第八讲 矩阵的特征值与特征向量的计算

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第八讲矩阵的特征值与特征向量的计算幂法和反幂法雅克比方法QR方法

8.1幂法和反幂法.设A是nn矩阵，如果存在实数λ使得AX=λX,则称λ为矩阵A的一个特征值，X就是特征值λ对应的特征向量。求矩阵特征值的方法：(1)从原始矩阵出发，求出其特征多项式及特征值,但重根的计算精度较低。(2)迭代法，舍入误差对这类方法的影响也较小，但是工作量较大。

8.1.1幂法..幂法适用条件：只需要求出矩阵的按模最大的特征值和相应的特征向量。幂法是一种计算矩阵的特征值的迭代法。其优点是算法简单，简单在计算机上实现，缺点是收敛速度慢。

1.幂法幂法的基本思想是：若要求某个nn矩阵A的特征值和特征向量，先任取一个初始向量

X(0),构造如下序列：X(0),X(1)=AX(0),X(2)=AX(1),…,X(k)=AX(k1),…当k增大时，序列的收敛状况与绝对值较大的特征值有密切关系，即可求出按模最大的特征值和相应的特征向量。

1.幂法一般情形：设A具有n个线性无关的特征向量V1,V2,L,Vn,其对应的特征值λ1,λ2,L,λn满足：

λ1λ2≥λ3≥L≥λn,任取一非零向量X

=AX(k)得向量序列{X(k)},k=0,1,2,L)(。(0)

,令：X

(k+1)

1.幂法存在n个不全为零的数

α1,α2,L,αn,使得

X(0)=α1V1+α2V2+L+αnVn,则X(k)kkλ2λn(n)k(1)(2)=λ1α1X+α2X+L+αnXλ1λ1

设α1≠0,k充分大时，λ21,λ31,L,λn1,当λ1λ1λ1且X(k)

≈λ1kα1V1不是零向量，则X(k)可近似地作为λ1对应

的特征向量。

1.幂法实际计算公式：

Y(k)=X(k)maxxi(k)1≤i≤n(k=0,1,2,L)(k+1)X=AY(k)当k充分大时，有：Y(k)≈V1maxxi(k)≈λ11≤i≤n

收敛速度用幂法计算矩阵的按模最大特征值的收敛速度主要是由r=收敛可能很慢。λ1λ2

决定的，但当r接近于1时，

2.幂法的幂法的MATLAB实现实现程序8-1计算nn矩阵A的按模最大特征值λ1和相应的特征向量

V1。设n个特征值满足：λ1λ2≥λ3≥L≥λn0

function[lambda,V]=power1(A,X,epsilon,max1)%A为n*n矩阵。%X为n*1初始向量。%epsilon为上限。%max1为循环次数。%lambda为按模最大的特征值。%V为lambda对应的特征向量。%参数初始化。lambda=0;cnt=0;

程序8-1(其次部分)程序(其次部分)err=1;state=1;while((cnt=max1)(state==1))Y=A*X;[mj]=max(abs(Y));c1=m;dc=abs(lambda-c1);Y=(1/c1)*Y;dv=norm(X-Y);err=

max(dc,dv);X=Y;lambda=c1;state=0;if(errepsilon)state=1;endcnt=cnt+1;endV=X;

8.1.2原点平移法..引进原因：补救用幂法计算矩阵的按模最大特征值收敛速度慢的缺点。引进矩阵：B=Aλ0I其中λ0为选择参数。设A的特征值为λ1,λ2,L,λn,则B相应的特征值应为λ1λ0,λ2λ0,L,λnλ0,而且矩阵A与

B的特征向量一致。

8.1.2原点平移法..若计算A的按模最大特征值，适选中择λ0,使

λ1λ0是B的按模最大特征值，且

λ2λ0λ2。λ1λ0λ1

原点平移法：对矩阵B应用幂法，使得在计算B的按模最大特征值λ1λ0的过程中得到加速。

8.1.2原点平移法..当A的特征值是实数时，设A的特征值满足λ1λ2≥Lλn1λn,选择λ0使得λ1λ0λnλ0,且使收敛速度的比值λ2λ0λnλ0,ω=maxλλ10λ1λ0最小。

8.1.3反幂法..反幂法的基本思想：把求A的按模最小的特征值问题变为求A1的按模最大特征值，即把幂法用到A上。1

8.1.3反幂法..计算步骤：(1)对矩阵(Aλ0I)进行LU分解。(2)对任意非零向量X(0),分别取：①x(k)=maxxi(k),其中xi(k)为X(k)的第i个分量。1≤i≤n

②Y

(k)

X(k)=(k)。xLX(k1)=Y(k1)(k)(k1)UX=X

③解方程组：

即得X

(k)

。

8.2雅克比方法.雅克比方法适用对象：用于求实对称矩阵的全部特征值和对应的特征向量。雅克比方法基本思想：用一系列正交变换对角化A,即逐步消去A的非对角元，从而得到A的全部特征值。雅克比方法实质：找一个正交矩阵V,A使对角化。

8.2.1平面旋转矩阵..1.二阶矩阵情形设二阶实对称矩阵为a11a12A=a21a22其对应的二次型为：2f(x1,x2)=a11x12+2a12x1x2+a22x2

1.二阶矩阵情形在几何上方程f(x1,x2)=c表示在x1,x2平面上的一条二次曲线，假使将坐标轴Ox1',Ox2'与该二次曲线的主轴相重合，在新的坐标系中，二次曲线的方程化为“标准型〞b11x1'+b22x2'=c:22

1.二阶矩阵情形化标准型的实质：对坐标轴进行旋转变换(也是正交变换)