2022-2023学年高一下学期期中考试数学模拟试题及参考答案

-2023学年高一下学期期中考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．给出下列判断，其中正确的是（）A.三点确定唯一一个平面B.空间中两两相交的三条直线在同一个平面内C.过直线外一点有且仅有一条直线与该直线平行D.过直线外一点有且仅有一条直线与该直线垂直2．若复数对应复平面内的点，且，则复数的虚部为（）A. B. C. D.3．在中，，，的面积为，则为（）A. B. C. D.4．在△中，为边上的中线，为的中点，则（）A. B.C. D.5．已知圆锥底面半径为，高为，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（）A. B. C. D.6．在中，，，，D，E分别是边上的三等分点，则的值是（）A6 B. C.8 D.7．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的面积为（）A.4 B. C.2 D.8．如图，直三棱柱的底面为直角三角形，，，，P是上一动点，则的最小值为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．在复平面内有一个平行四边形，点为坐标原点，点对应的复数为，点对应的复数为，点对应的复数为，则下列结论正确的是（）A.点位于虚轴上 B.C. D.10．若的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论中正确的是（）A.若，则B.若，则为直角三角形C.若，则为等腰三角形D.若，则为直角三角形11．已知正方体的边长为2，点在棱上，，点在棱上（点异于，两点），若平面截正方体所得的截面为五边形，则长的取值可能为（）A.1 B. C. D.12．如图，设，且，当时，定义平面坐标系为的斜坐标系，在的斜坐标系中，任意一点的斜坐标这样定义：设，是分别与轴，轴正方向相同的单位向量，若，记，则下列结论中正确的是（）A.设，，若，则，B.设，则C.设，，若，则D.设，，若与的夹角为，则三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知，复平面内表示复数的点所对应的数为纯虚数，则_____________．14.在中，点满足，若，则_________15.轴截面是等边三角形的圆锥，即底面圆直径与母线相等的圆锥叫做等边圆锥(Equilateralcone)，它外观看着舒适，且具有稳定的性质，生活中应用广泛，例如冰激凌、沙漏等呈等边圆锥状．已知一等边圆锥的底面圆直径为6，在该圆锥内放置一个棱长为的正四面体，且正四面体在该圆锥内可以任意转动，则的最大值为________________．16．如图所示，在等腰直角中，，O为中点，E，F分别是线段，上的动点，且．当时，则的值为______；的最大值为______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．设是虚数，是实数，且．（1）求的值；（2）求的实部的取值范围．18．在中，内角A，B，C对边分别为a，b，c．若，且．（1）求角A的大小；（2）若，求的面积．19．如图，在直三棱柱中，底面是正三角形，，边上的中点为D．（1）求四棱锥的体积；（2）求三棱柱截去三棱锥后所得几何体的表面积．20．在①，其中为角的平分线的长（与交于点），②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.在中，内角，，的对边分别为，，，___________.（1）求角的大小；（2）求的取值范围.21．如图是由两个有一个公共边的正六边形构成的平面图形，其中正六边形边长为2.（1）设，求的值；（2）若点在边上运动（包括端点），则求的最大值.22．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．（1）若为锐角三角形，且，求a的取值范围；（2）若点D在边上，且，，求面积的最大值．答案解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．给出下列判断，其中正确的是（）A.三点确定唯一一个平面B.空间中两两相交的三条直线在同一个平面内C.过直线外一点有且仅有一条直线与该直线平行D.过直线外一点有且仅有一条直线与该直线垂直【答案】C【解析】A，过不在一条直线上的三点才可确定唯一一个平面，故A错误；B，空间两两相交的三条直线可能交于同一个点，此时这三条直线不一定在同一个平面内，故B错误；C，根据平面的性质，过直线外一点和该直线有且仅有一个平面，在该平面内作和已知直线平行的直线是唯一的，故C正确；D，过直线外一点有无数条直线与该直线垂直，故D错误，故选：C2．若复数对应复平面内的点，且，则复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】依题意，，故，故复数的虚部为，故选:B．3．在中，，，的面积为，则为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】在中，因为，，的面积为，所以，所以，因为，所以，所以.故选：B.4．在△中，为边上的中线，为的中点，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】根据向量的运算法则，可得，所以，故选:A.5．已知圆锥底面半径为，高为，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设圆柱的底面半径为，圆柱的高为，所以在轴截面三角形中，如图所示：由相似可得，，所以，，即圆柱的全面积为，当且仅当时取等号．故选：B．6．在中，，，，D，E分别是边上的三等分点，则的值是（）A6 B. C.8 D.【答案】B【解析】因为D，E分别是边上的三等分点，不妨设，，所以，由可得，，即，同理可得，，所以．故选：B．7．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的面积为（）A.4 B. C.2 D.【答案】D【解析】因为，，，所以，由余弦定理得：，解得，所以，所以的面积为故选：D8．如图，直三棱柱的底面为直角三角形，，，，P是上一动点，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】连接，将与同时展平形成一个四边形，如图，则此时对角线达到最小，在等腰直角三角形中，，，在中，，，，所以，即，对于展开形成的四边形，在中，，，，由余弦定理有．故选：A．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．在复平面内有一个平行四边形，点为坐标原点，点对应的复数为，点对应的复数为，点对应的复数为，则下列结论正确的是（）A.点位于虚轴上 B.C. D.【答案】ABC【解析】对于A选项，由复数的几何意义可知点、，因为，则，则点对应的复数为，所以点在虚轴上，A对；对于B选项，由A选项可知，则，B对；对于C选项，，，所以，，C对；对于D选项，，D错.故选：ABC.10．若的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论中正确的是（）A.若，则B.若，则为直角三角形C.若，则为等腰三角形D.若，则为直角三角形【答案】ABD【解析】在中，正弦定理，对于A，，A正确；对于B，由射影定理得，又，即，而，则，，为直角三角形，B正确；对于C，由正弦定理可得，即，而，则有或，即或，为等腰三角形或直角三角形，C不正确；对于D，，由射影定理得，即，而，则，，为直角三角形，D正确.故选：ABD11．已知正方体的边长为2，点在棱上，，点在棱上（点异于，两点），若平面截正方体所得的截面为五边形，则长的取值可能为（）A.1 B. C. D.【答案】BC【解析】因为，所以，当时（如图1），，故平面截正方体所得的截面为四边形，当时（如图2），过点作的平行线交于，此时平面截正方体所得的截面为四边形，当时，过点作的平行线交的延长线于，交于点，连接交于点，此时平面截正方体所得的截面为五边形，综上所述，平面截正方体所得的截面为五边形时，的范围为.故选：BC.12．如图，设，且，当时，定义平面坐标系为的斜坐标系，在的斜坐标系中，任意一点的斜坐标这样定义：设，是分别与轴，轴正方向相同的单位向量，若，记，则下列结论中正确的是（）A.设，，若，则，B.设，则C.设，，若，则D.设，，若与的夹角为，则【答案】AC【解析】，对于A：即，则，A正确；对于B：即B错误；对于C：若，当即时，显然满足：；当即或时，则，使得，即则可得，消去得：；C正确；对于D：结合可A、B知：若，则，，根据题意得：即，可得：即D不正确；故选：AC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知，复平面内表示复数的点所对应的数为纯虚数，则_____________．【答案】6【解析】复数对应点的坐标为，若点在虚轴上，则，解得．故答案：6.14.在中，点满足，若，则_________【答案】【解析】因为，，所以，，所以，所以，所以，故答案为：.15.轴截面是等边三角形的圆锥，即底面圆直径与母线相等的圆锥叫做等边圆锥(Equilateralcone)，它外观看着舒适，且具有稳定的性质，生活中应用广泛，例如冰激凌、沙漏等呈等边圆锥状．已知一等边圆锥的底面圆直径为6，在该圆锥内放置一个棱长为的正四面体，且正四面体在该圆锥内可以任意转动，则的最大值为________________．【答案】【解析】设为该等边圆锥的底面圆心，则其的高为则该等边圆锥的内切球的圆心在等边圆锥的高上，设为,设半径为设该等边圆锥内切球与等边圆锥的母线相切与点,连接则在直角中，,则解得由题意正四面体在该圆锥内可以任意转动，当最大值时，正四面体为该球的内接正四面体.将该球的内接正四面体补成正方体，则该正方体的外接球也是该球.设正方体的棱长为，则正方体的对角线长等于球的直径，即所以，则该正四面体的棱长为正方体的面对角线，即该正四面体的棱长为故答案为：16．如图所示，在等腰直角中，，O为中点，E，F分别是线段，上的动点，且．当时，则的值为______；的最大值为______．【答案】①.；②.##【解析】（1）因为是等腰直角三角形，又，所以，所以.因为，所以,在△中，由正弦定理得,在△中，由余弦定理得.（2）设所以,在△中，由正弦定理得.同理.所以，因为，所以当即时，取最小值.所以,所以的最大值为.故答案为：；.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．设是虚数，是实数，且．（1）求的值；（2）求的实部的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）设，则∵z2是实数，且，∴，得，∴.(2)由(1)知，则，即，∴z1的实部取值范围为.18．在中，内角A，B，C对边分别为a，b，c．若，且．（1）求角A的大小；（2）若，求的面积．【答案】（1）（2）【解析】（1）由及正弦定理，得，整理得，所以由余弦定理得.又，所以.（2）设外接圆半径为R，由，，，，可得，所以，所以，所以.由正弦定理，得，则.因为，所以，所以，所以是以B为直角的直角三角形，所以的面积为.19．如图，在直三棱柱中，底面是正三角形，，边上的中点为D．（1）求四棱锥的体积；（2）求三棱柱截去三棱锥后所得几何体的表面积．【答案】（1）（2）【解析】（1）设边上的中点为E．连接，又面面,面面，则平面，即为四棱锥的高，．所以四棱锥的体积．（2）由题意得，，，从而，所以，所以，所以所以三棱柱截去三棱锥后所得几何体的表面积为．20．在①，其中为角的平分线的长（与交于点），②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.在中，内角，，的对边分别为，，，___________.（1）求角的大小；（2）求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）方案一：选条件①，由题意可得，.为的平分线，，，即又，，即，，方案二：选条件②由已知结合正弦定理得，由余弦定理得方案三：选条件③由正弦定理得，又，，，易知，；（2），又，，所以.21．如图是由两个有一个公共边的正六边形构成的平面图形，其中正六边形边长为2.（1）设，求的值；（2）若点在边上运动（包括端点），则求的最大值.【答案】（1）-3（2）12【解析】（1）由题意得：两个正六边形全等，,则,故由，可得；（2）如图，以O为坐标原点，