空间力系和重心

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空间力系和重心

第六章

空间力系和重心

各力的作用线不在同一平面内的力系，称为空间力系。与平面力系类似，空间力系可分为空间汇交力系、空间力偶系和空间任意力系来研究。

空间力系和重心

6.1空间力沿坐标轴的分解与投影直接投影法

z

F=Fx+Fy+Fz=Xi+Yj+Zk其中，

Fzα

γ

Z

kFx

FβYFy

X=FcosαY=FcosβZ=Fcosγ

X

j

ix

y

空间力系和重心

二次投影法

z

X=Fxycos=FsinγcosY=Fxysin=FsinγsinZ=FcosγZ

γ

k

FY

jiXFxy

y

注意，力在轴上的投影是代数量，而力在平面上的投影是矢量。

x

空间力系和重心

力的大小和方向余弦：

z

F=X2+Y2+Z2Xcos(F,i)=FYcos(F,j)=FZcos(F,k)=FZ

γ

k

FY

jiXFxy

y

x

空间力系和重心

6.2力对点之矩和力对轴的矩6.2.1力对点之矩力对点的力矩矢等于矩心到该力作用点的矢径与该力的矢量积，表示为，

MO(F)

FOr

MO(F)=rF

空间力系和重心

若矢径

r

z和力F分别为MO(F)

BF

r=xi+yj+zkF=Xi+Yj+Zki则，MO(F)=rF=xXjyYkzZ

k

O

r

A(x,y,z)

i

j

y

x

=(yZzY)i+(zXxZ)j+(xYyX)k

空间力系和重心

由此可知力矩矢MO(F)在三个坐标轴上的投影分别为：

MOx(F)=yZzYMOy(F)=zXxZMOz(F)=xYyX(61)

力矩矢的始端必需在矩心，不可任意移动，为一定位矢量。

空间力系和重心

6.2.2力对轴之矩

为度量力对绕定轴转动刚体的作用效应，引入力对轴的矩的概念。

空间力系和重心

力对轴的矩的概念作用于刚体的力F对z轴的定义为：MZ(F)=MO(Fxy)=Fxyh

Mz(F)

F

这样，空间力对轴之矩归结为平面上的力对点之矩，即力F对任一轴z之矩，等于这力在垂直于z轴的平面内的分量Fxy对该平面和z轴交点O之矩。

Oh

FZFxy

空间力系和重心

力对轴之矩是力使刚体绕该轴转动效果的度量，是一个代数量。当力的作用线与轴平行或相交时，力对该轴之矩等于零。当力沿其作用线移动时，它对于轴之矩不变。

z

z

Mz(F)0

Mz(F)0

空间力系和重心

力对轴的矩的解析表达式如图，根据合力矩定理，Mz(F)=Mo(Fxy)=Mo(Fx)+Mo(Fy)Fx

z

FzFA(x,y,z)Fy

则，Mz(F)=xYyX同理可得，X

Oy

Y

xFy

y

{

Mx(F)=yZzYMy(F)=zXxZMz(F)=xYyX

x

Fx

Fxy

(62)

空间力系和重心

力对点之矩与力对于通过该点的轴之矩间的关系(1)力矩矢MO(F)在三个坐标轴上的投影分别为：

{

MOx(F)=yZzYMOy(F)=zXxZMOz(F)=xYyX

(61)

(2)力对各轴之矩分别为：

{

Mx(F)=yZzYMy(F)=zXxZMz(F)=xYyX

(62)

空间力系和重心

力对任一点之矩矢在通过该点的任一轴上的投影等于力对于该轴之矩。

空间力系和重心

例1长方体的长、宽和高分别为8、4、3cm,力P1和P2分别作用

于棱角A和B,方向如图示，且P1=10N,P2=5N。试求P1在各坐标轴上的投影和P2对各坐标轴之矩。

解：(1)采用二次投影法，P1xy=P11080(N)222=3+8+48988+422

z4

P1x=P1xy

P1y

80(N)22=8+4894=P1xy22=40(N)B8+489C

8OP2

P1P1xy

3A

y

P1z=P1xy

30=(N)228+489

3

x

空间力系和重心

(2)对P2进行研究，由题意可得P2沿坐标轴的投影为，P2x=0,P2y=4,P2z=3作用点B的坐标：x=8,y=0,z=3则P2对各坐标轴之矩分别为，Mx(P2)=yP2zzP2y=0334=12(Ncm)My(P2)=zP2xxP2z=3083=24(Ncm)

z

4

8OP2

P1

3A

y

B

P1xy

C

Mz(P2)=xP2yyP2x=8400=32(Ncm)

x

空间力系和重心

例2长方体的上、下底为正方形，边长为3a,高为a,求图中力F对顶点O之矩。解：以O为原点建立直角坐标系Oxyz如图示，设沿各坐标轴的基矢量为i、j、k,则F的作用点A的矢径为ji

k

r=3a(i+j)

空间力系和重心

力F在坐标轴上的投影为：

3Fx=0,Fy=Fsinα=F21Fz=Fcosα=F21故F=F(3j+k)2

α

空间力系和重心

课堂练习正六面体三边长分别为4、4、32,沿AB连线方向作用一力F,则力F对x轴的力矩为12F/5;对