谐振腔谐振频率及几何尺寸的探讨

摘要谐振腔腔壁由导体组成，是产生高频振荡的有效工具；是比LC回路运用更广的振荡元件；本文对真空中谐振腔与谐振频率的关系做了详细的讨论；当谐振腔中有介质存在时，对谐振频率的影响也做了详细的推导，并对不同性质的介质对谐振频率的影响做了分类讨论，最后将不同情况下得出的谐振频率的结论加以总结，从而得出谐振腔谐振频率不受谐振腔尺寸限制的结论，对传统理论有了进一步的发展；为探索和设计新颖的谐振腔提供理论依据。为设计合理的谐振腔提供现实的理论价值。关键词：谐振腔；谐振频率；左手介质；右手介质；几何尺寸AbstractResonatorisposedbyconductorschamberwall,Itistheeffectivetoolsproducehigh-frequencyoscillatory,ThanLCcircuitisusedmorewidelyoscillationponent;Foravacuumresonatorandtheresonantfrequencyofrelationshipdiscussedindetail;Whenresonator,havemediahaveresonancefrequencyeffecttodoadetailedderivation,andthedifferentnatureofthemediaontheresonancefrequencyeffectofclassification,finallydiscussedthedifferentcasesobtainedtheconclusionsummarizedtheresonantfrequency,soastoobtaintheresonancefrequencyfromresonatorresonatorsizerestrictionsontraditionaltheory,theconclusionhasbeenfurtherdevelopment;Forexplorationandnoveldesignprovidesthetheorybasisfortheresonator.Todesignthereasonableresonatorproviderealistictheoreticalvalue.Keywords:Resonantcavity；Theresonantfrequency；Left-handedmedium;Therighthandmedium;Geometrydimension摘要IAbstract!1绪论91.1问题的提出91.2论文研究背景与意义92真空谐振腔的谐振频率与几何尺寸102.1一定频率下电磁波基本方程102.2谐振腔的截止频率133谐振腔填充介质后的谐振频率163.1填充普通介质（右手介质）73.1.1填充普通介质时的基本方程163.1.2填充普通介质时谐振频率的变化193.2填充特殊介质（左手介质）203.2.1左手介质简介203.2.2左手介质存在的可能213.2.3填充左手介质时谐振频率的变化22结论23参考文献24致错误!未定义书签。1绪论1.1问题的提出在实际当中运用的电磁波是用具有特定频率的线路或元件激发的，低频无线电波采用LC回路产生振荡。在LC回路中，集中分布于电容部的电场和集中分布于电感线圈部的磁场交替激发，它的振荡频率f=1*.宜,如果要提高谐振频率，必须减小1成C的值。频率提高到一定限度后，具有很小的1和6值的电容和电感不能再使电场和磁场集中分布于它们的部，这时向外辐射的损耗会随频率的提高而增大。因此，LC回路不能有效的产生高频振荡。在微波围，通常采用谐振腔来产生高频振荡。谐振腔是腔壁由导体组成的它是产生高频振荡的有效工具，微波谐振腔的用途很广。从电路的角度来讲，它具备LC谐振单元具备的一切性质，比如选模等，使得它在滤波器、匹配电路甚至天线的设计里有广泛应用。但显然它部场分布更为复杂，对于特定结构的谐振腔体，具备特有的谐振模式和谐振频率，这使得它在振荡器的设计中显得至关重要。另外，在很多电真空器件中，将慢波在构安置在谐振腔中，使得电子与多加电场作用，从而产生特定频率信号的辐射。当然，很多寄生谐振也是由于谐振腔产生的结果，实际电路设计中应尽量避免。息之，谐振现象在微波电路中广泛存在，无论是从电路的角度还是从场的角度，只要涉及到谐振的概念，谐振腔就扮演着重要的角色。因而对它的研究有很高的应用价值。但其谐振频率受其尺寸的限制。因此，本文重点来研究谐振腔谐振频率与几何尺寸的关系。1.2论文研究背景与意义由于近几年电磁波的广泛应用，电磁波的研究已经弓1起广泛关注。但是，关于电磁波的谐振腔谐振频率与谐振腔尺寸的关系并未受到重视。对于二者是否相互相关，我们并不是很清楚，对于谐振腔谐振频率与几何尺寸与其关系更没有系统和清楚的认识。电动力学及电磁场理论和电磁波与微波技术等的一些容对这些问题有一定的研究，多数都为一些简单的最常见的谐振腔的研究而且其容大致都是谐振腔的频率，品质因素，耗散功率等的研究，并没有对谐振腔谐振频率与几何尺寸进行研究和讨论。况且，在实际当中运用的电磁波是用具有特定频率的线路或元件激发的，低频无线电波采用LC回路产生振荡。在LC回路中，集中分布于电容部的电场和集中分布于电感线圈部的磁场交替激发，

它的振荡频率f=1*冒，如果要提高谐振频率，必须减小1成6的值。频率提高到一定限度后，具有很小的L和C值的电容和电感不能再使电场和磁场集中分布于它们的部，这时向外辐射的损耗会随频率的提高而增大。因此，LC回路不能有效的产生高频振荡。谐振腔既可以实现LC达到的效果，也可以产生理想的高频电磁波，在实际应用当中也很广泛，因而对它的研究有很高的应用价值，但其谐振频率受其尺寸的限制；因此，我想通过本文的研究为探索和设计新颖的谐振腔提供现实的可能，为设计合理的谐振腔提供理论价值。2真空谐振腔的谐振频率与几何尺寸谐振腔是产生电磁波的主要元件，最常见的就是真空谐振腔；真空谐振腔虽然最为常见，实际运用也最广；但是，谐振腔产生电磁波的频率受其自身大水的影响。因此，下面我将从麦克斯韦方程出发推导出真空谐振腔谐振频率与几何尺寸的关系。2.1一定频率下电磁波基本方程考虑矩形谐振腔且腔为真空（p=K；£=%；b=。），又腔壁为理想导体；所以，我们利用理想导体的边界条件和麦克斯韦方程以及在直角坐标系下的亥姆霍兹方程的解法即可得到在真空情况下的关系：由麦克斯韦方程；——二2BV——二2BVxE=--dt——VxH=竺dt—>V-D=0—V-B=0(2.1.1)(2.1.2)(2.1.3)(2.1.4)在真空中时有，D°=&°E0,B=|i°H顶取（2.1.1）式的旋度有:—LL8L—82E(2.1.5)Vx(VxE)=-—VxB=-七8°—(2.1.5)由（2.1.3）式可知；V・E=0；则（2.1.5）式的左边由矢量分析公式得：(2.1.6)VxGxE)=vG・E)-v2E=-v2E(2.1.6)将（2.1.6）式代入（2.1.5）式得；——82E_._V2E-p°8°百-=0（2.1.7）同样在利用（2.1.2）、（2.1.4）式可以得到磁场的方用:—2B-p°8°告=°（2.1.8）令1c=「^（2.1.9）叫80则（2.1.7）、（2.1.8）方用可写为——2E--L牙=0（2.1.10）—V2B-—况=0（2.1.11）c28t2以上两式（2.1.10）（2.1.11）式电磁波在空间中的传播波动方用；该方用的解为波动形式的。因此，B,E可写成方用：

(2.1.12)(2.1.13)——B(x,t)=B(x)est(2.1.12)(2.1.13)另一方面，在真空时我们将(2.1.12).(2.1.13)式代入麦克斯韦方程组，消去共同因子e*即可以得如下方程：——BB-VxE0=-亏=i%%H0(2.1.14)—3D—VxH0=*=-i气e0E0(2.1.15)VE0=0(2.1.16)V.B0=0(2.1.17)需要注意的是以上方程并不是相互独立的，我们取(2.1.14)式，并两边同时取旋度则有;展开得；VxtxE0)=s《％e0E0,这式子左边Vx〈7xE°)=V〈7.E0)-V2E0=-V2E0两边相等即得：展开得；(2.1.18)(2.1.19)(2.1.18)式称为亥姆霍兹(Helmholtz)方程，其中该方程得解必须满足(2.1.16)式；这里需要注意的是E的下脚标表示不含时间变量的电场强度。2.2谐振腔的截止频率我们现在所要研究的谐振腔腔壁是以理想导体做成的，因此，在边界上满足理想导体边界条件；对于电场而言，电场在理想导体边界面上的法向分量是连续的；切向分量是不连续的；磁场法向分量是不连续的，切向分量是连续的。因此有：exE=0(2.2.1)exH=oT(2.2.2)e•D=a(2.2.3)e•B=0(2.2.4)现在将(2.1.18)式在直角坐标系下分解并令uG,y,z)为E的任意直角分量，有V2u+k2u=0(2.2.5)0用分离变量法，令u(x,y,z)=X(x»(y)ZQ(2.2.6)(2.2.5)分解为三个方程：d2X+k2X=0(2.2.6)dx2xR+k2Y=0(2.2.7)dy2y竺+k2Z=0(2.2.8)dz2z

(2.2.9)k2+k2+k2=S2M(2.2.9)我们设矩形谐振腔的三边长分别为a,b,c；则(2.2.6),(2.2.7),(2.2.8)三式的合解为;为;u(x,y,z)=(Ccoskx+Dsinkx)Ccosky+Dsinky)1x1x1y1y(2.2.10)•(Ccoskz+Dsinkz)3z3z(2.2.10)由(2.2.1)式的边界条件，把uG,y,z)具体化为E的各分量，如果我们考虑Ex,它对X=。壁而言是法向分量，所以有告=。，因此在"10)式中不取~sink而对于y=0,z=0时E是切向分量，由(2.2.1)式可知(2.2.10)不取〜cosky和〜cosS项。同理我们对Ey和E也可以做相同的考虑。由此可得E=Acosksinksink(2.2.11)E=Bsinkcosksink(2.2.12)E=Csinksinkcosk(2.2.13)我们再考虑x=a,y=b,z=c面上的边界条件，得akx，bky和ck必须为兀的整数倍，即k=些，k=三,k=竺(m,n,p=0,1,2)(2.2.14)其中，m,n,p分别表示沿矩形三边所含的半波数目。在(2.2.11)至(2.2.13)中分别含三个任意常数A,B和C。由方程▽.气=。，它们之间应满足关系

Ak+Bk+Ck=0(2.2.15)所以，A,B,C中只有两个是独立的。当满足关系(2.2.14)和(2.2.15)式时，(2.2.11)至(2.2.13)式代表腔的一种谐振波模。对于每一组(m,n,p)Ak+Bk+Ck=0(2.2.15)所以，A,B,C中只有两个是独立的。当满足关系(2.2.14)和(2.2.15)式时，(2.2.11)至(2.2.13)式代表腔的一种谐振波模。对于每一组(m,n,p)的值，有两个独立偏振波模。谐振频率由(2.2.9)和(2.2.14)式给出①mnp(2.2.16)其中，(m,n,p=0,1,2)①mnp称为谐振腔的本征频率；由(2.2.16)式可以看出谐振腔的本征频率%除与£,日和m,n,p相关外还和谐振腔的几何尺寸有关；在这里我们只讨论除a,b,c外其他相关参量为定值(即m,n,p取某一值时成谐振波模相同)的情况，因此，我们很明显可以看出，本征频率随a,b,c的值增大而减小，随a,b,c的值减小而增大；因此，当我们想得到较高频率的电磁波时可以减小谐振腔的几何尺寸，但谐振腔的缩小尺寸要适当。当我们取本征频率①时，即m=1,n=1,p=0时我们由110①mnp若此时我们取a〉b>c，则有最低的本征频率①m，而此时对应的谐振频率为:f110/111+f11Jka2)kb2)1①1102兀2、；(2.2.17)此时，对应的频率为在此种波模的最小谐振频率，该谐振腔不能产生水于截止频率的电磁波。因此，我们所要选择的缩小的尺寸要适当正是如此。3谐振腔填充介质后的谐振频率前一节我们推导真空谐振腔谐振频率与几何尺寸的关系；接下来我看另外二种情形。如果，我们不改变谐振腔的尺寸，向谐振腔里填入各种不同介质；谐振频率会发生怎样的变化；为了弄清这个问题下面将从两方面解决此问题。3.1填充普通介质（右手介质）“右手介质（材料）”是指一种介电常数和磁导率同时为正值的介质（材料）。电磁波在其传播时，波矢k、电场E和磁场H之间的关系符合右手定律，因此称之为“右手介质（材料）”；因为，其自然界大量存在，所以右称自然介质。3.1.1填充普通介质时的基本方程设真空谐振腔的原电场为e0和h0，谐振频率为①0，腔电磁场满足的麦克斯韦方程为：8BVxE0=-石=噂出（3.1.1）VxH0=-z雄0E0_（3.1.2）腔填充介质（右手介质）以后，若其介质参数为£和四，谐振频率变为①，腔电磁场变为E和H，满足的麦克斯韦方程变为；VxE=一竺=i（a^H（3.1.3）-金-—►-8D-，-、VxH=——=—i3£E（3.1.4）dt对（3.1.2）式和（3.1.3）式做如下处理

——————————xH/•E=io0e0E*•E,-H*•(/xE)=-ioRH*•H同时代入下式得;———A—A————v・(H*xE)=VxH*ZE-H*•VxE』ioeE•E*-iopH*•H0000000(3.1.5)同理对（3.1.1）和（3.1.2）式做如下处理有:-(vxE0-(vxE0)•H=iV0七H0•H—E*-(7xH)=—ioeE0・E同时代入下式得;——•H-io0e0E*•Ev•(HxE*)——•H-io0e0E*•E然后，再将（3.1.5）式与（3.1.6）式相加并两边同时写成积分形式，同时用高斯公式将左边换成面积分形式有；(————)(————)Jv・H*xE+HxE*dv=』H*xE+HxE〃dsV0[0s00=J1oR-orH•H*+loe-oeE•E*一v000000(3.1.7)在经典电动力学里，我们知道电场在介质界面的法向分量是连续的，其切向分量为零，我们在谐振腔腔壁边界上同样利用这一特点，假设（3.1.7）式研究所包含的空间为V，V是由有向曲面S所包围的空间，则在其边界上我们将令dS=eds，同时在边界上我们有电场的切向分量为零所以有exE=0，现在我们n对（3.1.7）式做如下变换;(————)(————)J▽•H*XE+HXE*dv=JH*XE+Hx(————)(————)J▽•H*XE+HXE*dv=JH*XE+HxE*%dsV『—0—f0——s00=J(H*xE)•ds+J(HxE*)ds「—0—s—0—=J(H*xE)•—ds+J(HxE*)••—ds0n0n=JH；•(—nxE炸」H•(—nx时=0(3.1.8)由（3.1.8）式推出（3.1.7）式的左边最终得零，因此我们就有;f----0=kop—opH•H*+\o&—o8JE•E*V000000(3.1.9)从（3.1.9）的推导来看无论右边的参量因子是什么只要其形式是电场与电场共轭的积加上磁场与磁场共轭的积共同对整个空间做体积分，其结果总是为零。所以，我们可以任意写出相似的其他公式来只要符合（3.1.9）式为了我们以后的证明我写出如下形式的式子;H•H*+o8E•E0一一*dv=000(3.1.10)现在我们将(3.1.9)加上（3.1.10）可以得到:j{lop—ov'•p+op000\o8—o8+o8E•E*}dV=0(3.1.11)J(opH•H*

o\o"CurrentDocument"————J(pH*•H+8E*•E)dvf——00——1J(opH•H*+o8E*•E)dv—J(opH•H*+o8Ev0r0v000(J(pH*•H+8E*•E)dv

0000v

————J[(p—p)H•H*+(8—8)E*•E]dv

=_o{_v―————}o—o=—-v+o茹*•E)dV—0

o—•E)dV-t二二二二————J(pH*•H+8E*•E)dVv0000(3.1.12)我们将（3.1.12）式继续变形，即两边同除以o参量，则可以得如下式子：

f—►—►—►—►(3.1.13)①—①J[(R—R)H•H*+(8-8)E*•E]dV(3.1.13)=_V『o000①J(RH*•H+8E*•E)dVVoooo从（3.1.13）式我们可以看出谐振腔的谐振频率与谐振腔里的介质建立了一个明显的关系表达式，我们知道真空中的磁导率（Ro）和电容率（8°）是一个稳定的常数且为正值，我们为了验证某一电磁波在相同的谐振腔里有无介质时，介质对谐振频率的影响，这里我们利用对比的方法。3.1.2填充普通介质时谐振频率的变化我们从（3.1.13）式的左边式子可以看出3-3。是谐振腔的谐振频率两种情况下的频率差；而分母3是谐振腔充满介质时的谐振频率，不可能为零；所以左也是有意义的且表示两种情况下的谐振腔频率的变化率。TOC\o"1-5"\h\zr►►►►3-3J[(R-R)H•H*+(8-8)E*•E]dV33o=__Voooo3J(rH*•H+8E*•E)dV(3.1.14)VooooJ[(R—R)1H*I2+(8-8)|E*|2(3.1.14)^-Voooo〜J(roIH^|2+8oIE*|2)dV从（3X14）若填充介质的相对磁导新相对介率常数林的话可用原场Eo、Ho代替新场E、H，所以得：3-3o«-3一J[(R-R)|H*|2+(8-8)|E*

v「oooo~~J(ro|H*|2+8o|E*|2)3-3o«-3一J[(R-R)|H*|2+(8-8)|E*

v「oooo~~J(ro|H*|2+8o|E*|2)dv|]dV(3.1.15)所以得①〈①（3.1.17）从（3.1.17）得推导过程与结论来看，当我们把某一介质放到谐振腔里（腔不是真空时）谐振腔的谐振频率与真空时相比变水了。3.2填充特殊介质（左手介质）“左手介质（材料尸是指一种介电常数和磁导率同时为负值的介质（材料）。电磁波在其传播时，波矢k、电场£和磁场HN间的关系符合左手定律，因此称之为“左手介质（材料）”。它具有负相速度、负折射率、理想成像、等物理性质。3.2.1左手介质简介1967年，前联物理学家Veselago在前联一个学术刊物上发表了一篇论文，首次报道了他在理论研究中对物质电磁学性质的新发现，即：当£和P都为负值时，电场、磁场和波矢之间构成左手关系。他称这种假想的物质为左手材料（left-handedmaterials,LHM），同时指出，电磁波在左手材料中的行为与在右手材料中相反，比如光的负折射、负的切连科夫效应、反多普勒效应等等。这篇论文弓1起了一位英国人的关注，1968年被译成英文重新发

表在另一个前联物理类学术刊物上。从此，材料世界翻开了新的一页。3.2.2左手介质存在的可能左手材料到目前为止在自然界中并未发现，但早在1967你就有前联物理学家Veselago推导其存在的可能下面我们利用麦克斯韦方程来推导：我们知道，单色波在各向同性的介质中传播波矢量k与频率o满足：k2上n2（3.2.1）C2其中，式中的n为均匀介质的折射率，且〃2=殂（3.2.2）在（3.2.2）式中物质的磁导率和介电常数同时为负值时，（3.2.1）式中的结果并未发生改变，因此，我们可以得到两种结果，即£>0,日>0前一节我们已经讨论了和e>0,日>0，现在我们来看当e<0,pv0同时小于零时；由麦克斯韦方程；有—>1dBcdt—VxH=(3.2.3)(3.2.4)1dDcdt——B=pH——VxH=(3.2.3)(3.2.4)对于单色波而言，麦克斯韦方程可表示为:I——o—I——o—3E=_pH,卜xE=——pHcc由上式可看出，当e<0,日<0时，E,H,«—将形成左手关系。在1998年，Pendry

J8提出一种周期排列且单元尺寸远水于波长的金属开口环结构谐振器（SRRS）,开口环谐振器在受到微波磁场的作用会产生感应电流，加磁矩一样加强或抵消原磁场。在谐振频率处会出现负磁导率。旦侦）=1—竺0（3.2.5）①2—①2—①「m其牝F为谐振器在一个单元的填充因子气为依赖于（SRRS）结构的振频率，w为等离子频率，r为损耗因子，当①<3<①时，pCo）出现负值。3.2.3填充左手介质时谐振频率的变化上面我们从理论上和现实中都已经说明了磁导率和介电常数同时为负的介质f—►—►—►—►J[（W—日）H-H*+（8r—8）E*-E]dVV0000^—^—^—^—J（日H*-H+8E*-E）dVV0000可以人工做成。由此，我们令bv0,gv0我们把它们代入（3.1.14）式得①一①awJ[（北一日）iH*i2+（8'—8）iE*i2]dv（3.2.6）W—f——0—2^-00J（―iH*|2+8iE*i2）dvTOC\o"1-5"\h\zV0000\o"CurrentDocument"————J[（日+日）H-H*+（8+8）E*-E]dV\o"CurrentDocument"=-V0__T00〉0J（日iH*i2+8iE*i2）dV由（3.2.6）式我们可得；巴一％>0,所以我们得出的结论是；当对同一谐振腔，w真空时的谐振频率W0与加入左手介质时的谐振频率W相嶙小因为，我们由>0（3.2.7）（3.2.8）

因此，当谐振腔充有左手介质时其谐振频率会增大。当我们想要得到较高频率的电磁波时，可以往谐振腔填入左手介质同样可以实现得到高频率电磁波的目的。f—►—►—►—►J[（W—日）H-H*+（8r—8）E*-E]dVV0000^—^—^—^—J（日H*-H+8E*-E）dVV0000（3.2.6）>0结论（1）真空谐振腔的谐振频率与几何尺寸本文第一节根据电动力学的知识推导出真空谐振腔的谐振频率公式①mnp4n)2并由此公式得出频率随a,b,c的值增大而减小，随a,b,c的值减水而增大；而且，由此公式推出了谐振腔的截止频率，当我①mnp4n)2并由此公式得出频率随a,b,c的值增大而减（2）谐振腔填充介质后的谐振频率在谐振腔填入介质时，其谐振频率的变化是；一，当我们填入右手介质时其谐振频率的变化是减小i（①<%）；二，当我们填入左手介质时其谐振频率的变化是增大（①>%）。在此种情况下我们不需要改变谐振腔的大小同样能实现谐振频率的变化。°参考文献郭硕鸿.电动力学[M].第2版.：高等教育出版，2001.毛钧杰，荧，朱建清，电磁场与微波工程基础.：电子工业，2004.处方，饶克谨.电磁场与电磁波[M].第4版.：高等教育，2001林璇英，之翔.电动力学题解[M].:科学,2000.254.毕德显.电磁场理论.：电子工业，1985卢荣章.电磁场与电磁波基础.：高等教育，1990全泽松.电磁场理论.：电子科技大学，1995