自动控制原理（第2版）余成波

本文格式为Word版，下载可任意编辑——自动控制原理（第2版）（余成波第6章控制系统的校正

本章主要探讨利用频率法对单输入-单输出的线性定常系统的综合和设计。在介绍控制系统校正的基本概念、控制系统的基本控制规律的基础上，介绍了各种串联校正装置（超前校正装置、滞后校正装置、滞后-超前校正装置）的特性及按分析进行相应设计的基本步骤和方法；还介绍了期望设计法的基本概念、常见的期望特性和设计步骤；另外还介绍了根轨迹法的串联校正和反馈校正的基本概念和方法；最终介绍了利用MATLAB进行控制系统校正。

教材习题同步解析

6.1试分别说明系统的固有频率特性与系统期望频率特性的概念。

答：系统本身固有元件所具有的频率特性称为固有频率特性。设计者希望系统所能达到的频率特性称为系统期望频率特性。

6.2试比较串联校正和反馈校正的优缺点。

答：a、校正装置和未校正系统的前向通道环节相串联，这种叫串联校正，串联校正是最常用的设计方法，设计与实现比较简单，寻常将串联装置安置在前向通道的前端。

b、并联校正也叫反馈校正，它是和前向通道的部分环节按反馈方式连接构成局部

反馈回路，设计相对较为繁杂。并联校正一般不需要加放大器，它可以抑制系统的参数波动及非线性因素对系统性能的影。

6.3PD控制为什么又称为超前校正？串联PD控制器进行校正为什么能提高系统的快速性和稳定性？

答：参与PD控制相当于在系统中参与一个相位超前的串联校正装置，使之在穿越频率处有较大的相位超前角。因此，PD控制称为超前控制。PD控制的传递函数为

G(s)?Kp(1??s)，由比例控制和微分控制组合而成。增大比例系数Kp，可以展宽系统的

通频带，提高系统的快速性。微分控制反映信号的变化率的预报作用，在偏差信号变化前给出校正信号，防止系统过大地偏离期望值和出现猛烈振荡倾向，有效地加强系统的相对稳定性。

6.4PI控制为什么又称为滞后校正？串联PI控制器进行校正为什么能提高系统的稳态性能？如何减小它对系统稳定性的影响？

答：PI控制在低频段产生较大的相位滞后，所以滞后校正。PI控制的比例部分可以提

146

高系统的无差度，改善系统的稳态性能。在串入系统后应使其转折频率在系统幅值穿越频率的左边，并远离系统幅值穿越频率，以减小对稳定欲量的影响。

6.5PID控制为什么又称为滞后-超前校正？串联PID控制器进行校正为什么能改善系统的稳态性能与动态性能？

答：PID兼有PI、PD控制的特点，它相当于提供了一个积分环节与两个一阶微分环节。积分环节改善稳态性能，两个一阶微分环节改善动态性能。

6.6试分别表达利用比例负反馈和微分负反馈包围振荡环节所起到的作用。答：二阶振荡环节的频率特性为

122TS?2?S?1用比例负反馈H(s)=h包围后

C(s)h1?22?2?R(s)TS?2?S?1T2S?2S?1hT可见振荡环节的时间常数T，阻尼比?均减小，阻尼比?的减小使系统的动态性能得到改善，稳态性能得到降低。

用微分反馈包围二阶振荡环节，能够在不影响无阻尼自然角频率?n和比例系数K的前提下增加阻尼比，改善系统的相对稳定性。6.7设一单位反馈系统的开环传递函数Go(s)?K，若要使系统开环传递系数K=10，

s(s?1)相位裕量γ’不小于45o，幅值穿越频率?’c不小于4.4rad/s，试求系统所需的串联超前校正装置及其参数。

解：绘制未校正系统的伯德图如图6.1所示。

L(?)/dB40[-20]20[-40]Lc(?)0.112.23.164.478.8?(rad/s)图6.1题6.7系统校正前后的伯德图147

(1)K?10,??1

L0(1)?20lg?1020?lg120求校正前系统的幅值穿越频率

L(?c)?20lg10??40??c?3.16?4.4

lg?c?lg1??180??(?90??tan?1?c)?180??(?90??tan?13.16)?17.6??45?

(2)求校正装置的参数?

?(m)?45??17.6??9.6??37?

1?sin37????0.25?1?sin37(3)确定校正后的幅值穿越频率?c'

Lc(?c')?10lg(12)?6dB?Lo(?c')??Lc(?c')??6dB,

Lo(?c')?20lg(10)'L(?)?10lg(1)?6dB,??40cc'2lg?c?lg1最终得出?c'??m?4.47rad/s>4.4rad/s

(4)确定校正装置的转折频率

?1??m??2.2rad/s，?2??m??8.8rad/s，T?s?10.45s?12.2G(s)=?s?10.11s?18.8(5)验证?'Gk(s)?Gc(s)G0(s)?1?1?0.45s，

10(0.45s?1)

s(s?1)(0.11s?1)?'?180??[?90??tan-1(0.45?4.47)?tan-1(4.47)?tan?1(0.11?4.47)]=50??45?

满足题意。

(6)确定元件参数

若校正装置如图6.2所示状况，则有

148

CR1Ui(t)R2U0(t)

图6.2题6.7校正装置图

??R2?0.28，T=R1C=0.45

R1?R26.8一单位负反馈系统固有部分的传递函数为Go(s)?－

K，若要求系统的

s(s?1)(0.5s?1)静态速度误差系数Kv=5s1，相位裕量γ’≥40o，幅值穿越频率?’c≥0.5rad/s，幅值裕量L’h≥10dB。试设计所需串联滞后校正装置的传递函数。

解（1）求校正前的开环频域指标

绘制k=5时未校正系统的伯德图如图6.3所示。

60-40-20-40-200.0050.05Wc’=0.51Wc=2.15-60-60

图6.3题图6.8k=5时未校正系统的伯德图

求?c，假设在斜率为-40是穿越实轴，则

149

L(?c)?20lg5??40??c?2.24rad/s

lg?c?lg1此时?c大于转折频率2，故斜率为-60时穿越实轴，同理可求的完成?c?2.15?2满足条件

??180??(?90??arctan2.15?arctan(215?0.5))??22.2?，

,且?c'?0.5rad/s在?c?2.15若取?m??'?????40??22.2??5??67.2??65?左边，故采用滞后校正。

（2）确定校正后的幅值穿越频率

选择未校正系统的相位裕量?0??'???40??10??50?，令??180??(?90??arctan?c'?arctan(?c'?0.5))?50?，

将?c'?0.5带入可得??49.4??50?，调整?值，?0??'???40??5??45?再将?c'?0.5代入，可得??49.4??45?应选?c'?0.5

（3）确定?值

Lo(?c')?20lg???20lg(4)确定滞后校正装置转折频率

1?，

Lo(?c')?20lg5??20????10

lg?c'?lg1?2?110.5??c'/10~?c'/2，现在取?c'/10，?2???0.05，??T?20TT10?1?11120s?1，?Gc(s)????T10?20230200s?15(20s?1)（绘于图6.3中）

s(s?1)(0.5s?1)(200s?1)（5）?Gk(s)?G（?Go(s)?cs）（6）验证r'

r'?180??(?90??arctan(?c'?20)?arctan?c'?arctan(?c'?0.5)?arctan(?c'?200))?44.3??40?满足，由图可看出Ln'也满足

6.9系统开环传递函数为G0?s??K，要求：

s?0.1s?1??0.2s?1?（1）系统响应斜坡信号r(t)=t时，稳态误差ess?0.01；(2)系统相位裕量?'?40?。

试用分析法设计一个串联滞后-超前校正装置。

150

解：（1）系统为Ⅰ型系统，在单位斜坡信号下分稳态误差为

essr?令essr?1k1?0.01，则k=100k低频段过点为Lo?20lgK?40db中频段穿越斜率为-60db/dec由

Lo(5)-20lgK??20则Lo(5)=26db

lg5-lg1同理Lo(10)=14db且?c?17rad/s

故??180??[?90??arctan(17?0.1)?arctan(17?0.2)]??43.1??0?

L(w)/db60L0(w)40L(w)200.070.11-2057101770Lc(w)

图6.4题6.9系统校正前后伯德图

W(rad/s)（2）选择新的?c?

由校正前的相频特性与幅频特性可知当?在[5,10]的范围内时，渐近线的斜率为-40db/dec,即对应的相位穿越频率?g应在此范围内。当??7rad/s时

?(7)??90??arctan(7?0.1)?arctan(7?0.2)??179.5?

若选?c??7rad/s，系统所需的相位超前角约为50?由于Lo(7)?20db所以Lc(7)??20db

151

又20lg??Lo(?c')，??10(滞后部分)，又???1所以??0.1（超前部分）（3）确定校正装置的滞后部分滞后部分?滞2?1T2=?c'?1rad/s

令??14则?滞1?1?T2=14rad/s

所以滞后部分的传递函数为G1(s)?（4）确定超前部分

s?1

14s?1Lc(7)??20db过（7rad/s,-20db）画一条斜率为20db/dec的斜线，超前部分20db/dec的渐

近线以滞后部分的0db/dec的渐近线的交点对应超前部分的第一个转折频率1/T1,与0db线的交点对应其次个转折频率

Lc(7)?0?20

Lg7?Lg?4则?4??T1?70rad/s

又??14故?3?1T1?5rad/s

超前部分的传递函数为G2(s)?0.2s?1

0.0143s?1（5）Gc(s)?s?10.2s?1?14s?10.0143s100(s?1)

s(14s?1)(0.1s?1)(0.0143s?1)(6)Gk(s)?

arct?an(1?47)a?rctta?ann((0.0.10174)3?a7r)c]?41.?9?4?02要求系统的稳态速度误差系6.10负反馈系统的开环传递函数为Go(S)?S(0.25S?1)数kv?10s?1，谐振峰值Mr?1.5，试确定串联校正装置参数。

?'?180??[?90??arctan?7152

解：（1）绘制校正前的系统的开环传递对数幅频特性（如图6.5Lo(?)所示）（2）依照K=10绘制期望特性曲线的低频段

（3）按动态性能的要求确定系统的中频段，为保证足够的相位裕量，中频段的穿越频率斜率应为-20db/dec,由于绘出的是闭环频域指标的要求Mr则中频段宽度h?由w2?w3?Mr?1?5.5现取h=10Wc’=2.5rad/s

M1?12Wc?0.5rad/sh?12hWc?5rad/sh?1据此画出期望特性的中频段

（4）求校正装置的传递函数

Gc(s)?(5)Gk(s)?Gc(s)?Go(s)?(2s?1)(0.25s?1)

(10s?1)(0.2s?1)10(2s?1)

s(10s?1)(0.2s?1)

?'?180??[?90??arctan(2?2.5)?arctan(10?2.5)?arctan(0.2?2.5)]?54.4?1Mr??1.23?1.5sin?'满足题意

L(w)/db40L(w)26L0(w)W(rad/s)0.10.522.545Lc(w)

图6.5题6.10校正前后伯德图

153

6.11负反馈系统的开环传递函数为G0(S)?100要求系统校正

S(0.25S?1)(0.05S?1)后的谐振峰值Mr?1.4，谐振频率wr?10rad/s试确定串联校正装置。

解：(1)绘制校正前的幅频特性L0(W),可求得

Wc=20rad/s

r?180??[?90??arctan5?arctan1]??33.7?

(2)按动态性能的要求确定系统的中频段，喂饱则很忧伤足够的相位裕量，中频段的穿越斜率为-20db/dec

中频段的高度h?Mr?11.4?1??6

Mr?11.4?1考虑到要留一定的裕量取h=10Wc’=10rad/s则w2?2)，w3?2wc'?20rad/sWc'?2rad/(与未校正前穿越频率一致sh?1L（w）/db60

AL0(w)28

BL(w)W(rad/s)W1=0.2w24wc’=10wc=20w4=100CD

Lc(w)图6.6题6.11系统校正前后伯德图

（3）绘制期望特性的低中段，中高频链接段与高频段，分别过B,C两点做斜率为-40db/dec的斜线交低频段，高频段于A,D点

在频率w2=2rad/s处

Lo(?)?20lg100?201g2?34db，

154

L(?）?L(?c')L(2)?0???20?L(2)?14dB'lg?-lg?clg2?lg10?Lc(2)?L(?)?Lo(?)?L?2??Lo?2???20??20Lg????10由此得出A点对应频率1/T1?w2/??0.2rad/s，D点对应频率1/T4???c'?100

（4）由于Gc(s)?(0.5s?1)(0.25s?1)100(0.5s?1)，?Gk(s)?(5s?1)(0.01s?1)s(0.05s?1)(5s?1)(0.01s?1)??180??[?90??arctan(0.5?10)?arctan(0.05?10)?arctan(5?10)?arctan(0.01?10)]?47.5??0满足题意

Mr?满足题意

1?1.36?1.4sinr'K，由期望法设计系统2s(0.2s?1)6.12设一个随动系统，其开环传递函数为Go(s)?的稳态加速度误差系数Ka=20s?2和相位裕量r'?35o时的串联校正装置。

解：

40

L(w)/db26

Lc(w)W(rad/s)1w1wcw2L’(w)L0(W)

图6.7题6.12伯德图

由20lg20?40lg?c?0，得?c?4.47rad/s

?'?180???(?c)??41.8?

155

?max?35??41.8??13.2??90?

由于?max较大，应采用两级超前校正，每级?'max?45?

?1?s/?1??Gc(s)???，?2=a?1

?1?s/?2?由sin?'max?2a?1?a?5.8a?1取a?6，则?2?6?1

20(1?s/?1)2校正后系统的开环传递函数为Gc(s)Go(s)?22s(0.2s?1)(1?s/?2)当???'时，?c'是?1和?2的几何中点，可以算得

c20(?c'/?1)2'2A(?c)?'2?1???100/?c1'?c?0.2?c'代入

?c'?a?1?6?1??1?3.44,?1?20.64,?c'?8.43

?1?s/3.44??Gc(s)????1?s/20.64??G(s)?Gc(s)Go(s)?220(1?s/3.44)s2(0.2s?1)(1?s/20.64)22

?(?c')?180???(?c')?31.9??35?

再将a增大到7，重复上述步骤得?(?c')?37.7?35此时

?1?s/3.44?Gc(s)????1?s/24.08?G(s)?220(1?s/3.44)s2(0.2s?1)(1?s/24.08)22

6.13设单位负反馈系统的开环传递函数为Go(s)?K，试用期望对

s(0.5s?1)(0.167s?1)数频率特性法（期望特性用1-2-1-2-3系统）设计串联校正装置，使系统满足以下性能指标：K≥180，σ%≤27%，ts≤2秒。

解：（1）绘出校正前的幅频特性图(如图6.8)，计算

156

86-20-40-60W&=400W10010.0251256Wc=13.43-40-60图6.8题6.13伯德图

L(2)?4d0BL(6)=21dB?=13.43rad/sc?=180??(?90??arctan(0.?513.?43)

arcta?n(0.16?7.?513.0?4?3))57（2）求中频段

6~86~8??3~4取?'?5rad/scct2sa?6427?64h???8.27取h=10a?1627?162?????'?1rad/s2h?1c??2?'?10rad/s3c?'?（3）由L(1)=L(1)-L(1)=14-46=-32

co得L(1)=-32=-20lg?

c??=40

??1??2/??1/40?0.025rad/s

?4???3?10?40?400rad/s

（4）

157

?Gc(s)?(s?1)(0.1s?1)(40s?1)(0.0025s?1)200(s?1)(0.1s?1)s(0.5s?1)(0.167s?1)(40s?1)(0.0025s?1)

?Gk(s)?Gc(s)?Go(s)?6.14系统开环传递函数为Go(s)?－

K，希望闭环系统具有以下性能指标：2s(0.05s?1)（1）稳态加速度误差系数Ka=10s2。（2）γ’≥35o，?’c≥10rad/s。试用期望法确定系统所需串联校正装置。

解：（1）绘出校正前的幅频特性曲线（如图6.9）

令

K=Ka=10,?c=3.16rad/?'=-arctan(0.05?3.16)=-9?

（2）题目要求?c?10rad/s,现取?c??10rad/s

在?c?处，Lo(?c')?20lg10-40lg?c'?20-40?-20dB由L(?c')?0，L（）?L(?)-Lo(?)c?Lc(?c')?20dB

?AB段Lc(?)的方程为

Lc(?)-20?20(lg?-lg10)

又Lc(?1)?0??1?1rad/s

（3）现在取?2?50rad/s，可得G（?cs）s?1，

0.02s?1（?c'?10rad/s）?G(s)?10（s?1）s2(0.05s?1)(0.02s?1)?'?180??90??2?arctan0.5?arctan0.2?'?180??90??2?arctan0.5?arctan0.2=84.3-26.6-11.3=46.4??35?

满足要求

158

BLc(?)A?c??10??11?c?3.16Lo(?)L(?)L

图6.9题6.14系统伯德图

6.15原系统的开环传递函数为Go(s)?10，采用串联校正，期望校正以后的开环

s(s?1)幅频特性曲线L（ω）如图6.10所示。试求：

（1）在原图上绘制所需校正装置的伯德图Lc（?），求出此装置的传递函数Gc（s），并说明该装置的类型。

（2）简要说明系统校正前后性能的变化。

解：(1)由图可知校正后的传递函数，其低频段的频率为-20dB/dec又L（1）=20lgk-20lg1=20K=10确定各型环节：

第一个转折点?1=1rad/s斜率减小20db/dec其次个转折点?2=2.2rad/s斜率增大20dB/dec第三个转折点?3=8.8rad/s斜率减小20dB/dec

510(s?1)11?Gk(s)?5s(s?1)(s?1)445s?120s?44Gk(s)?Go(s)?Gc(s)?Gc(s)?11?5s?15s?4444159

L(w)dB40-20-40-208.800.112.2图6.10题6.15图4.49-40W(rad/s)20(2)系统增加了带宽，快速性改善，相位裕量明显增加，系统稳定性改善，高频段对数幅值上升。抗干扰性下降

6.16一单位负反馈控制系统的开环传递函数为

Go(s)?Kgs(s?4)(s?6)

（1）若要求闭环系统单位阶跃响应的最大超调量?%≤18%，试用根轨迹法确定系统的开环传递系数。

（2）若希望系统的开环传递系数K≥15，而动态态性能不变，试用根轨迹法确定校正装置的传递函数。

解：（1）

①由于?%≤18%，并留有一定的余地，选??0.5，使主导极点的阻尼角

??arccos??60?；

由于ts未要求，不妨设ts?点为：

3??n?1.5s，则?n?4rad/s，于是我们希望的闭环主导极

s1,2????n?j?n1??2??2?j23②画出未校正系统的根轨迹（略），由于期望的极点位于校正前根轨迹左方，故采用串联超前校正装置加以校正。

③原系统开环零极点对闭环极点所产生的相位角为：

?G0(s1)???s1??(s1?4)??(s1?6)??120??60??40???220?

则超前校正装置提供的相位角?c??180???G0(s1)??180??(?220?)?40?

160

num=[20];

den=conv([10],[0.21]);%求分母（多项式相乘）其他指令同上。系统校正前的开环频域指标为gm=

Inf%系统校正前幅值裕量hgpm=

28.0243%系统校正前相位裕量wcp=

Inf%系统校正前相位穿越频率wcg=

9.3940%系统校正前幅值穿越频率

（1）开环伯德图及开环频域指标（2）单位阶跃响应曲线

图6.18M