流体力学静力学

流体力学静力学第1页，共47页，2023年，2月20日，星期日2.1流体静压强及特性1）方向总是和作用面垂直，并指向作用面a静止理想流体没有切向力；b几乎不能承受拉力。2）任意点压强大小与所取作用面方位无关第2页，共47页，2023年，2月20日，星期日2.2欧拉静平衡方程一、Euler静平衡方程1、取控制体：中心c（x，y，z）;边长dx，dy，dz；压强P2、受力分析：1）质量力2）表面力设C点（x,y,z）压强PY向：左：右：左：右：同理可得其他方向受力并写成合力：第3页，共47页，2023年，2月20日，星期日展开化简压强梯度gradP或微元体总的受力：第4页，共47页，2023年，2月20日，星期日由牛顿第二定律，a=0则即为便于应用，写成标量方程欧拉静平衡方程二、势函数及其物理意义将上式分别乘以dx,dy,dz后相加全微分dp若ρ=C，则左边也为某函数全微分第5页，共47页，2023年，2月20日，星期日设u(x,y,z)为此函数，则：XYZU函数的物理意义：单位质量流体势能A点流体移动dl(dx,dy,dz)，质量力做功为：三、等压面1、质量力垂直于等压面；dp=0而dp=ρ(Xdx+Ydy+Zdz)=0，即质量力做功为02、等压面即为等势面dp=0=ρdu=03、密度不同且不相混液体平衡时，分界面为等压面R.dl=Xdx+Ydy+Zdz恰为u函数增量，反映了势能或位能的变化量第6页，共47页，2023年，2月20日，星期日2.3重力作用下流体内部的压强一、均匀流体X=0Y=0Z=-g代入Euler静平衡方程dp=-ρgdz积分P=-ρgz+CH-Z讨论：1）重力作用下，p与h线性关系2）重力作用下，静止流体等压面即为水平面3）P由p0和ρgh两部分组成等压面方程：h=C第7页，共47页，2023年，2月20日，星期日二、国际标准大气压强基准完全真空绝对压强表压强大气压强真空度第8页，共47页，2023年，2月20日，星期日静止大气的压强分布国际标准大气压OZ对流层的温度分布：（0～11000m）取海平面为基准面:z=0,T0=288.16K,p0=101325N/m20=1.225kg/m3同温层的温度分布:（11000～24000m）T=216.7K第9页，共47页，2023年，2月20日，星期日同温层的压强分布:（11000～24000m）11km处:T1=216.5K则有在11km处,z1=11000m,T1=216.5K,p1=0.2231p0对流层的压强分布：（0～11000m）第10页，共47页，2023年，2月20日，星期日例2-5飞机在大气对流层中飞行,地面大气压强p0=100kpa,温度为250C,若飞机上的气压计数为6.8104pa

求:飞机所在高度解:对流层大气压强分布为第11页，共47页，2023年，2月20日，星期日2.4流体静压强测量一、单管测压计二、U形管测压计Paρ1ph1h212ρ2p1=p+ρ1gh1p2=pa+ρ2gh2所以p+ρ1gh1=pa+ρ2gh2压强较小且不易挥发液体第12页，共47页，2023年，2月20日，星期日三、U形管差压计四、微压计五、补偿式微压计第13页，共47页，2023年，2月20日，星期日2.5均质液体相对平衡当液体以等加速度a作直线运动或以等角速度（向心加速度 )旋转并达到稳定时，液内象刚体一样运动，称为液体的相对平衡。

一、等加速直线运动设液体以等加速度a沿水平方向作直线运动

质量力分量f

x=-a,

fy=0,fz

=-g

压强全微分式积分并代入边界条件：x=0，z=0，p=p0得C=p0代入压强全微分式：第14页，共47页，2023年，2月20日，星期日等加速直线运动压强分布式说明液内压强在x、z方向均为线性分布。说明压强分布与静止液体中一样。等压面为一簇与自由液面平行的斜平面，处处与体积力合力垂直3.等压面方程ax+gz=CP=常数，即dp=0代入压强全微分式Z0自由液面Z坐标第15页，共47页，2023年，2月20日，星期日[例1.1]匀加速直线运动液体的相对平衡

已知:用汽车搬运一玻璃缸。缸长×宽×高=l×b×h=0.6×0.3×0.5m3，静止时缸内水位高d=0.4m。设鱼缸沿汽车前进方向纵向放置。求:(1)为不让水溢出，应控制的汽车最大加速度am；

(2)若鱼缸横向放置时的最大加速度am'。

解：建立坐标系oxz如图示。设鱼缸加速度为a，质量力分量为等压面方程为fx=-a，fz=-g

ax+gz=c

液面中点的坐标为（0,d），c=gd

。液面方程为

ax+gz=gd

第16页，共47页，2023年，2月20日，星期日[例11]匀加速直线运动液体的相对平衡

加速度表达式为

(2)当鱼缸横向放置时，与后壁最高液位（-b/2,h）相应的加速度为(1)当鱼缸纵向放置时，与后壁最高液位（-l/2,h）相应的加速度为

可见，鱼缸横向放置水不易溢出。

第17页，共47页，2023年，2月20日，星期日设液体以等角速度ω绕中心轴z轴旋转质量力分量

压强分布式二、等角速度旋转运动压强全微分式说明液内压强在z方向为线性分布，在r方向为二次曲线分布。fx=2rcos=2xfy=2rsin=2yfz=-g第18页，共47页，2023年，2月20日，星期日C1.4.2等角速度旋转运动等压面代入压强分布式，令h=zs-z

，可得

由积分得

证明在垂直方向的压强分布规律仍与静止液体中一样。

c不同值时得一簇旋转抛物面。自由液面上c=0。设自由液面垂直坐标为ｚs，方程为第19页，共47页，2023年，2月20日，星期日汽车与飞机绕流：复杂物面的压强分布第20页，共47页，2023年，2月20日，星期日例1图所示为盛满液体的容器顶盖中心处开口，当容器以等角速度绕垂直轴z旋转时，液体借离心力向外甩，但是受顶盖限制，液面不能形成抛物面，分析液体内各点的压强分布。z0RBpa常数C，可利用r=0，z=0，p=pa确定，即C=pa。故故作用于顶盖上（z=0）各点的压力仍按抛物面分布，如图箭头所示，边缘B处第21页，共47页，2023年，2月20日，星期日边缘B处（r=R，z=0）压力最大为（表压）:0RBpaz

可知越大，则边缘处压力越大，离心铸造就是依据此原理，即通过离心铸造机的高速旋转而增大铸模外缘处液态金属的压力，从而得到较密实的铸件。

第22页，共47页，2023年，2月20日，星期日利用r=R，z=0时，p=pa，以确定常数C,0RBpazDC

A例2如图所示，盛满液体的容器顶盖边缘处开口，当其旋转时，液体借离心惯性力而向外甩，但当液体刚要甩出容器时，在容器内部即产生真空，紧紧吸住液体，以致液体跑不出去。分析流体内各点的压强分布。故作用于顶盖上（z=0）各点压力仍按抛物面分布，如图箭头所示，0点处（r=0,z=0）的真空为

第23页，共47页，2023年，2月20日，星期日[例C1.4.2]匀角速度旋转运动液体的相对平衡

(1)当边缘水位刚达顶部时，由自由面方程式

已知:一封闭圆筒，高H=2m，半径R=0.5m，注水高H0=1.5m，压强为 p0=1000N/m2。圆筒开始旋转并逐渐加速

求:(1）当水面刚接触圆筒顶部时的ω1、；(2)当气体刚接触圆筒底部的ω22。

解：建立坐标系oxyz,原点o在底部中心，静止时z0=H0。第24页，共47页，2023年，2月20日，星期日[例C1.4.2]匀角速度旋转运动液体的相对平衡

(2)当气体接触圆筒底部时，设顶部液面线的半径为r2，由空气容积不变

取r=0.5m,zs=2

m,z0=1

m在自由面方程中z0=0，zs=2m，r=0.354

m

第25页，共47页，2023年，2月20日，星期日2.6液体对平壁的总压力工程背景：压力容器，水坝，潜艇，活塞等；结构强度，安全性能，运动规律计算等。条件：均质流体，体积力为重力。图示斜平壁和坐标系oxy,o点在自由液面上，y轴沿斜平壁向下。在面积A上取面元dA，纵坐标y，淹深为一、平壁总压力大小第26页，共47页，2023年，2月20日，星期日作用在dA和A上的总压力在几何上面积A对x

轴的面积矩

pc为形心的压强:表明作用在面积A上的总压力大小等于形心压强乘以面积。yc为面积A形心的纵坐标,形心的淹深。第27页，共47页，2023年，2月20日，星期日第28页，共47页，2023年，2月20日，星期日如图所示求：1）作用在水箱底面的力；2）作用在侧面AB的力；3）解释水的总重与结果1）有差别的原因解：1）2）3）第29页，共47页，2023年，2月20日，星期日用力矩合成法二、

平壁总压力作用点

Jx为面积对x轴惯性矩。根据平行移轴定理同理对y轴利用合力矩定理平面惯性积第30页，共47页，2023年，2月20日，星期日xycydybhxyyxrcy=rsindy=rcosdx=rcos第31页，共47页，2023年，2月20日，星期日截面几何图形面积A形心yc惯性距Jcx

bh

第32页，共47页，2023年，2月20日，星期日例：2－7第33页，共47页，2023年，2月20日，星期日第34页，共47页，2023年，2月20日，星期日1.25mooccDD=80ohchDP例：圆形闸门,直径d=1.25m,=800，可绕通过C的水平轴旋转。求(1)作用在闸门上的转矩与闸门在水下的深度无关。解:转矩M=F·DC=F·(hD-hc)/sin总压力F=ghc(D2/4)yD=yc+Jcx/(ycA)两边同乘以sin则有hD=hc+(Jcx/hcA)sin2hD－hc=(Jcx/hcA)sin2M=ghc(D2/4)(Jcxsin/hcA)M=gJcxsin=gsin(D4/64)故M与淹深无关。将所给数据代入,有M=10009.8sin800(1.254/64)=1174(N·m)第35页，共47页，2023年，2月20日，星期日已知:封闭油柜侧壁上有一圆形封盖,d

=0.8m

h=1.2m,ρ=800kg/m3.

求:p0分别为(1)

5kPa;(2)2kPa时总压力F和偏心距e。解：(1)

当p01=5kPa时，在封盖中心的压强为

pc1=p01+ρgh=5+0.8×9.81×1.2=5+9.42=14.42(kPa)o1点位于油面上方p01/ρ处

hc1=0.5lsin30°=l/4=1m

第36页，共47页，2023年，2月20日，星期日[例C1.5.2A]圆形平壁总压力o2点位于油面上方|p02|

/ρ处

(2)当p02

=-2

kPa时

pc2=p02+ρgh=-2+9.42=7.42

(kPa)F2=pc2A=7.42×0.503=3.73

(kPa)圆板rξ2=d2/16=0.82/16=0.04m2，偏心距为

第37页，共47页，2023年，2月20日，星期日2.7液体对曲壁的总压力二维曲壁的母线垂直某一坐标面归结为求端线ab(单位宽度)上的压强合力。分为水平分力和垂直分力。工程应用中以二维曲壁为主。ABCO三维曲壁有三个投影面，三个投影面上的三个分力不一定共点，可化为一个合力，一个力偶，应用较少。第38页，共47页，2023年，2月20日，星期日水平分力曲壁ab沿水平方向的投影面积为Ax，沿垂直方向的投影面积为Az。一、二维曲壁dFx

dFzdF

合力水平分力等于曲面在该方向投影面积与该面积几何中心压强的乘积第39页，共47页，2023年，2月20日，星期日2、垂直分力压力体合力垂直分力等于自由液面压强与曲面Z向投影面积的乘积及曲面上方压力体内液体重量之和。总压力作用点:过Fx和Fz作用线的交点与曲面的交点就是总压力在曲面上的作用点。第40页，共47页，2023年，2月20日，星期日压力体压力体的虚实取决于大气压液面与壁面的相对位置，一种判别方法为当液体与压力体位于曲壁同侧，压力体为正(方向向下）当液体与压力体位于曲壁异侧，压力体为负(方向向上）曲壁与自由液面之间的垂直空间的容积。当压力体内无水时称为虚压力体例2－8、2－9第41页，共47页，2023年，2月20日，星期日pzxzr0ahbcpx例弧形闸门,宽B=5m,=450,r=2m,转轴与水平面平齐求:水对闸门轴的压力；在a点将闸门提起需施加多大力（忽略闸门重力）。解:h=rsin=2sin(450)=1.414m压力体abc的底面积Aabc=r2(45/360)-h/2(rcos450)=0.57m2

Px=ghhB/2=0.5gh2B=0.59.810001.41425=48.99(kN)第42页，共47页，2023年，2月20日，星期日Pz=g=gBAabc=10009.850.57=27.93(kN)作用点水下深度hD=rsin=1.0mpzxzr0