运筹学第2章答案

2.1某人根据医嘱，每天需补充A、B、C三种营养，A不少于80单位，B不少于150单位，C不少于180单位.此人准备每天从六种食物中摄取这三种营养成分.已知六种食物每百克的营养成分含量及食物价格如表2-22所示.（1）试建立此人在满足健康需要的基础上花费最少的数学模型；（2）假定有一个厂商计划生产一中药丸，售给此人服用，药丸中包含有A，B，C三种营养成分.试为厂商制定一个药丸的合理价格，既使此人愿意购买，又使厂商能获得最大利益，建立数学模型.表2-22含量营养成分-\食物^一二三四五六虽曲与需要量80B24930251215N150C1872134100N180食物单价（元/100g）0.50.40.80.90.30.2【解】(1)设》为每天第j种食物的用量，数学模型为minZ=0.5x+0.4x2+0.8x3+0.9七+0.3^+0.2x6〔13x+25x+14x+40x+8x+11x>8012345624x+9x+30x+25x+12x+15x>150<12345618x.+7x2+21x3+34x4+10x>180x、x、x、x、x、x>0123456则数学模型为携义为第z•种单位营养的价格，maxw=80y+150y+180y〔13y+24y+18y<0.525y1+9y2+7y3<0.414y+30y+21y<0.8则数学模型为<40y+25y+34y<0.98y1+12y2+10y3<0.31y+15y+<0.2、y「y2,y3>02.2写出下列线性规划的对偶问题（1）<【解】min=3x^+5x+x一x+3x+6x>8123x^+x-x>4x,x,x>0123maxw=8y+4y'-y1+2y（1）<【解】3y1+y2<56y1-y2<1y,y>012(2)maxZ=2x-xix+2x=912—x—3x+12X无约束，1X3X2maxZ=x+3x310+2x12+4x【解】3x410X-1X2-x-4x3=847x+6x—2x—5x>10i234-Sx+6x+x<6i234X,X>0,x<0.x无约束(3)1231431233x—2x+尤—6x=912346x+5x—>6i34f+2x—无+2x<-2i2345<x<10—2xZ3x+6x-7x+max4(4)1无约束346y2对偶问题为:2.3考虑线性规划minZ=12xx+4x12A：+5工<122x+3xiX,A：112minw=9y+10yib—y=2

122y-3y>12y>32y无约束；1-1mm【解】【解】minw=9y+3y+6y-y+y1234一2y+2y=313<y+5y-y=6123-6y-y+2y=-7123y无约束；y<0,y,>V123y>02w=8y+10y+6y12310y+7y+4y>1123J+6y-Sy>2123<-J一2y+6y<4123-4y-5y+y=-33y<0,y>02312y无约束；1maxZ3xi6xi—X+2X1>=—2.xi2x+x2+3x+6x-7x234-6x=934+20a：21X1X1XI1+5工-x>634x+2V—234102y+5y+lOy3y>54-20,y>05⑴说明原问题与对偶问题都有最优解；通过解对偶问题由最优表中观察出原问题的最优解;利用公式Ck求原问题的最优解；D⑷利用互补松弛条件求原问题的最优解.【解】(1)原问题的对偶问题为maxw=4y+2y+7yy]+y2+2y3<12<4y1+5y2+3y3<20、y.>0,j=1,2,3容易看出原问题和对偶问题都有可行解，如X=(2,1)、Y=(1,0,1),由定理2.4知都有最优解。(2)对偶问题最优单纯形表为C(j)42700R.H.S.BasisC(i)y1y2y3y4y5y370-1/514/5-1/528/5y1417/50-3/52/54/5C(j)-Z(j)0-11/50-16/5-1/5w=42.4对偶问题的最优解Y=(4/5,0,28/5),由定理2.6,原问题的最优解为X=(16/5,1/5),Z=42.441-41-(3)Cb=(7,4),b-1=55，X=(7,4)55=(16/5,1/5)3232L-55_L-55_(4)由七、y3不等于零知原问题第一、三个约束是紧的，解等式fx+4x=4\2x+3x=7112得到原问题的最优解为X=(16/5,1/5)。2.4证明下列线性规划问题无最优解minZ=x.-2x-2x2x1+x-2x=3<x1-2x+3x>2x,x>0,x无约束

‘123证明：首先看到该问题存在可行解，例如x=(2,1,1)，而上述问题的对偶问题为maxw=3y+2y'2y1+y2<1y广2y2<-2-2'1+3'2=-2y>0,y无约束21由约束条件①②知七00,由约束条件③当y230知七31,对偶问题无可行解，因此原问题也无最优解(无界解)。2.5已知线性规划maxZ=15x+20x+5xx+5x+x<55x+6x+x<6x+10x+x<7x>0,x>0,x无约束1123的最优解X=（怎样安排生产，使利润最大.若增加1kg原材料甲，总利润增加多少.设原材料乙的市场价格为1.2元/Kg怎样安排生产，使利润最大.若增加1kg原材料甲，总利润增加多少.设原材料乙的市场价格为1.2元/Kg，若要转卖原材料乙，工厂应至少叫价多少，为什么？单位产品利润分别在什么范围内变化时，原生产计划不变.4【解】其对偶问题是：minw=5y+6y+7y'y1+5y2+3y3>15y1+6y2+10y3>20y1+y2+y3=原材料分别单独在什么范围内波动时，仍只生产A和C两种产品.由于市场的变化，产品B、C的单件利润变为3元和2原材料分别单独在什么范围内波动时，仍只生产A和C两种产品.由于市场的变化，产品B、C的单件利润变为3元和2元，这时应如何调整生产计划.工厂计划生产新产品D，每件产品D消耗原材料甲、乙、丙分别为2kg，2kg及1kg，每件产品D应获利多少时才有利于投产.【解】(1)设气、x2、x3分别为产品A、B、C的月生产量，数学模型为由原问题的最优解知，原问题约束③的松弛变量不等于零（x*。0），%、x3不等于零，则对偶问题的约束①、约束③为等式，又由于xs3。0知y3=0；解方程[y1+5y2=15〔y+y=5

12得到对偶问题的最优解Y=（5/2,5/2,0）；w=55/2=27.57.某工厂利用原材料甲、乙、丙生产产品A、B、C，有关资料见表2-23.表2-23材'产品一材料消耗集原材料有"每月可供原材料(Kg)品ABC甲211200乙123500丙221600每件产品利润413

maxZ=4x+x+3x‘2x+1x+x<200x+2x+3x<5002x+x+x<600x>0,x>0,x>01123最优单纯形表:C(j)413000R.H.S.RatioXB-CBX1X2X3X4X5X6X1411/503/5-1/5020X3303/51-1/52/50160X60000-101400C(j)-Z(j)0-8/50-9/5-2/50Z=560最优解X=(20,0,160),Z=560oX厂应生产产品A20件，产品C160种，总利润为560元。由最优表可知，影子价格为y=9,y=2,y=0,故增加利润1.8元。15253因为y2=0.4，所以叫价应不少于1.6元。依据最优表计算得8-3<△c<2,△c〈一,-1<△c<9125313cg[1,6],cG(-8,],ce[2,12]1253(5)依据最优表计算得<△b<400,-400<△b<100,-400<△b500bg[,600],bg[100,600],be[200,+8).1323(6)变化后的检验数为X2=1,X4=-2,X5=0。故x2进基x1出基,得到最最优解X=(0,200,0)，即只生产产品B200件，总利润为600元。C①432000R.H.S.RatioXBCBX1X2X3X4X5X6X141[1/5]03/5-1/5020100X3203/51-1/52/50160800/3X60000-101400MC(j)-Z(j)010-200560X225103-10100M