数学23归纳法课件苏教版选修

第2章推理与证明

2.3数学归纳法对于某类事物，由它的一些特殊事例或其全部可能情况，归纳出一般结论的推理方法，叫归纳法。归纳法｛

完全归纳法不完全归纳法由特殊一般特点:a2=a1+da3=a1+2da4=a1+3d……an=a1+(n-1)d如何证明:1+3+5+…+(2n-1)=n2(n∈N*)数学归纳法：证明某些与自然数有关的数学题,可用下列方法来证明它们的正确性:(1)验证当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题成立,(2)假设当n=k(kN*

，kn0)时命题成立,

证明当n=k+1时命题也成立那么命题对从n0开始的所有正整数n都成立。这就是数学归纳法公理。验证n=n0时命题成立若当n=k(kn0)时命题成立,

证明当n=k+1时命题也成立命题对从n0开始的所有正整数n都成立。(1)第一步，是否可省略？

不可以省略。(2)第二步，从n=k(k≥n0)时命题成立的假设出发，推证n=k+1时命题也成立。既然是假设，为什么还要把它当成条件呢？这一步是在第一步的正确性的基础上，证明传递性。想一想所以n=k+1时结论也成立那么求证1.证明：①当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立。

②假设n=k(k∈N,k≥1)时等式成立,即：

1+3+5+……+(2k-1)=k2，

当n=k+1时：

1+3+5+……+(2k-1)+[2(k+1)-1]=k2+2k+1=(k+1)2，所以当n=k+1时等式也成立。

由①和②可知，对n∈N，原等式都成立。例2、用数学归纳法证明1+3+5+……+(2n-1)=n2

（n∈N）.请问：第②步中“当n=k+1时”的证明可否改换为：1+3+5+……+(2k-1)+[2(k+1)-1]=1+3+5+……+(2k-1)+(2k+1)==(k+1)2?为什么？例3用数学归纳法证明

1）第一步应做什么？此时n0=

，左=

，2）假设n=k时命题成立，即

当n=k时，等式左边共有

项，第k项是

。

k

k2思考？1123）当n=k+1时，命题的形式是4）此时，左边增加的项是5)从左到右如何变形？用数学归纳法证明证明：（1）当n=1时，左边＝12＝1，右边＝

等式成立。（2）假设当n=k时，等式成立，就是那么这就是说，当n=k+1时等式也成立。根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N＊都成立。例4、求证:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n•1•3•…

•(2n-1)证明：①n=1时：左边=1+1=2，右边=21•1=2，左边=右边，等式成立。②假设当n=k((k∈N）时有：

(k+1)(k+2)…(k+k)=2k•1•3•…•(2n-1),

当n=k+1时：左边=(k+2)(k+3)…(k+k)(k+k+1)(k+k+2)

=(k+1)(k+2)(k+3)…(k+k)•

=2k•1•3•…•(2k-1)(2k+1)•2=2k+1•1•3•…•(2k-1)•[2(k+1)-1]=右边，∴当n=k+1时等式也成立。由①、②可知，对一切n∈N,原等式均成立。

练习：用数学归纳法证明

证明：(1)n=1时，左边=

那么,(2)假设n=k（k∈N*)时等式成立，即

右边=等式成立。即当n=k+1时等式也成立。根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N*

都成立。探究：已知数列设Sn为数列前n项和，计算S1,S2,S3,S4,根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明。解：S1=

S2=S3=S4=

可以看到，上面表示四个结果的分数中，分子与项数一致，分母可用项数n表示为3n+1,可以猜想

平面内有n条直线，其中任意两条不平行，任意三条不共点，设f(n)为n条直线的交点个数，求证：f(n)=思考：

成立，那么当n=k+1时

f(k+1)=f(k)+k证明：(1)n=1时，f(1)=1(2)假设n=k时,f(k)=

根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N*

都成立。即当n=k+1时，命题成立1.数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法.主要有两个步骤一个结论:【归纳奠基】（1）证明当n