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本文格式为Word版,下载可任意编辑——数学建模06春综合练习综合练习
一、填空题
1.设开始时的人口数为x0,时刻t的人口数为x(t),若允许的最大人口数为xm,人口增长率由r(x)?r?sx表示,则人口增长问题的罗捷斯蒂克模型为.
应当填写:
dxx?rx(1?),x(0)?x0?x(t)?dtxmxmx1?(m?1)e?rtx0.
2.在超级市场的收银台有两条队伍可选择,队1有m1个顾客,每人都买了n1件商品,队2有m2个顾客,每人都买了n2件商品,假设每个人付款需p秒,而扫描每件商品需t秒,则参与较快队1的条件是.应当填写:m1(p?n1t)?m2(p?n2t)
3.一次晚会花掉100元用于食品和饮料,其中食品至少要花掉40%,饮料起码要花30元,用f和d列出花在食品和饮料上的费用的数学模型是.应当填写:d?f?100,f/(f?d)?0.4,d?30
4.设某种新产品的社会需求量为无限,开始时的生产量为100件,且设产品生产的增长率控制在0.1,t时刻产品量为x(t),则x(t)=.应当填写:x(t)?100e0.1t
5.设年利率为0.05,则20万元10年后的终值依照复利计算应为.
2110?32.5779(万元)应当填写:2096.一家服装店经营的某种服装平均每天卖出100件,进货一次的批发手续费为200元,存储费用为每件0.01元/天,店主不希望出现缺货现象,则最优进货周期与最优进货量分别为.应当填写:T?20,*Q*?2000
7.一个连通图的最小树是经过该图所有的一个树形图.
应当填写:顶点
8.一质量为m的物体自由下落,在下落过程中除受重力作用之外,还受到空气阻力的作用,若空气阻力与下落速度成正比,则物体下落过程的数学模型是.
应当填写:mdv?mg?kv2dt9.如图1是一个邮路,邮递员从邮局A出发走遍所有长方A
1
形街路后再返回邮局.若每个小长方形街路的边长横向均为1km,纵向均为2km,则他至少要走km.
应当填写:42图1
10.有人观测到鱼尾每摇摆一次,鱼所移动的距离几乎与鱼身的长度相等,则鱼尾摇摆的次数T(次/秒)、鱼身的长度L和它的速度V的关系式为.应当填写:V?kTL(k是常数)
二、分析判断题1.考虑在一片面积为定数的草地上进行牛的养殖问题.为了获得最大经济效益,指出建立该问题数学模型应当考虑的相关因素至少5个.
解:饲料来源、公羊与母羊的比例、饲料冬储、繁殖问题、羊的养殖年限、出售时机、羊制品及其深加工等.
2.我们时常看到教学楼内、食堂和宿舍楼内的长流水现象,这自然是极大的浪费.为了建设俭约型学校,需要你对节水问题给予解决.那么你将考虑哪些相关因素?试至少给出5个.
解:(1)更换自来水龙头及其费用、俭约下来的水量费两个因素,两者的比较可用于确定建模目标;
(2)数据调查:学校平均每个月的用水量,食堂的用水量、卫生间用水量、宿舍用水限量的、定时定量供水的可行性调查:临时申请用水问题等因素.
3.地方公安部门想知道,当紧急事故发生时,人群从一个建筑物中撤离所需要的时间,假设有足够的安全通道.若指挥者想尽可能多且快地将人群撤离,应制定甚麽样的疏散计划.请就这个计划指出至少三个相关因素,并使用数学符号表示.
解:撤离时人员的分布状态S、人员总数N、撤离速度v、人们之间相对拥挤程度r、人员所在地与安全地点的距离L、人员撤离完毕所需要的总时间t等.
4.一起交通事故发生3个小时后,警方测得司机血液中酒精的含量是
56/100(mg/ml),又过两个小时,含量降为40/100(mg/ml),试判断,当事故发生时,司
机是否违反了酒精含量的规定(不超过80/100(mg/ml).
(提醒:不妨设开始时刻为t?0,C(t)表示t时刻血液中酒精的浓度,则依平衡原理,在时间间隔[t,t??t]内酒精浓度的改变量为
C(t??t)?C(t)??kC(t)?t
其中k?0为比例常数,负号则表示了浓度随时间的推移是递减的.)
解:设C(t)为t时刻血液中酒精的浓度,则浓度递减率的模型应为
C/??kC,
其通解是C(t)?C(0)e?kt,而C(0)就是所求量.
由题设可知C(3)?56,C(5)?40,故有
2C(0)e?3k?56和C(0)e?5k?40,由此解得
e2k?56/40?k?0.17?C(0)?56e3k?94.
可见在事故发生时,司机血液中酒精的浓度已经超出了规定.5.某城市自来水的水源地为A、B、C三个水库,分别由地下管道把水运往该市所辖甲、乙、丙、丁四个地区,惟一的例外是C水库与丁区之间没有地下管道.自来水公司对各区的引水管理费见表1.其中“最低需求〞行数字表示必需保证的用水量,而“最高需求〞行中数字表示,除乙区外,其它三个区向公司申请额外再分给的用水量:甲区20,丙区30,丁区要求越多越好.本问题可否转化为运输模型?若可以则转化之(只需写出其产销平衡运价表即可),否则说明理由.
表1
区引水管理费(元/千吨)水库甲乙丙丁供水量(千吨/天)ABC最低需求(千吨/天)最多需求(千吨/天)1613221714131915192023—3070010507030不限506050
解:可以转化为运输模型,具体做法如下:
首先确定总的供求量.总产量显然为160吨;总需求量中,地区丁的需求量在保证其他地区最低需求条件下,最多是60吨.因此,总需求量按最高需求应为210吨,因而可视问题为供小于求的运输问题.
其次,为产销平衡,虚设一个水库D,其产量为50吨
再次,为确定需求量,将有最低需求与额外需求量的地区分别视为两个子区,并确定各自需求量,注意最低需求量不能由虚设水库供给,从而可设其引水费M(M是一个充分大的正数).
综合上述探讨得产销平衡运价表如下:
表2单位:元/千吨地区引水费水库ABCD(虚)销量
3
甲1甲2乙丙丁1丁216161322171714141319151519192023MMM0M0M0302070301050产量506050506.某种疾病每年新发生1000例,患者中有一半当年可治愈.若2000年底时有1200个病人,到2023年将会出现什么结果?有人说,无论多少年过去,患者人数只是趋向2000人,但不会达到2000人,试判断这个说法的正确性.
解:根据题意可知:下一年病人数=当年患者数的一半+新患者.
于是令Xn为从2000年起计算的n年后患者的人数,可得到递推关系模型:
Xn?1?0.5Xn?1000
得递推公式
Xn?11X?2000(1?).0nn22由X0?1200,可以算出2023年时的患者数X5?1975人.
由递推公式简单看出,Xn是单调递增的正值数列,且Xn?2000,故结论正确.7.据绘画大师达芬奇的说法,在人体躯干与身高的比例上,肚脐是理想的黄金分割点.也
就是说,这个比值越接近0.618,就越给人以一种美的感觉.很惋惜,一般人的躯干(由脚底至肚脐的长度)与身高比都低于此数值,大约只有0.58—0.60左右.
设躯干长为x,身高为l,一位女士的身高为1.60(m),其躯干与身高之比x:l?0.60,若其所穿的高跟鞋高度为(单位与x,l一致),那么,她该穿多高的高跟鞋(d=?)才能产生最美的效应值.
x?d0.6l?d?.l?dl?d0.6l?d?0.618,令
l?d解:穿高跟鞋后新的比值应为由此可知d?7.54(cm).
8.唐代大诗人王之涣有一首著名诗篇:白日依山尽,黄河入海流,欲穷千里目,更上一层楼.按诗人的想象,要看到千里之外的景物,要站在多高的“一层楼〞上呢?
解:以地球中心为原点,向上方向为纵轴建立直角坐标系.从地球表面算起,设应站高度为x,那么根据题设,该点到地球表面的切线长应为500(km).
则依据题意,并利用勾股定理有
(x?6370)2?63702?5002,
解得x?20(km).也可以利用切割线定理求出.
三、计算题
1.如图2是某村镇9个自然屯(用v1,?,v9表示)间可架设有线电视线路的最短距离
4
示意图,边旁数字为距离(单位:km).若每km的架设费用是定数20元/m,试协助有线电视网络公司设计一个既使得各村屯都能看到有线电视又使架设费用最低的路线,并求出最小架设费用.v211v7
5
362
v855v1v3v9
42347
v4v66v84
图2
解:由题意可知,只需求出该网络图的最小树即可.利用破圈法简单得树形图(图3):
图3故得架设路线为:
4v75v4v63v52v9v13
424
v2v8v3
总架线长度为27km,故总架设费用为27?1000?20?54(万元)2.某运输公司要将某种物资从总站A运往终点站D,可以选择经过6个中间站B1,B2,B3、从A到B1,B2,B3的路长依次为3、8、7(km);从B1到C1,C2的路长为4、3(km);C1,C2,C3,
从B2到C1,C2,C3的路长为2、8、4(km);从B3到C2
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