微积分下第二版课后习题答案同济大学

习题1—1解答，求f(x,y),f(1,1),f(xy,x),xy11．设f(x,y)xyxyyf(x,y)解f(x,y)xyxy；f(1,1)1y;f(xy,x)x2y2;1yxyxyxf(x,y)xy2xy2．设f(x,y)lnxlny，证明：f(xy,uv)f(x,u)f(x,v)f(y,u)f(y,v)f(xy,uv)ln(xy)ln(uv)(lnxlny)(lnulnv)lnxlnulnxlnvlnylnulnylnvf(x,u)f(x,v)f(y,u)f(y,v)3．求下列函数的定义域，并画出定义域的图形：（1）f(x,y)1x2y21;4xy2（2）f(x,y)ln(1x2y2);（3）f(x,y)1x22;yz2a2b2c2（4）f(x,y,z)xyz.1x2y2z2解（1）D{(x,y)x1,y1（2）D(x,y)0x2y21,y24x（3）D(x,y)x2y2z212ab2c2（4）D(x,y,z)x0,y0,z0,x2y2z214．求下列各极限：1xy101limx0y1（1）=01x2y2limln(xex1y0ln(1e0)ln210y)x2y2（2）lim2xy4x0y0lim(2xy4)(2xy4)x0y01（3）xyxy(24)4xysin(xy)limsin(xy)x2x2y0limx2y0（4）yxy5．证明下列极限不存在：xyxyxy22x2y2(xy)2limx0y0;limx0y0（1）（2）P(x,y)沿y2x趋向(0,0)（1）证明如果动点xylimx2xxyx0x2x3；lim则x0y2x0(0,0)，则limxyy0x2y0如果动点P(x,y)沿x2y趋向lim3y3y0xyy所以极限不存在。P(x,y)沿yx趋向(0,0)（2）证明：如果动点x2y2limx41；x0limx0yx0则x2y2(xy)2x4x2y24x4x04x4x2如果动点P(x,y)沿y2x趋向(0,0)，则limx2y2(xy)2lim0x0y2x0所以极限不存在。6．指出下列函数的间断点：2x（1）f(x,y)yy2x2；（2）zlnxy。（1）为使函数表达式有意义，需y2x0，所以在y2x0处，函数间断。解xy，所以在处，函数间断。xy（2）为使函数表达式有意义，需1—2习题xy1．（1）zyxz1xyxz1xyxy；.22yzycos(xy)2ycos(xy)sin(xy)y[cos(xy)sin(2xy)]x(2)yzxcos(xy)2xcos(xy)sin(xy)x[cos(xy)sin(2xy)](3)zy(1xy)y1yy2(1xy)y1,x1zln(1xy)yx1xy,lnz=yln(1+xy)，两边同时对y求偏导得zyzz[ln(1xy)xyxy1xy1xy](1xy)y[ln(1xy)];y112yx2z1;x3yzx32yx(x3y),x3y(4)xxyxyx2x2uyu1yzuyyxz1,yyxzlnx,zxzlnx;(5)xzz2uz(xy)xyuz(xy)u,(xy)zln(xy)z1z1(6)2z,y;x1()1(xy)2zz1(xy)2zzy,zx,z0,z1,z0;2.(1)xyxxxyyy(2)zasin2(axby),zbsin2(axby),xyz2a2cos2(axby),z2abcos2(axby),z2b2cos2(axby).xxxyyyfy22xz,f2xyz2,f2yzx2,f2z,f2x,f2z,3xyzxxxzyzf(0,0,1)2,f(1,0,2)2,f(0,1,0)0.xxxzyzz2sin2(xt),zsin2(xt),z2cos2(xt),zcos2(xt)42222xtxttt2zz2cos2(xt)2cos2(xt)0.22xttt115.(1)zyex,zex,dzyexdxyyyyexdy;xx2yxx2x(2)z1ln(x2y2),z,zxdxx2y2dy;xyyy,dzx2y22yxx22yx221y2yxydxxdyxx(3)z,z,dz;xy2xy221(y)2x1(y)2xxx2y2y2(4)uyzx,uzxyzlnx,uyxyzlnx,yz1xyzduyzxyz1dxzxyzlnxdyyxyzlnxdz.xyxdxydy,dzzx2y2,zz,则,zxy226.设对角线为x2y2x2y2xy当x6,y8,x0.05,y0.1时,zdz60.058(0.1)=-0.05(m).6822zx2y2,7.设两腰分别为x、y,斜边为z,则yxdxydy,x2y2xzx，zy,dzxy2x2y22设x、y、z的绝对误差分别为、、,xyz当x7,y24,x0.1,y0.1时,z7224225xyzdz70.1240.1722420.124=0.124,z的绝对误差zz0.1240.496%.z的相对误差25z8.设内半径为r，内高为h，容积为V，则,dV2rhdrrdh,2Vr当r4,h20,r0.1,h0.1时,VdV23.144200.13.14420.155.264(cm3).h,V2rh,Vr22rh习题1—3yxxyzdufdxfdyfdzdxxdxydxzdxzz2aeax2a(ax1)1.1(xy)2z1(xy)2z1(xy)2zy[zaxz2axy(ax1)]axexax2(1)(1a2).==zyx222(ax1)4x2e2axzffx4x3x4yarcsin1x2y2xln(x4y4)2.xxx==1244x3arcsin1x2y2xy44(1x2y2)(x2y2)yyyzffy4y3arcsin==x4y121x2y244y3arcsin1x2y2yln(x4y4).y(1x2y2)(x2x44y2)u=2xfyexyfu=2yfxexyf3.(1)x,y.1212u1uyuf,1=xf1f=yfz2(2)x=z,z.yy1222uu=xfxzfu(3)x=fyfyzf,,=xyf3.yz12323uu3yu=2xfyff=2yfxfff(4)x,z=.121233zzxffyf,14.(1)x,2y12zx2f1yyfyy2f,x11112zfxyyyffy1fy(fxf)fxyfyfy12,11111121112y2ffxffx2x(fxf)fxfx2f2xff1zyyy1211122122111222(2)xzy2f2xyfz2xyfx2f,,y12122zf2yf2xyfx2xy2f2xyfy2x12x122y2(fy2f2xy)2yf2xy(fy2f2xy).1112221222yfy4f4xy3f4x2y2f21112222zf2xf2xyfxyyy2f2xyf2yfy2y12y12122yfy2(f2xyfx2)2xf2xy(f2xyfx2)11112221222yf2xf2xy3f2x3yf5x2y2f121122122zfyfy2y2xyfx2f2xf2xy1x2y21212xf2xy(f2xyfx2)x2(f2xyfx2)1111221222xf4x2y2f4x3yfx4f1111222u1uuxuy3uxuy3u1u5sxsys2x2ytxtyt2x2y,uu,us1u4x3uu3uu2xy4y3u4x3uu1u()2,2xy4y()2()2()()2()22,tusutuxuy()2()2()2()2.6(1)设F(x,y,z)xyze(,F1e(xyz),F1e(xyz)xyz),xyF1e(xyz)z,zxzFFx1y1F,yFzzz(2)设F(x,y,z)zx2y2tan,x2y2xzz13Ftanx2y2sec2()(xxy222y2)2xz22xx2y2x2y2xzxzy2z=yx,tansec22x2y2x22x2y2(1)(x2y2)(2yz)yzz3Fytanx2y2sec222x2y2x2y2x2y2yzyzx22yztansec2=,x2y2x2y2x2y21zzF1xzysec=tan2222,xy22x2y2x2y2zxxzxzzFxcotcsc2x2y,F2x2y2x2y2x2y2zyzFycotx2ycsc2.yzyzzF2x2y2x2y2xy22zyzxxzyxyz(3)设F(x,y,z)x2yz2xyz,F1F2yF1x,xyzxyzzFxz2xyzxyzxyxzFFx=,y=.yxyzxyFzz(4)设F(x,y,z)xlnzxlnzlny,F1,F1Fx1,zz2zyzzyxyzzxzFyz2Fxz,y(xz),FxzyFzz7.设F(x,y,z)x2y3z2sin(x2y3z),F12cos(x2y3z),xF24cos(x2y3z),F36cos(x2y3z),zyxzFxz1F2F3,yy,F3zzzz1.xy8.设F(x,y,z)(cxaz,cybz),Fc,Fc,Fab,x1y2z122bxzFxzzzF,axbc.cc1,yyFaFazby1212z9.(1)方程两边同时对x求导得dx2xy((63zz11))dydz2x2y,dy,dxdx解之得dydx3z12x4y6zdz0,dyxdxdx(2)方程两边同时对z求导得dxyz,dzxydxdy10,dzdzdx解之得dyzxdy2x2y2z0dzdz.dzxy(3)方程两边同时对x求偏导得usinvuuvxv,1eusinvucosv,xeu(sinvcosv)1xx解之得uuvcosveu0eucosvusinv,.xu[eu(sinvcosv)1]xxx同理方程两边同时对y求偏导得ucosvsinvucosvv,uu,0euxeu(sinvcosv)1yyyv解之得uusinveuv1euyycosvusinv,y.[(sinvcosv)1]xueu习题1－4u数l1．求下列函数的方向导Po（1）ux22y3z2,P1,1,0,l1,1,20u2x2，u4y4，u6z0，l0(1,1,2)zP0解：xy666P0P0P0P0P0ul2*14*(1)2.666P0（2）u(y)z,P(1,1,1),l(2,1,1);x0u解：xu1z(y)(y)1，yz(y)z1()1,z1xxxxP0P2PP000uzP0(y)zln(y)0,l0(2,1,1)P0666xxul(1)*21*11.666P0;3（3）uln(2y2),P(1,1),xl与轴夹角为ox0ux2xx2y21,P0解：P0uy2yx2y21,P0P0由题意知则,,3613l0(cos,cos)(,)3622ul313.1*11*222P0（4）uxyz,P(5,1,2),P(9,4,14),lPP.0101uxyz2,P0P0uyxz10,P0P0uzP0xy5,P04312(,,),0131313l(4,3,12),lul12982*410*35*.13131313P02．求下列函数的梯度gradf（1）f(x,y)sin(x2y)(cos(xy2);fcos(x2y)*(2xy)sin(xy2)*y2,解：xfycos(x2y)*x2sin(xy2)*(2xy),gradf(2xycos(x2y)y2sin(xy2),x2cos(x2y)2xysin(xy2))yx(2)f(x,y)ey.xfx(y)eyye11ey(1y),xxx解：yxyxx2xf1yxyeyey(x)ey(11),xxxxyxy2111xey(1y)，xgradf(e()）。yxxxy(,1,3)处，山坡的高度z由公式z5x22y2近似，其33．一个登山者在山坡上点24中x和y是水平直角坐标，他决定按最陡的道路上登，问应当沿什么方向上登。zx2x3,4,解：3(,1,3)33(,1,)2424zy4y(3,1,3)(,1,)332424按最陡的道路上登，应当沿（3，4）方向上登。TxTyy(1y)(12x),x(1x)(12y)4．解：11(,)916沿方向gradT11(,)435．解：设路径为yf(x)，在点(x,y)处gradT(2x,8y)yf(x)在(x,y)点的切向量为(1,dy)dxdxdyycx4gradT平行于切向量,2x8y(1,2),y2x4因为过习题1-51、求曲线x1t,yt1,zt2在对应于t1点处的切线及法平面方程。tt1t1时，x(1),y(1)2,z(1)1，2解：当{x'(1),y'(1),z'(1)}{1(1t)1t,t(t1)T,2t}{1,1,2}(1t)2t24(1,2,1)2t1x12y2z1x12y2z1，即:21故所求切线方程为：48141法平面方程为：(x1)(y2)2(z1)0即:2x8y16z114下列空间曲线2在指定点处的切线2、求和法平面方程y22x2（1）在点(1,1,1)yz222解：将方程两端对x求导，得dyxdy2x2y0dxdxy在M(1,1,1)处T(1,1,1)dy2y2zdz0dzxdxzdxdxx1y1z1故所求的切线方程为：1法平面方程：xyz1xyz6222（2）xyz0在点(1,2,1)解法1：将方程两端对x求导，得2x2ydy2zdz0ydyzdzxdxdxdxdxdydzdydz1dxdx10dxdxyzyx0时，有当J11xzyxxydy111，11zxyzdxJdz1dxJyz1,dy,dzdxdx1,zxxy,{1,0,1}Tyzyz(1,2,1)(1,2,1)(1,2,1)x1z1故所求的切线方程为：11y20xyz(1)0(2)(1)0即：xz0法平面方程：2xdx2ydy2zdz0解法2：将方程组两端求微分：得dxdydz0∴曲线在点(1,2,1)处的切向量为3.（题略）yF'(P)1,F'(P)12,F'(P)=-1，曲面在点解：（1）令F（x，y，z）=arctg-z,x2x0y0z0即：x-y-2z-=0；21(x1)1(y1)(1)(z)0P的切平面方程为：-，2240zzx1y1x1y1，即：1144法线方程为：；112122（2）令F(x,y,z)zylnxz则F1，F1，F11xzxyz曲面在点(1,1,1)点处的切平面的法向量为：n{1,1,2}故所求的切平面方程为：(1)(x1)(1)(y1)2(z1)0即：xy2z0法线方程为：x1y1z1112xy（3）令F（x，y，z）=2z+2z-8，F'(P)4ln2,F'(P)4ln2,F'(P)=-x0y0z016ln2，曲面在点P的切平面方程为：4ln2（x-2）-4ln2（y-2）-16ln2（z-1）=0，0x2y2z1x2y2z1，即：114即：x-y-4z=0，法线方程为：4ln24ln216ln2zxxyyxy1z，11xyxy114、解：z{1,}{,}33(1,2)(1,2)dy又∵抛物线y24x在(1,2)点处的切线斜率为：1dx(1,2)dx∴抛物线y24x在(1,2)点处偏向x轴正向的切线方向为T1,dy{1,1}(1,2)∴T011,22故所求的方向导数为：zT,,22111133226263(1,2)习题1-61（题略）.fx42x0,f42y0解：由,有x=2,y=-2,即P(2,-2)为f(x,y)的驻点,y0f2,2f0,2f2,2f(P)2又x2D（P）=4>0,x2=-2xyy200故P(2,-2)为f(x,y)的极大值点,其极大值为f(2,-2)=8.02（题略）.xf3x26y39令0x22130y有y3x90驻点：(5,6)和(1,6)解：由f2y6x18令0y2f2f62f6x2y22xxy12x36240，而2xf26x2(6)2(5,6)6x30(5,6)(5,6)(5,6)(5,6)∴f(x,y)在点(5,6)取得极小值f(5,6)88又∵6x2(6)2x240(1,6)1236(1,6)(1,6)∴f(x,y)在点(1,6)不取得极值3、求zx2y2在闭区域x24y24上的最大值和最小值z2x0xz2y0解：由，得唯一驻点(0,0)y又∵在边界x4y24即椭圆2y21上,zx2y245y2y(1,1)x24d(45y)由0，得驻点：y0(1,1)dy∴所有可能的极值点为：(0,0)相应的函数值为：0(2,0)4(-2,0)（0,-1）(0,1)4-1-14、求抛物线yx2和直线xy20之间的最短距离。解：设P(x,y)为抛物线yx2上任意一点，它到直线xy20的距离为dxy2，d最小当且仅当d最小22此问题即是求d21(xy2)2在条件y2x下的最小值。2解法1（用拉格朗日乘数法）设L1(xy2)2(yx2)22L12(xy2)12x令0(12)20xyx111xy20得唯一驻点(,)24yx20L2(xy2)(1)令0y由，即2Lyx2令0故由实际问题知抛物线yx2和直线xy20之间的最短距离在在，为：72ddmin118(,)24解法2（转化为无条件极值）设抛物线yx2上点P(x,x)，它到直线xy20的距离为2xx22dxy2221∵d最小当且仅当d(xx22)2最小22设f(x)1(xx22)22∴f(x)(xx22)(12x)令0唯一驻点x12f(x)(12x)(12x)(xx22)(2)(12x)22(x2x2)12f(1)(12x)22(x2x2)70221∴当2x时，f(x)有极小值，从而该极小值就是所求的最小值（∵唯一驻点）∵d1xx22=7228212故抛物线yx和直线xy20之间的最短距离为72285、求抛物线zx2y2被平面xyz1截成一椭圆，求原点到此椭圆的最长与最短距离。解：设椭圆上任意一点为(x,y,z)，它到原点的距离为dx2y2z2此问题即是求dx2y2z2在条件zx2yxyz1下的最大值和最小值。2令Lx2y2z2(x2y2z)(xyz1)L2x2x令0①xL2y2y令0②y由L2z令0③zLx2y2z令0④Lxyz1令0⑤由①-②得2(1)(xy)0若1代入①，得0，再代入④，z1<0,不合题意21，有xy2xzyx13，z23，解得2xz122代入④，⑤由∴驻点为：P(13,13,13)和P(13,13,13)222212953∴dx2y2z953，dx2y2z22PP21PP215953由实际问题知，所求最大值和最小值存在，分别为93和6（题略）.2H22解:设圆柱高为H,圆锥高为h,圆柱圆锥底半径为r,则浮标体积V=r3rh,r2(3H2h)=0故:3V-(1)浮标表面积S(r,h,H)=2rH2rr2h22r(Hr2h2)2(3H2h)+Vr令L(r,h,H)=2r(Hr2h2)[3Lrr22r(3H2h)=02(Hr2h2)2由（2）r2h2Lhrh22r2=0(3)rh22LH2r3r20(4)22rh55,r=2h,再由（2），有H=h,hr,代入0,故有（3）有332r2h2222r,r)为S(r,h,H)h=r,(r,555r于实际问题存在最值，故当H=h,h2时,材料最省。5唯一驻点，由7（题略）解设BC=a,则横截面积11(2a2hctg)h=(a+hctg)h,a=Shctg,湿周S=(BC+AD)h=22hhsinShctg2hsinF(h,)=a2CDa2hfsin20Sctg2由(1)(2)hf12cosh0sin2SS0,,由(2)有1-2cos,由(1),h=,即()为唯一驻点，故当,4333334Sh=时，湿周最小.341、解：在任意一个面积微元d上的压力微元dFgxd，所以，习题2-1gxd侧所受的水压力F该平面薄片一D2、解：在任意一个面积微元d上的电荷微元dF(,)xyd，所以，该平面薄片的电荷总量Q(x,y)dD3、解：因为0x1,0y1，所以x2y21xy1，又为单调递增函数，lnu，由二重积所以lnxy1lnxy122分的保序性得lnxy1dlnxy1d220x10y10x10y14、解：积分区域D如图2-1-1所示，所以该物体的质量1dy2y(x2y2)dx(4y4y28y3)dy418M(x2y2)d3330y0Ddyyf(x,y)dxdx1f(x,y)dy5、解：（1）积分区域如图2-1-2所示，所以11000x4dyyf(x,y)dxdxxf(x,y)dy22（2）积分区域如图2-1-3所示，所以0y20x/2(,)1y211f(x,y)dx（3）积分区域如图2-1-4所示，所以dx2xx2fxydydy212x02ydxxf(x,y)dydyf(x,y)dxlne1e（4）积分区域如图2-1-5所示，所以000ey6、解：（1）积分区域如图2-1-6所示，所以224311x11/4x611xyddxxxydyxxxdx113/435x20355500D1y2(4y2)dy1564xyddy4xy2dx2222y（2）积分区域如图2-1-7所示，所以22002D（3）积分区域如图2-1-8所示，所以eddxxexydydxxexydy0ex(e1xe1x)dxex(e1xe1x)dx1101xy11x01x1D(ee2xe1)dx1(ee1e2x)dxee1010（4）积分区域如图2-1-9所示，所以22193136(x2y2x)ddy(x2y2x)dxy3ydyy282400y/2D7、解：,0ra，22xrcos,yrsin，所以（1）积分区域如图2-1-10所示，令fx,yddarf(rcos,rsin)dr故202Dxrcos,yrsin，所以0,0r2sin，d2sinrf(rcos,rsin)dr（2）积分区域如图2-1-11所示，令f(x,y)d故00D8、解：sin，xrcos,yrsin，所以令0,0r（1）积分区域如图2-1-12所示，4cos2故rr1dr12sinsectandsecdx(x2y)dyd211x24cos24400x2000xrcos,yrsin，所以0,0r2sin，a4dr3（2）积分区域如图2-1-13所示，令a2y2dar22)dxa故dy(x2y800009、解：（1）积分区域如图2-1-14所示，故xx1dy2(xx3)dx92dxdx224y21y211Dx（2）积分区域如图2-1-15所示，令xrcos,yrsin，所以0,0r1，故21x2y1r2rdr211r22ddrdr121r421xy21r2000Ddr11r4rr31dr21r040d(1r)11dr21142241r41r400111arcsinr21(1r4)221022280（3）积分区域如图2-1-16所示，故3(x2y2)ddy(x2y2)dx3a(2ay2a2ya)dy14a4ay33ayaaD（4）积分区域如图2-1-17所示，令xrcos,yrsin，所以02,arb，2故1(x2y2)2ddbr2drba23330aD10、解：积分区域如图2-1-18所示，由图形的对称性得：S4S4d，所以1D1sin2a2cos24a2S4drdr24a2sin2da40000图2-1-1图2-1-2图2-1-3图2-1-4图2-1-5图2-1-6图2-1-10图2-1-7图2-1-8图2-1-9图2-1-11图2-1-12图2-1-13图2-1-14图2-1-15图2-1-16图2-1-17图2-1-18习题2-21、解：Q(x,y,z)dv2、化三重积分为直角坐标中的累次积分2y，下曲面为z0，解：（1）因为积分区域的上曲面为开口向上的旋转抛物面zx2积分区域在xoy坐标面上的投影区域D:0x1;0y1x，所以xydyx2fx,y,zdvdx1x1y2fx,y,zdz000（2）因为积分区域的上曲面为开口向下的抛物柱面z2x2与下曲面为开口向上的旋转抛物面zx22y2围成，二曲面的交线在xoy平面上的投影为圆xy1，即221x1dy:1x2y1x2fx,y,zdvdxfx,y,zdz11x22x2，所以11x2x22y2x2y2z2x22z0（3）因为积分区域的上曲面为开口向上的旋转抛物面zxy，下曲面为，积22xoyD:1x1;x2y1，所以分区域在坐标面上的投影区域xyfx,y,zdvdxdyfx,y,zdz11x2y21x203、解：积分区域如图2-2-1所示111x(1x6)dx0xzdxdydzxdxdyzdzxdxy2dy611y1121011x2x2另解：因为积分区域f(x,y,z)xz关于第一坐标是奇函数，关于坐标面对称，又yozxzdxdydz0。所以0zh(0,0,z)作平行与xoy时，过面的平面，4、解：积分区域如图2-2-2所示，当R2R2x2y2zRzh与立体的截面为D:圆，因而D的半径为，面积为zz2，hh2zzz故R2h2zdxdydz2hz3Rzdzdxdydzh4h200Dz5、求下列立体的体积解（1）曲面所围立体是球体与旋转抛物面的一部分（如图2-2-3所示），用柱面坐标计算：22Vdvrdrddzddr5rdzr20041r1r233)2[(5](554)224203160图2-2-1图2-2-2图2-2-3z1xz0xoy平面，下曲面为，积分区域在坐标（2）因为积分区域的上曲面为D:y2x1;1y1，所以面上的投影区域xydzdy(1x)dx2y2ydy8114Vdvdydx111x11102215101y2y26、利用柱面坐标计算下列三重积分解：（1）因为积分区域的上曲面为开口向上的上半球面2z2xy2，下曲面为开口向上的旋转抛物面zx2y22zxy22z2xy2得z2z，，将代入解此方程得z1积分区域在xoy坐标面上的投影区域D:x2y21，由柱坐标公式xy得：D:02,0r1xyzrdz211712。1zdvddr2r22r2rrdr24r22000（2）因为积分区域的上曲面为平面z2，下曲面为开口向上的旋转抛物面2zxy2，2将z2代入2zx2y2得x2y24，所以积分区域在xoy坐标面上的投影区域D:x2y24，由柱坐标公式得：D:02,0r2xyxy12322163(x2y2)dvddrr3dz2r2rdr0222。00r2/27、利用球面坐标计算下列三重积分解：（1）用球面坐标计算(x2y2z2)dvr4sindrdddsindr4dr2100015412(cos)r5500（2）用球面坐标计算zdv/4sincosd2acosr3drrcosr2sindrddd2000/4sincos(2acos)d8a4/4sincosd12454008a4/47cos6a46608、选用适当的坐标计算下列三重积分0rcos:0解：（1）积分区域为球，故用球面坐标计算：，所以202x2y2z2dvd/2drr2sindr2/2sindcosr3drcos2000002sincos4d1cos5/21/24251000xoyxy121，用直角坐标公得到平面上的一个圆22zy代入zxy2（2）将21zdvdx1dyzdz，由于计算量较大，请同学一试。1x22y式计算111x2x2y2cos,yrsin,zzxr用柱坐标计算zdvddrzrdzd2sin12r(4r2sin2r4)dr2sin2rsin00r200d1653153642268sin603（3）用柱坐标xrcos,yrsin,zz计算116ddr2rz2rdz2rz2rdr()zdv2112331500000（4）用直角坐标计算1xy2z3dvxdxydyzdzxdx42x4y4dy01x2128dxxy1xxy12336400000习题2-3线段的方程为yx1,1x2，所以1、解：（1）因为连接点（1，0）和（2，1）的直(xy)1ds2[x(x1)]11(1)2dx22dx212ta2sin2tatatdt1Lxydsa(sin)(cos)22n2cos2n220（2）La2n1dt2a2n12022yds2a1cost[a(1cost)]2(asint)2dt0（3）L332a22(1cost)dt4a20（4）因为星形线的参数方程为xacos3t,yasin3t，所以222xyds42a3(3acos2tsint)2(3asin2tcost)2dx330L12a32costsintdx6a3sin2t26a355500（5）因为折线ABCD由线段AB，BC和CD构成，在线段AB上，xy0,在线的BC上，y0,而在线段CD上，x1,z2,yt,0t3且dsdydtx2yzdsxyzdsxyzdsx2yzds00312t2dt922L0ABBCCDzdstcosttsint2(sinttcost)21dtt0L0（6）3122t2d(2t2)12t23t02223001r，所以2、解：因为曲线L的极坐标方程为12443d，又sdsrrd223323L4412cosu1d(sinu)dtanudu2sinucos2usin2u(1sin2u)211/21/2d(sinu)1sinu1sinu12sin2u1sinu21sinu11sinuCln11C221ln21212d5ln31243s所以2234e2aa2eadsdsrrd22L003、解：1a2ead1a2(ea1)a0习题2-41、（1）解：将曲面向xoy平面投影，得投影区域D：x2+y2≤R2,从而有xyzdSRxydxdyR222R2xy22DxyRdxdyRR2R3DxyD:0x2(2)解：将平面向XOY平面投影，得投影区域，xy,从而有积分0y33x2(42x43y2x34y)1z2z2dxdy(2zx4y)dSxy3Dxy461dxdy4613Dxy:z1xy21）得（2（3）解：由1dSdxdy,D:x2y21xy1:z(x2y2)2(0z1)由得2x2y21dS(1)2dxdy2dxdyx2y2x2y2D:x2y21xyzx2y2dS12321x2y2dxdydr2dr2;3D001xyzx2y2dS(x2y2)2dxdy2d1r2rdr22200Dxy2所以，zx2y2dS(x2y2)dS(x2y2)dS222321zcy，cxcb2、解：将被截得的平面向XOY平面投影，又有已知条件的，azc,zc，设所求的面积为A，则有abxyAdS1(c)2(c)2dxdy12a2b2a2c2c2b2abDxy:2y24,且z2x,z2y，曲面向XOY平面投影，得投影区域，Dxxy3、解：将xy设所求的面积为A，则有AdS1(2x)2(2y)2dxdyDxy2163(17)2114r2rdr2d004、解：以圆环的中心为坐标原点建立坐标系，则容易知道圆环薄片的面密度为：1(x,y),当x2y24时，设薄片的质量为M，则有x2y211rdr842rM22dxdy4d22xy205、(x,y)k(x2y2)，而(,),k,k20aaa222200a22M2(x2y)ds2dx(xy2)dy4aaa0223a20a20s00习题2-513x(x,y)dxyd(xx3ydy)dx0x2DD()|111、解：1xx26868480122y(x,y)dxyd(xx2y2dy)dx0x2DD()|111xx6936954012(x,y)dxyd(xx2ydy)dx0x2DD()|111xx5725735011x35,y,重心(,).353535481541485448543535(x,y)x2y2。2、解：设P(x,y)为三角形上一点，则容易知道此点的密度为x(x,y)dx(x2(axx(x2y2)dy)dxay2)d00DD(4x5ax43a2xa3x2)|aa515236150y(x,y)dy(x2y2)d(ayy(x2y2)dx)dya00DD(4y5ay43)|a0a2ya3y2a51523615(x,y)d(x2y2)d((x2y2)dy)dxaax00DD4x2ax3a2x2a3xa44()|a01232362a2a(,)：55重心3、解：（1）由对称性知道重心一定在z轴上。1zdz)dxdy1[1(x2y2)]dxdyzdvzdv(x2y22DDxyxy11((1))rrdrd1)|1r2r42(d222224400003而圆锥的体积为：V。所以重心为：(0,0,)。34（2）容易知道此几何体是两个同心半球之间的部分，且重心一定在z轴上。而dvdvdd2Asind200a2[(cos)|2](|A)2(A3a3)0333azdvAcossinddd2zdv200a2(1sin2|2)(|A)(A4a4)42440a3(A4a4)8(A3a3)(0,0,重心：)。4、解：以圆柱下底