数学竟赛（好题选）4（30道含详细解答）

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数学竟赛（好题选）4

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数学竟赛（好题选）4

一．填空题（共7小题）

1．设x为正实数，则函数y=x2﹣x+的最小值是_________．2．代数式

的最小值为_________．

3．已知x、y、z是三个非负整数，满足3x+2y+z=5，x+y﹣z=2，若s=2x+y﹣z，则s的最大值与最小值的和为_________．

4．函数y=（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）+5在[﹣3，3]上的最小值是??_________．

5．若a，c，d都是整数，b是正整数，且a+b=c，b+c=d，c+d=a，则a+b+c+d的最大值是??_________．

6．已知三个非负数a、b、c满足3a+2b+c=5和2a+b﹣3c=1．若m=3a+b﹣7c，则m的最小值为??_________，m的最大值为??_________．

7．假使把分数的分子、分母分别加上正整数a，b结果等于

二．解答题（共23小题）

8．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣a2﹣a=0（a＞0）．（1）求证：这个方程的一根大于2，一根小于2；

（2）若对于a=1，2，3，…，2023，2023时，相应得到的一元二次方程的两根分别为α1和β1，α2和β2，α3和β3，…，α2023和β2023，α2023和β2023，试求

的值．

9．对满足t+s=1的一切实数t，s，不等式（m+2）t+2（2s﹣1）＞t（2s﹣1）+t+2m恒成立，求实数m的取值范围．

10．解不等式|x﹣5|﹣|2x+3|＜1．

11．解不等式||x+3|﹣|x﹣3||＞3．

12．求以下不等式的整数解（1）（2）

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2

2

2

2

2

，那么a+b的最小值是_________．

．

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.13．实数x、y满足

，求xy的最小值和最大值．

14．求关于x的不等式m2x+2＞2mx+m的解．

15．有5家合用一口井，各家准备提水用的绳子都不一样长，而且都太短．井的深度等于A家绳长的2倍加上B家的绳长，或等于B家绳长的3倍加上C家的绳长，或等于C家绳长的4倍加上D家的绳长，或等于D家绳长的5倍加上E家的绳长，或等于E家绳长的6倍加上A家的绳长．问井深多少？各家的绳长各是多少？

16．方程|x﹣1|+|y﹣1|=1确定的曲线围成的图形是什么图形？其面积是多少？

17．一般地，对任意的实数x，可记x=[x]+{x}．其中：

符号[x]叫做x的整数部分，表示不大于x的最大整数（例如[3]=3，[3.14]=3，[﹣3.14]=﹣4；符号{x}叫做x的小数部分，即0≤x＜1（例如{3.14}=0.14，{﹣3.14}=﹣0.86）．试求出所有的x，使得13x+5[x]=100

18．设[x]表示不超过x的最大整数（如[3.7]=3，[﹣3.7]=﹣4）解以下了程：（1）[﹣l.77x]=[﹣1.77]x；（x为非零自然数）（2）[3x+1]=2x﹣

19．假使x和y满足20．设S=

21．求满足不等式

22．当x为实数时，求函数

23．设x1、x2、x3、x4、x5均为正整数，且x1+x2+x3+x4+x5≤x1x2x3x4x5．试求x5的最大值．

24．某环形道路上顺时针排列着4所中学：A1，A2，A3，A4，它们顺次有彩电15台，8台，5台，12台．为使各校的彩电数一致，允许一些中学向相邻中学调出彩电．问怎样调配才能使调出的彩电台数最小？并求调出彩电的最小总台数．

25．已知非负实数x，y，z满足26．已知

，求y=2x﹣1的最值．

，记W=3x+4y+5z．求W的最大值与最小值．

的最值？

的最大正整数n，其中[x]表示不超过实数x的最大整数．

+

+…+

，求不超过S的最大整数[S]．

，求x和y的值．（其中[x]表示不大于x的最大整数）

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27．设x2+y2=a2，且a2＜1，求

的最大值．

28．已知：实数a，b，c，满足a+b+c=0，a2+b2+c2=6，求a的最大值．

29．已知：实数x，y，z满足：x+y+z=0，xy+yz+zx=﹣3，求z的最大值．

30．设x为正整数，则函数

的最小值是多少？

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数学竟赛（好题选）4

参考答案与试题解析

一．填空题（共7小题）

1．设x为正实数，则函数y=x2﹣x+的最小值是1．考点：函数最值问题．专题：常规题型．805188分析：这个题目是将二次函数y=x﹣x与反比例函数y=作叠加，然后进行两次配方：y=（x﹣1）+（222﹣）+1≥1，因而x=1时，y有最小值1．解答：解：∵x为正实数，∴由函数y=x2﹣x+，得y=（x﹣1）2+（∵（x﹣1）≥0，（∴（x﹣1）+（222﹣﹣﹣）2+1，）≥0，）+1≥1，即y≥1；22∴函数y=x﹣x+的最小值是1．故答案是：1．点评：此题主要考察了函数最值问题．解答该题时，将二次函数y=x2﹣x与反比例函数y=作叠加，然后进行两次配方：y=（x﹣1）2+（﹣）2+1≥1或y=+1≥1，要求学生在把握二次函数求最值（配方法）的基础上，做综合性与灵活性的运用．2．代数式

的最小值为13．

考点：函数最值问题；轴对称-最短路线问题．专题：函数思想．808185分析：原问题转化为：求x轴上一点到（0，﹣2）以及（12，3）两点的和的最小值，显然两点间线段最短．?2023-2023菁优网

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.解答：解：求代数式最小值，实际上就是求x轴上一点到（0，﹣2）以及（12，3）两点的和的最小值，而两点间的距离是线段最短，所以，点到（0，﹣2）到点（12，3）的距离即为所求，即故答案为：13．点评：此题主要考察了函数的最值问题、轴对称﹣﹣最短路线问题．解答此题的关键是根据代数式，将问题转化为：求x轴上一点到（0，﹣2）以及（12，3）两点的和的最小值，并且利用了“两点间线段最短〞的知识点．

3．已知x、y、z是三个非负整数，满足3x+2y+z=5，x+y﹣z=2，若s=2x+y﹣z，则s的最大值与最小值的和为5．考点：函数最值问题．805188，即+的=13．专题：数字问题．分析：根据题意，先推断出S取最大值与最小值时的x、y、z的值，再求S的最大值与最小值的和．解答：解：法1：要使S取最大值，2x+y最大，z最小，∵x、y、z是三个非负整数，∴z=0，解方程组∴S的最大值=2×1+1﹣0=3；要使S取最小值，联立得方程组，，解得：，（1）+（2）得4x+3y=7，y=（1）﹣（2）×2得，x+3z=1，z=把y=，z=，，代入S=2x+y﹣z，整理得，S=x+2，当x取最小值时，S有最小值，∵x、y、z是三个非负整数，∴x的最小值是0，∴S最小=2，∴S的最大值与最小值的和：3+2=5；法2：∵x+y﹣z=2，S=2x+y﹣z，∴S=x+2，∵3x+2y+z=5，x+y﹣z=2，∴y=或z=，∵x，y，z为三个非负有理数，∴≥0①，≥0②，解不等式①得，x≤，解不等式②得，x≤1，

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.∴x≤1，又x，y，z为三个非负有理数，∴0≤x≤1，∴S的最大值3，最小值2，则S的最大值与最小值的和：3+2=5．故答案为：5．点评：此题考察了函数的最值问题．解答时，在给定的范围内（x、y、z是三个非负整数），求一个代数式s=2x+y﹣z的最值问题，难度较大．所以采取了化归思想，例如，将问题转化为“要使S取最大值，2x+y最大，z最小〞．

4．函数y=（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）+5在[﹣3，3]上的最小值是??4．

考点：函数最值问题．805188分析：首先化简函数y，可得：y=（x2+5x+5）2+4，根据二次函数求最值的方法即可求得答案．在解题时要注意首先算出（x+1）（x+4）与（x+2）（x+3）的值，再将x2+5x看作整体求解．解答：解：∵y=（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）+5，=（x+1）（x+4）（x+2）（x+3）+5，=（x2+5x+4）（x2+5x+6）+5，=（x+5x）+10（x+5x）+29，22=（x+5x+5）+4，∴当x2+5x+5=0时，y最小，∴当x=时，y最小，222∵函数y=（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）+5在[﹣3，3]上，∴当x=时，y最小，最小值为4．故答案为：4．点评：此题考察了函数的最值问题．此题应用了二次函数的最值问题与整体思想，题目难度较大，解题时要细心分析．

5．若a，c，d都是整数，b是正整数，且a+b=c，b+c=d，c+d=a，则a+b+c+d的最大值是??﹣5．

考点：函数最值问题．805188专题：常规题型．分析：将a+b=c，b+c=d，c+d=a，看成关于a，b，c、d四元一次一次方程组，解得a+b+c+d=﹣5b．∵b是正整数，∴﹣b的最大值是﹣1，∴a+b+c+d的最大值是﹣5．解答：解：∵a+b=c，①b+c=d，②c+d=a，③由①+③，得（a+b）+（c+d）=a+c，∴b+d=0，④b+c=d；⑤由④+⑤，得∴2b+c=b+d=0，∴c=﹣2b；⑥

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.由①⑥，得∴a=c﹣b=﹣3b，⑦由④⑥⑦，得∴a+b+c+d=（a+c）+（b+d）=a+c=﹣5b；∵b是正整数，∴b≥1，∴﹣b≤﹣1，∴a+b+c+d≤﹣5，∴a+b+c+d的最大值是﹣5．故答案为：﹣5．点评：此题考察了函数的最值问题．解答此题的难点是通过已知条件a+b=c，b+c=d，c+d=a来求a+b+c+d=﹣b．

6．已知三个非负数a、b、c满足3a+2b+c=5和2a+b﹣3c=1．若m=3a+b﹣7c，则m的最小值为????，m的最大值为．

考点：函数最值问题．805188专题：计算题．分析：有两个已知等式3a+2b+c=5和2a+b﹣3c=1．可用其中一个未知数表示另两个未知数得后由条件：a，b，c均是非负数，可求出第一个未知数c的取值范围，代入m=3a+b﹣7c，即可得解．解答：解：联立，然得由题意知：a，b，c均是非负数则解得，m=3a+b﹣7c=3（﹣3+7c）+（7﹣11c）﹣7c=﹣2+3c当c=时，m有最小值，即m=﹣2+3×=﹣；当c=时，m有最大值，即m=﹣2+3×=﹣．点评：此题主要考察代数式求值，考察的知识点相对较多，包括不等式的求解、求最大值最小值等，另外还要求有充分利用已知条件的能力．

7．假使把分数的分子、分母分别加上正整数a，b结果等于考点：函数最值问题．805188，那么a+b的最小值是28．

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.专题：计算题．分析：根据题意，得=，结合a、b为正整数，可知最小的a满足9+a=9×2，最小的b满足7+b=13×2．解答：解：根据题意，得=，设9+a=9k，7+b=13k，其中k为正整数．两式相加，得a+b=22k﹣16．由于a、b为正整数，所以a+b必为正整数．所以22k﹣16＞0，解得，k＞，且k为正整数．当k=1时，a=0，b=6，不合题意，舍去；当k=2时，a=9，b=19；所以a+b的最小值是28；故答案是：28．点评：此题考察了函数的最值问题．此题利用分数的基本性质和两个分数相等的条件来解的．注意a=0，b=6并不满足题意，故a+b的最小值不是6．

二．解答题（共23小题）

8．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣a2﹣a=0（a＞0）．（1）求证：这个方程的一根大于2，一根小于2；

（2）若对于a=1，2，3，…，2023，2023时，相应得到的一元二次方程的两根分别为α1和β1，α2和β2，α3和β3，…，α2023和β2023，α2023和β2023，试求

的值．

考点：一元二次方程根的分布；根与系数的关系．专题：计算题．805188分析：（1）设方程的两根是α1，β1，得出α1+β1=2，α1?β1=﹣a2﹣a，代入（α1﹣2）（β1﹣2），=α1β1﹣2（α1+β1）+4，求出其结果是﹣a2﹣a，求出﹣a2﹣a＜0即可；（2）得出α1+β1=2，α1?β1=﹣a2﹣a=﹣a（a+1），把变形为+++…+，代入后得出﹣2×（1﹣+﹣+﹣+…+﹣），推出﹣2×（1﹣），求出即可．解答：（1）证明：设方程的两根是α1，β1，则α1+β1=2，α1?β1=﹣a﹣a，∴（α1﹣2）（β1﹣2）=α1β1﹣2（α1+β1）+4=﹣a﹣a﹣2×2+4=﹣a2﹣a，∵a＞0，∴﹣a2﹣a＜0，

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.即这个方程的一根大于2，一根小于2．（2）解：∵α1+β1=2，α1?β1=﹣a﹣a=﹣a（a+1）∵对于a=1，2，3，…，2023，2023时，相应得到的一元二次方程的两根分别为α1和β1，α2和β2，α3和β3，…，α2023和β2023，α2023和β2023，∴=++++++…++++2=+++…+==﹣2×（+++++…++…+﹣））=﹣2×（1﹣+﹣+﹣+…+=﹣2×（1﹣=﹣．）点评：此题考察了根与系数的应用，解（1）小题的关键是看看式子（α1﹣2）（β1﹣2）结果的符号，解（2）小题的关键是找出所求的式子的计算规律，此题题型较好，但有一定的难度．

9．对满足t2+s2=1的一切实数t，s，不等式（m+2）t+2（2s2﹣1）＞t（2s2﹣1）+t2+2m恒成立，求实数m的取值范围．

考点：含字母系数的一元一次不等式．分析：首先由t2+S2=1，可得t2=1﹣s2与﹣1≤t≤1，然后将不等式（m+2）t+2（2s2﹣1）＞t（2s2﹣1）+t2+2m整理805188化简可得：m＜﹣2t2+t+1，利用二次函数的知识，即可求得﹣2t2+t+1的最小值，则问题得解．解答：解：∵t2+S2=1，∴t2=1﹣s2，∵t≤1，∴﹣1≤t≤1，∵（m+2）t+2（2s﹣1）＞t（2s﹣1）+t+2m，∴mt+2t+2（2S2﹣1）＞t（2S2﹣1）+t2+2m，∴mt﹣2m＞（t﹣2）（2s2﹣1）+t2﹣2t，∴m（t﹣2）＞（t﹣2）（2s2﹣1）+t（t﹣2），∵﹣1≤t≤1，∴t﹣2＜0，∴m＜2s2﹣1+t，∵s=1﹣t，∴m＜2﹣2t2+t﹣1，即：m＜﹣2t+t+1，由二次函数得：当t=时，﹣2t2+t+1最大值为，当t=1时，﹣2t2+t+1=0，

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.26．已知

考点：函数最值问题．805188，求y=2x﹣1的最值．

专题：计算题．分析：根据题目中的已知条件可以得到条件告诉的是到两点的距离的和是4的x的值，然后根据求得到x的值求出2x+1的最值即可．解答：解：∵，∴|x+1|+|3﹣x|=4，∴|x+1|+|3﹣x|可表示x轴上一点到（﹣1，0），（3，0）的距离之和，∵点（﹣1，0），（3，0）之间的距离为4，∴|x+1|+|3﹣x|≥4，∵当﹣1≤x≤3时|x+1|+|3﹣x|=4，∴当x=﹣1时，最小值y=﹣3当x=3时，最大值y=5点评：此题考察了函数的最值问题，解决此题的关键是将已知条件转化为点的坐标来解决．

27．设x+y=a，且a＜1，求

考点：函数最值问题．分析：首先将S平方，即可得2﹣（x2+y2）+28051882222

的最大值．

，又由x2+y2≥2xy，可得，则可去根号，得到：2﹣（x2+y2）+2（1﹣xy），即4﹣（x+y）≤2，则可求得S2的最大值，则可得S的最大值．解答：解：∵x2+y2=a2，且a2＜1，∴|x|＜1，|y|＜1，|xy|＜1，∴1﹣xy＞0，∵∴S2=1﹣x2+1﹣y2+2=2﹣（x2+y2）+2≤2﹣（x2+y2）+2=2﹣（x+y）+2（1﹣xy），=4﹣（x+y+2xy），2=4﹣（x+y）≤4．∴S≤2．∴S的最大值为2．点评：此题考察了函数的最值问题．解题的关键是首先将等式两边平方，再利用x2+y2≥2xy去根号．

28．已知：实数a，b，c，满足a+b+c=0，a2+b2+c2=6，求a的最大值．

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.考点：函数最值问题．专题：计算题．805188分析：由已知条件变形后，利用完全平方式将变形后的式子代入得到b、c是某一方程的两个实数根，利用根的判别式得到有关a的不等式后确定a的取值范围．解答：解：∵a+b+c=0，a2+b2+c2=6，∴b+c=﹣a，b2+c2=6﹣a2，∴bc=?（2bc）