高中数学-3.2立体几何中的向量方法（二）教学课件设计

立体几何中的向量方法

（第2课时）试一试(请把正确的答案写在横线上)(1)已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面所成的二面角的大小为

.(2)若直线的方向向量为u1=(1,1,1),平面的法向量为u2=(2,2,2),则直线与平面所成角的正弦值为

.(3)若直线l1的方向向量为u1=(1,3,2),直线l2的方向向量为u2=(2,-1,1),则两直线所成的角的余弦值为

.【解析】(1)cos<m,n>=所以<m,n>=45°.所以二面角为45°或135°.答案:45°或135°(2)因为u1=(1,1,1)与u2=(2,2,2)共线易得直线与平面垂直,则直线与平面所成的角的正弦值为1.答案:1(3)因为u1·u2=(1,3,2)·(2,-1,1)=1,|u1||u2|=则两直线所成的角的余弦值为|cos<u1,u2>|=答案:解决立体几何问题的三种方法(1)综合方法:是以_________作为工具解决问题.(2)向量方法:是利用_____的概念及其运算解决问题.(3)坐标方法:利用数及其运算来解决问题.坐标方法经常与向量运算结合.逻辑推理向量

思考：用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”是什么？（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（化为向量问题）（进行向量运算）（回到图形）探究任务一：用向量求线段长度

例1：如图1：一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？A1B1C1D1ABCD图1解：如图1，设化为向量问题依据向量的加法法则，进行向量运算所以回到图形问题这个晶体的对角线的长是棱长的倍。探究任务一：用向量求线段长度

例1：如图1：一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？

例1：如图1：一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？思考：（1）本题中平行六面体的对角线BD1的长与棱长有什么关系？

（2）如果一个平行六面体的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于,那么由这个平行六面体的对角线的长可以确定棱长吗?A1B1C1D1ABCD分析:分析:∴这个平行六面体的对角线的长可以确定棱长。（3）本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少？设AB=1（提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求两点间的距离）A1B1C1D1ABCDH

分析：面面距离点面距离解：∴所求的距离是问题：如何求直线A1B1到平面ABCD的距离？探究任务二：点到直线、点到平面的距离问题：请小结如何用向量的方法求空间中两点的距离？点到直线的距离？点到平面的距离？直线到直线的距离？直线到平面的距离？两平行平面间的距离？点点点线线线点面线面面面1.空间中距离与向量的关系分类向量求法两点间的距离设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)为空间中任意两点,则d==_________________________点到平面的距离设平面α的法向量为n,B∉α,A∈α,则B点到平面α的距离d=

探究任务三：用向量求空间图形中的角度例2：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。从A，B到直线（库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为和,CD的长为,AB的长为。求库底与水坝所成二面角的余弦值。解：如图，化为向量问题根据向量的加法法则进行向量运算于是，得设向量与的夹角为，就是库底与水坝所成的二面角。因此ABCD图3所以回到图形问题库底与水坝所成二面角的余弦值为

例2：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。从A，B到直线（库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为和,CD的长为,AB的长为。求库底与水坝所成二面角的余弦值。思考：

（1）本题中如果夹角可以测出，而AB未知，其他条件不变，可以计算出AB的长吗？ABCD图3分析：∴可算出AB的长。

（2）如果已知一个平行六面体的各棱长和一条对角线的长，并且以同一顶点为端点的各棱间的夹角都相等，那么可以确定各棱之间夹角的余弦值吗？

分析：如图，设以顶点为端点的对角线长为，三条棱长分别为各棱间夹角为。A1B1C1D1ABCD

（3）如果已知一个平行六面体的各棱长都等于，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于，那么可以确定这个平行六面体相邻两个面夹角的余弦值吗？A1B1C1D1ABCD分析：二面角平面角向量的夹角回归图形

解：如图，在平面AB1

内过A1

作A1E⊥AB于点E，EF在平面AC内作CF⊥AB于F。∴可确定该平行六面体相邻两个面夹角的余弦值。典题训练【名师点评】求二面角最常用的方法：(1)分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．(2)分别在二面角的两个平面内找到与棱垂直且以垂足出发的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．以上两种方法各有利弊，要善于结合题目的特点选择适当的方法解题．

课堂小结空间向量的引入为代数方法处理立体