2，∴f(k＋1)＝12＋22＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2；∴f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2.答案：f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)27．观察不等式：1>eq\f(1,2)，1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)>1,1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,7)>eq\f(3,2)，1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,15)>2,1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,31)>eq\f(5,2)，…，由此猜测第n个不等式为________(n∈N*)．解析：3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，可猜测：1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n－1)>eq\f(n,2).答案：1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n－1)>eq\f(n,2)8．(本小题满分12分)已知数列{an}的各项都是正数，且满足：a0＝1，an＋1＝eq\f(1,2)an·(4－an)(n∈N)．证明：an<an＋1<2(n∈N)．证明：证法一：用数学归纳法证明：(1)当n＝0时，a0＝1，a1＝eq\f(1,2)a0(4－a0)＝eq\f(3,2)，所以a0<a1<2，命题正确．(2)假设n＝k－1(k∈N*)时命题成立，即ak－1<ak<2.则当n＝k时，ak－ak＋1＝eq\f(1,2)ak－1(4－ak－1)－eq\f(1,2)ak(4－ak)＝2(ak－1－ak)－eq\f(1,2)(ak－1－ak)(ak－1＋ak)＝eq\f(1,2)(ak－1－ak)(4－ak－1－ak)．而ak－1－ak<0,4－ak－1－ak>0，所以ak－ak＋1<0.又ak＋1＝eq\f(1,2)ak(4－ak)＝eq\f(1,2)[4－(ak－2)2]<2.所以n＝k时命题成立．由(1)(2)可知，对一切n∈N时有an<an＋1<2.证法二：用数学归纳法证明：(1)当n＝0时，a0＝1，a1＝eq\f(1,2)a0(4－a0)＝eq\f(3,2)，所以0<a0<a1<2；(2)假设n＝k－1(k∈N*)时有ak－1<ak<2成立，令f(x)＝eq\f(1,2)x(4－x)，f(x)在[0,2]上单调递增，所以由假设有：f(ak－1)<f(ak)<f(2)，即eq\f(1,2)ak－1(4－ak－1)<eq\f(1,2)ak(4－ak)<eq\f(1,2)×2×(4－2)，也即当n＝k时，ak<ak＋1<2成立．所以对一切n∈N，有ak<ak＋1<2.一、教学目标的确定针对本节课的教学内容，我参照新的数学课程标准、学生的认知规律、自身的教学条件，按照新课程倡导的三维一体的课堂教学目标，制定了“一、理解数学归纳法的原理，感受数学归纳法的思维方法；二、能用数学归纳法证明一些简单的数学命题”这一教学目标，应该说作为数学归纳法的第一节课，这个目标很恰当、科学、全面，而且易于操作，从而保证课堂教学达到应有的基本标准，不至于在教学目标上产生较大的偏差。二、教学行为的反思新课程倡导的是教师是学生学习的引导者、组织者、合作者、促进者，是平等的，而不再是“传道”“解惑”的权威，更不是学生学习知识的“批发商”。将学习的主动权交还给学生，是这节课给我的最大的启示。首先，我让他们先感受多米诺骨现象，通过播放一段影片并且联系生活中的事物和现象，比较这些现象之间的相似之处，感受多米诺骨牌的原理，并在引导他们类比到数学的证明题中，引出数学归纳法，分析三个步骤间的逻辑推理关系。接着，选取三道由易到难的练习，以填空到不做任何提示的方式过渡，让学生经历“尝试——熟练运用”的过程，强化使用数学归纳法的步骤和注意事项。设置课堂教学如果以灌输为主的，总以为只要抓紧时间将基础知识讲完，然后进行大量的练习和讲评、多讲些例题，就能提高学生的数学成绩。这样的课看起来效率很高，其实不然。因为有些题目讲过几遍，学生依然会做错，原因就在于灌输的课堂往往不能从学生的实际出发，纠正学生本来的错误，而是把教师的想法和解法填鸭给学生，几乎没有师生之间的交流与互动，这与新课程改革的方向相背离。于是我大胆采取以练为主，例题练习合二为一的方式，学生刚明白数学归纳法的原理，就动手运用，避免不了的要犯错误，我再抓住时机纠正这些错误，一边强化使用归纳法的步骤，一边规范解题的过程。这样的教学方式学生自然是更感兴趣的，提前发现错误肯定比等到做作业和练习甚至考试时再发现更好，所以这样的课堂教学也是更高效的。最后我以微软的一道面试题结束整节课，目的是想学生们知道自己今天所学的虽然是数学上的一种证明方法，但其实也是一种思维方法，甚至在关系自己前程的一场面试中，只要会运用它，就能取得成功。三、学生学习方式的反思为了突出学生的主体地位，在教学中我尽量的多由学生来发现问题，回答问题。特别是在学生运用数学归纳法证明时，我通过巡堂，收集学生做题时的典型错误，并及时地投影，和学生一起分析对错，修正。比如他们不约而同的犯了同一个错误，他们在利用数学归纳法证明问题的时候都没有利用到归纳假设的结论，均采用了以前学过的等差数列前n项求和公式，这一点正是数学归纳法能否将无限的推理论证转化为有限的步骤演绎的关键所在，反映出刚才的讲授学生还没有完全弄清楚数学归纳法的精髓，因此我与学生再次回到“多米诺骨牌”实验中，与他们一起推敲刚才的论证过程是否是数学归纳法时，他们异口同声的说“不是！”，此时我就有一种新课程理念给我带来的成就感，心里非常的高兴。当然还有的学生缺乏必要的推导过程或者表达顺序颠倒等等，都在投影时及时发现更正过来。但是在整个过程，我又是个主导者，因为学生犯错的类型大部分我是心中有数的，有目的地寻找这些错误去投影展示，才能达到我的教学目的。不过有一点遗憾的是，在给出最后一道“微软面试题”时，由于临近下课，没能让学生充分地思考谈论，教学的效果就不够好了。数学课程标准指出：“丰富学生的学习方式、改进学生的学习方法是高中数学课程追求的基本理念。学生的数学学习活动不应只限于对概念、结论和技能的记忆、模仿和接受，独立思考、自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等都是学习数学的重要方式.”教学