线性代数课后习题答案

第一章行列式

1.11.21.31.41.5

一、选择题

1->A：2、D：3、A；4、Do

二、填空

1、98；2、k--2；3、4abedef；4、120；5、abed。

三、计算题

12341023412340110

42131021312131213

1、解:——=10=10

31241012411241124

24311043114311431

0110011

10110

01-1-101-1-1

10=10=101-1-1=100-2-1

11241124

31-30-2-3

1431031

-1

103=10x(6-2)=40；

-2

xyx+y1yx+y1yx+y

2、解:yx+yx=2(x+y)1x+yx=2(x+y)0x-y

x+yxy1xy0x-y-x

X一y

=2(x+y)2(x+y)(-x2+y(x-y))=-2(x3+/)。

x-y-x

1.51.6

-、填空题

1304

1、1,-1,2,-2；2、a"+(—1)"+9;3、12；4、5'>—15o

3513

二、选择题

1>C；2、Bo

三、计算题

-22-400200

31-531-5

4-13-53-11-5

、解：——=-240-3=-21-12

31-2-3410-3

251251

20512051

04-11

4-11

-21-122=2x(—12+77)=130；

7-3

07-3

1-11x-11-11x—11-11x-

I-1x+1-11-1x+l-100x

2、解:=x=X

1x-11-11x-11-10x0

x+1-11-11-11-1000

0x

x-A-

=Xx0-X=(-x2)(-x2)=x4

0一X

00-X

1aa1a•1-a

1xa0x-a•…0

3、解:D.=(x+(n-l)a)=(x+(n-l)a)

1ax00・,••x-

(x+(n-l)a)(x-a)/,-1

1.7

1111

1234

-、解；系数行列式。=(2-1)(3-1)(4-1)(3-2)(4-2)(4-3)12w0,

14916

182764

1111

5234

另外,(2-5)(3-5)(4-5)(3-2)(4-2)(4-3)=-12,

254916

12582764

1111

1534

D=(5-1)(3-1)(4-1)(3-5)(4-5)(4-3)=48,

2125916

11252764

1111

1254

=(2-1)(5-1)(4-1)(5-2)(4-2)(4-5)=-72,

2142516

I812564

1111

1235

2=14925=（2-1）（3一1）（5-D（3-2）（5-2）（5-3）=48,

1827125

所以原方程组的解为：*=4=士=_1,》2=乌=竺=4,马=4=±=—6,

1D12-D12D12

D48.

X4=——=4。

4D12

k11

二、解：原齐次线性方程组有非零解o系数行列式1k-1=0=

2-11

k-221

k-22

3k-\-1=0==0=G—3k—4=0=左=4,一1。

3k-\

001

k21

三、解：原方程组有唯一解=系数行列式12-k*0=公一5左一270

2k-1

=（々+2）（左一2—0）（女一2+0）wOo-2,2+72,2-72«

习题课

一、选择题

1、C；2、Bo

二、计算题

10al

-1b-1-1b-1

0-1b-1

1、解：D=--1a+c0=0a-b+c1

0—1ci+c0

1a+d10a+b+d0

01a+d1

a-b+c1

——=a+b+d；

a+b+d0

-qq0•••00—%00•••00

0—a,0…000-a2a2•••00

=….................=…................・••

2、解：Dn+l

000…一4-a„000-an-an

111…11121­••11

~a\00…00~a\00••00

0~a20…000一%0­•00

…=(T)"〃立％

••••••............•••・・•=••=・・••••••••••••

/=,

000…~an~an000­,~an0

123…11123••n-\n

课外作业

一、选择

1、D；2^B；3、A.

二、填空

1,(a-b)3；2、-6.4xl07o

三、计算

l+x111XX0oox00

1-X11_11-X11x1-x01

1、解:

一

11l+y1—00yy00oy

1111-y111-y01yi-y

xoo

2、解:

a00…01

a0・-0000•-01

0a0…00

0a--00a0­-00

00a•••00

Dn=二a•••…•・・・••••+(-1严0a••00

00•・a0■..

000…a0

00•-0a00••a0

100•••0a

n

=a+=an_优-2；

3、证明：当n=1时,£>,=a+/3结论成立;

a-p

2+]+x

a+(3a(3?9a-B~」A

当〃=2时，D、=—a~-^a/3+/?~=--------，结论成立;

1a+夕a-p

7(〃-i)+i

假设结论对阶数＜/?-1的情形都成立,即。则

a-。a-p

af30…00

1a-\-B…00

D„=(a+m,-,-=(a+/3)Dn_x-a(3Dn_2

00­••1a+p

a”_0"a〃-'_0〃7

=(a+0)-ap

a-pa-pa-p

,ii11

1+61!ii-­­1i+——

%a2%%

一q%0­,0

-i10•••0

4、证明：2=~a\0%,••0=q4…4

-i01•••0

~a\00•,,an

-i00­■­1

Q〃1111

a2%an

010••0〃1

a。…4,=a1a2•

001­■0

000•-1

+

5、解：Dn=xD,i+(-1)-'«„(-1)"-'=xD„_l+a„=x(xDn_2+an_,)+a„

=X~D+Cl,X4-d=…=X，｝-D,+Cl-iXn'+CIAX14+…+Q[X+Q

n—z9,ii—\nzj4zi—In

=x'"(x'+qx+a,)+dyX"3+ci^x"+…+cin_ix+cin

=x"+ci^x"+ci-^'H----Fa,./+a”。

第二章矩阵及其运算

2.12.2

—•、单项选择

1、C；2、B；3、C：4、D；5、Ao

二、填空题

3+(-1严(-1)"-1、

(\23、

2"〃/l"T、

22

1、s=I；2、246，14；3、

0心，3+(-l),i+'x3(_l)〃x3T

、36

2~1J

三、计算题

’058'11、01524、22、

1、解:3AB-2A=30-56-2110-151822-2

-127-22

、2907760737

，-21322、’11、r123、058、

-2-1720,ArB1-1-1-240-56

112

29一2,J57907

2

1

23

12

2、解:A"=£(/30r式'/3=2x3H-lxT21

33

3

31

27

证明：A?=AO_L(B2+28+E)='(8+E)O8?=E；

3、

42

4、证明:已知Ag=qA,AB2=B2A,则

A(4+8J=AB1+AB^=SA+B2A=(B、4-B2)A,

A(g与)=(4用)与=(B,A)B2=B,(AB2)=B,(B2A)=(B]B2)A,

所以A与月+当，与当也可交换。

2.3

一、单项选择

1>C；2、A；3、C；4、C；5、Ao

-2、-210、

4-2、

31；3、—27；4、1-42

-31

722>01-3

三、解答题

11]_

1、解：（1）甲-4]=甲=—X------=

81川4,

(2)|(2A)T—3A]=#一3何=卜[=（一喘=一2。

2、解：因为AB=A+2B,所以（4—2E）8=4,从而

5=(A-2£)-1作初等行

变换

-23303I10、

1011323

21-12203,

(\-1011110、

01322-123

00-2-2111°,

100033、033、

0023所以B=23

001110,10,

24、

-40'27312732

3、解：A"=PA"尸t33

1102"71、—683-6837

-

1337

4、证明：由可得Ax上巨=E&(A+2E)x匹心

A2-A—2E=0E,所以

24

A及A+2E都可逆，并且4一1=（A"£）,(A+2E)T=^p

2

2.4

一、填空题

’7300>

[X父17700

；2、4,2；3、

5A：44

700

、o0109;

二、解答题

0AY1XY}0AXE0、

1、解：设,则,所以有

B0JZB0Z0E)

AZ=EZ=A-'

AW=0卬=00A'0

,解得《,所以

8X=0X=0B070)

BY=Ey=尸

(34)(1)

-0

<34、(20、25252

2、解：令B=,c=,则B-,C'=

<4-3；〈乙2乙2)43

.25-25>[52>

"625"160、

B4C4|B|=-25,|C|=4,

10625；、64电

4

00

25

_3_

00

“Li(BoY1ffi-1o125

从而A===

loc)I0c-')

000

2

11

00

I~22>

’625000、

'BoVfB4062500

A4c广[o

<000160

、006416,

⑷=同8=(网q)8=(_25x4)8=10l6»

‘四0…0'%T0…0、

0…00a-'…0

3、解:令8=。2,则k=,从而

0•••a,I,、00…

A

’000a„

-1a；'00…0

(0B、’0an_

*=—0a；'00o

B0,。厂

00<2,…0,

-1

5200、q2、'1-20°)(12]'-5-6、

210034-250o341316

4、解:x=

008356002-356421

J

-3>

0052,3ko0-5-3)「9-547

5、解：|A+却=|a+£2y22y32y/=m+夕r24/4|

=8(|ay2y3刃+彼%八%|)=8(何+冏)=8x(4+1)=40。

习题课

・、选择题

1、设〃阶可逆方阵A的伴随矩阵为4"且|A|=a,贝4(A*)]=(C)；2、A；3、D。

1A

1oo

-

9

1111

p&p21%1o4

---、-

、2666

111

Js96,

三、解答题

)00、,01o'’00p

1、解：令4=020,B=001,则AB=BA,B1=000,B3=O,

10

000;。0

(A1OYpr00、

n2

所以0/I1=(A+B)"=C+C'lA-'B+C^A"-B-=0/0+

0000A"

\77

Rto0(°10]‘万-2ooVo0n

〃(〃一i)

noA'-'0001।0A'-20000

乙

00/T-100000A'-2000

J7,/

/

迎心朽2、

A"〃牙I

2

=0A"nA'"'a

00

7

'100、

2、解:由A*BA=2BA-82可知8=-8(4*-2£：)一弘-1。而内0--0

2

100”

A*=|A|AT=-20--0=010,所以

2

01100口

、°

0V1

-100、

'-400、41(100、

-11

B=-80-10A-80-1000=0-40O

一2

、00一4,10

00001,2)

23-1、

3-1Y1120

20。对矩阵2-2作初等列变换

2一2,2-13

10

00、

23-P'-132、’-100、

020

120021021

-2-4-3

-12-2-22-1T-2-4-5

384

2-133-12388

101;J。L、133J13-

<27

'100、<100、

'100、

010010

010i_£

2-21001

2-2-3-33-3

->->4->4_4,所以x=

-344一34——01-10

3-33~3

33122)

-1——_]2_1

122)0

<22>2

4、证明:因为A8=A+8,所以(A—E)(8—E)=E,从而A—E可逆且

(A-E)T=B-E。于是(8—E)(A—E)=E,即8A=A+8,因此=

5、证明：因为M+E|=k+A4[=|A(A，+E)|=|MA，+E|=—|(*+£)[=—]4+司,

所以|A+同=0。

6、证明：因为A对称，8反对称，所以A'=A,Bi=-B.于是

(AB-BA/=(AB)T=BrAr-A1Br=(-B)A-A(-5)AB-BA,

(AB+BA)T={ABY+(BA)T=BTAT+A'Br=(-B)A+A(—8)=-{AB+BA),

即AB-8A是对称矩阵，45+BA是反对称矩阵。

课外习题

一、选择题

1、C；2、C；3、C,

二、填空题

300、]_、

0

1、2；2、2；3、030;4、2

-22-M-1>

三、解答题

1、解：因为所以I====又⑶<0,所以|川=—1。

故+同=IA+=卜(万+E)卜|川W+q=一"7+E)r\^-\A+E\,从而

|A+E|=0。

2、解：由已知可得A*=A「，所以447=k|E,因而⑶2=|A|[A[=|AA[=W，于是

同=0或|川=1。如果同=0,则AA〈=0,从而得到H(A)+R(A,)W3。又已知

6=卬尸0,所以砥A)=R(M)N2,矛盾。因此|川=1。

(i1

-000

2

40-00

3、解：因为8=A1二|A『，所以闺=2,从而A—二1二2。对矩阵

A

\\-0-0

22

3

0——04

12)

0001000

2

2

0000100

2作初等行变换:

£

0-00010

22

3

0--040001

27

00010001

20001000

2

1

o000100

20000100

2

11

000010

22000-1010

2

3

0-04000100040301

I2?

‘10002002000、

0100020D0200

70()10-2020-所以胃=（人|尸=-2020,从而

31e3八1

0()010-0-0-0

V44j44>

'1000、'1000000、

010001000100

A—E=-2010。对矩阵-20100010作初等行变换

3333

0-0--0-0--0001

I44j(447

’10001000、’10001000、

0100010001000100

-20100010->00102010

33

o30--0001000--0--01

I44)144)

’1)001000、'1000、

0I0001000100

f0()102010>所以(A—E)T=2010O

44

0()01010——010-

3)3>

由ABT=入厂+3后可得

"1000(2000、

'6000、

01000200

0600

8=3(A-6尸4=32010-2020O

6060

4

010——0-0-030-1

13144,\Z

‘1-1-np-i-1100、

4、解：A—B=01-i。对矩阵oi-1010作初等行变换

01001

、00J1。?

1-1-11001-10101J00112

01-1010f010011->010011

001001,、001001?、001001

」12、

所以(4-8尸=011由AXA+BXB=AXB+BXA+E得

20b

"112V112](125、

X=(A-"(A-8尸=011011=012

J10

、000oL

5、(1)证明：由2ATB=B—4E得AB-4A—28=0,即(A—2E)(B—4E)=8E,所以

A-2E可逆且(A-2E)T=-B--E.

82

-40V-3-20V'

(2)解：由AB—4A—28=0得A=28(8—4E)T=2401-20

1°04^00-2,

__L1

0

<2-40^44020、

o」N

240-10

488

(00J00-2)

1

002；

6、证明：(1)因为(4设尸二缶丁尸“二角〃，("A)，=*(川［=AZ,所以

AA7及均为对称矩阵。

(2)已知F=—6。因为(公y=6「笈=(—8)(—6)=8?,所以)是对称矩阵。

第三章矩阵初等变换与线性方程组

3.1-3.2

一、填空与选择题

(100、

1、；2、2；3、0；4、r(A)>r(B)；5、B；6、D.

^01oj

二、计算题

1221、(\1221

0215-10215-1

1、将A化为行阶梯型矩阵Af

0-2-1-5100000

00-22—2,、00—22—2,

11221

0215-1

f所以r(A)=3。

00-22-2

^00000

21100、

2、：对矩阵315010作初等行变换

、32300b

，321100、<321100、’309-120、

315010-0—14-110->0-14-110—>

、323001J(002-101,、002—101,

(72、72_3、

3002100

309-1202~263~2

0-14-110-0-1011-2T010-1-12

\_11111

001000100010

22>~22;I-22)

723、

632

所L2

1

2)

'41-21-3、

3、：X^A-'B对矩阵22122作初等行变换

、31-13-1?

,41-21-3](10-1

22122-112

3-JL

31-11-1

10-1-2-2]p00102、

->011-31->010-15-3

001124)(001124J

102、

所以X-15-3

1247

r1-10、-141-10、

4、解：X=•3七-8),3