圆锥曲线大题十个大招-面积问题

XX2 y2例题1、已知椭圆C:瓦+a=招式五：面积问题1(a>b>0)的离心率为彳，短轴一个端点到右焦点的距离为$3。(I)求椭圆C的方程;(II)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为—，求^AOB面积的最大值。解：(I)设椭圆的半焦距为C依题意£=X2 .号，：.b=1,••・所求椭圆方程为y+y2=1(II)设A(x,,y),B(x2,y2)。(1)当AB±x轴时，|AB|=出。(2)当AB与x轴不垂直时，3一.、设直线AB的方程为y=kx+m。由已知J"_23，得m2=(k2+1)=<4把y=kx+m代入椭圆方程，整理得(3k2+1)x2+6kmx+3m2-3=0-6km3(m2-1)，x1x2=3k2+1。.二AB2=(1+k2)(x2-x1)2=(1+k2)12(k2+1)(3k2+1-m2)3(k2+1)(9k2+1)(3k2+1)2(3k2+1)2c12k2c12=3+ =3+ 9k4+6k2+1 1y9k2+ +6k236k2m2 12(m2-1)(3k2+1)2 3k2+1x'=走max2 2即k=±三时等号成立。当k=0时，|x'=走max2 2・•・当|ABJ最大时，△AOB面积取最大值S=2x|AB

TOC\o"1-5"\h\z例题2、已知椭圆C:上+y2=1(a>b>0)的离心率为冷，短轴一个端点到右焦点的距离为I/3.(I)求椭圆Ca2b2 3... 石.—的方程;(II)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为-5-,求^AOB面积的最大值.c_屈—， X2解：(I)设椭圆的半焦距为c,依题意｛a3...b=1,.•・所求椭圆方程为+y2=1.\o"CurrentDocument"a=/ 3(II)设A(X］，甲，B(x2，y2).(1)当AB±x轴时，|AB|=出.⑵当AB与x轴不垂直时，, m V3 . 3,,一、设直线AB的万程为y=kx+m.由已知j =--,得m2=-(k2+1).1+k2 2 4把y=kx+m代入椭圆方程，整理得(3k2+1)x2+6kmx+3m2-3=0-6km ,-6km ,xx3k2+1 123(m2-1)

3k2+1.「.AB2=(1+k2)(x-x)2=(1+k2)2 136k2m2 12(m2-1)(3k2+1)2 3k2+112(k2+1)(3k2+1-m2)3(k2+1)(9k2+1)(3k(3k2+1)2(3k2+1)2TOC\o"1-5"\h\z12k2 12 - 12=3+ =3+ (k中0)W3+ 二49k4+6k2+1 1 2x3+69k2+—+6

k2x/3，综上所述|AB|maxx/3，综上所述|AB|max=2.当且仅当9k2=一，即k=±2_时等号成立.当k=0时，AB=k2 3・•・当|AB|最大时，△AOB面积取最大值S=1x|ABx2 y2例题3、已知椭圆至+q=1的左、右焦点分别为FF2.过F1的直线交椭圆于B，D两点,过勺的直

线交椭圆于AC两点，且AC1BD，垂足为P.(I)设P点的坐标为(x，y)，证明：多+y2<1；00 3 2(II)求四边形ABCD的面积的最小值.解：(I)椭圆的半焦距C=<3^2=1,由AC±BD知点P在以线段FF为直径的圆上，故x2+y2=112 0 0所以，苧+与<与+芋=1<1.(II)(i)当BD的斜率k存在且k丰0时，BD的方程为y=k(x+1)X2y2代入椭圆方程y+3=1，并化简得(3k2+2)x2+662X+3k2-6=0.设B(XJy1)，D(x2,y2)，则6k23k26k23k2+2xx= 12 3k2+2BD|=J1+k2|x1一x=\/(1+k2)BD|=J1+k2|x1一x=\/(1+k2)[(x+x)2一4xx4<3(k2+1)3k2+2因为AC与BC相交于点P，且AC的斜率为-1，所以，k」1 14不-+1AC|=-1k2)3x—+2

k24<3(k2+1)2k2+3四边形ABCD的面积S=1|BD||AC|=一2+1)2一2 (3k2+2)(2k2+3)24(k2+1)2 _96(3k2+2)+(2k2+3)]2 252当k2=1时，上式取等号.(ii)当BD的斜率k=0或斜率不存在时，四边形ABCD的面积S=4综上，四边形ABCD的面积的最小值为96乙J练习1.己知椭圆C:上+y2=1(a>b>0)的离心率为立a2b2 2(底)，点1,—在椭圆C上.I2)(1)求椭圆C的标准方程；(2)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE1x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.①求证：PQG是直角三角形;②求PQG面积的最大值.△【答案】（1）?+/=1（2）①证明见解析；②16【解析】【分析】c <2一= a21 3⑴解方程组1 3⑴解方程组彳a+赤二1即可;（2）①设直线PQ的斜率为左则其方程为y=kx（k>0），联立直线与椭圆方程得到P,Q,E坐标，再由QG与椭圆方程联立得到G点坐标，证明斜率乘积等于-1即可;②利用两点间的距离公式算得pQ,PG的长度，将三角形的面积用k表示，再结合双勾函数的单调性即可得到答案.【详解】⑴由题意，c=，2+盖=1，a2=b2+c2解得a=2,b=<2X2y2一所以椭圆的方程为：下+==1.4 2（2）①：设直线PQ的斜率为k.则其方程为y=kx（k>0）.y=kx

记u—告'则P(u,uk),Q(一u，一uk),E(u,0).k k, 、于是直线QG的斜率为2，方程为y―2（x-u）.k,、y=2(x-u)得(2+k2)x2-2uk2x+k2u2-8—0.①x2,y27匕+了-1设GQg，yG），贝厂u和xG是方程①的解,u(3k2+2) uk3故x——―-——，由此得y—-——G2+k2 G2+k2TOC\o"1-5"\h\zuk3 7 uk 1从而直线PG的斜率为2+k——-?.u(3k2+2) k -u2+k2所以PQ1PG，即PQG是直角三角形.②：由①得IPQI―2U\1+k2,IPGI='(u(3k2+2)-u)2+(-^k—-uk)2=2位"2+12uk、；k2+1 2u2k2uk、；k2+1 2u2k(k2+1)所以PQG的面积S——|PQ||PG|=TX2u，l1+k2又u―\/1+2k又u―\/1+2k2，所以S—2|PQ||PG|乙8k(1+k2)8k(1+k2)一(1+2k2)(2+k2)―2+5k2+2k48(，+k)k1+2(1+k)2

kS因为S因为8t设t―k+1，则由k>0得t>2，当且仅当k―1时取等号.k1，而y-21+1-2(t+2)在［2,")单调递增,所以当t=2，即k=1时，S取得最大值，最大值为.因此，PQG面积的最大值为j.练习2.点MQ,j)与定点F(1，0)的距离和它到直线x=4的距离的比是常数1.(I)求点M的轨迹C的方程；3(II)过坐标原点O的直线交轨迹C于A,B两点，轨迹C上异于A,B的点P满足直线AP的斜率为--.(i)证明：直线AP与BP的斜率之积为定值；(五)求4ABP面积的最大值.【答案】(I)=+==1(II)(i)证明见解析；(ii)2<34 3【解析】【分析】(I)根据已知条件列方程，化简后求得轨迹C的方程.(I)(i)利用点差法，求得k•k=-3，由此证得结论成立.APBP4(ii)利用弦长公式求得|AP,利用点到直线的距离公式求得B到直线AP的距离，由此求得三角形ABP面积的表达式，利用二次函数的性质求得三角形ABP面积的最大值.【详解】（1）【详解】（1）由已知得自』1,两边平方并化简得3x2+4y2=122即点即点M的轨迹c的方程为:(II)(i)设点(II)(i)设点A(5,y1),则点B（-丁y设点设点P（2,y2），满足号+与二1由①一②得:(x-x)(由①一②得:(x-x)(x+x)(y1 2-+••k*APy「y2x-xkBP・・k・・kpP-kBP)(y2、一，：-x)(x212（五）:A（五）:A，B关于原点对称，，S^pBP二2s△oap设直线设直线AP：y=-3x+m，代入曲线C:=+y2=1化简得：3x2-3mx+m2-3=02 4 3设A(x「y设A(x「y),p(x2,y2),由A>0得：m2V12m2一3xx= 12 3AP网IL2点O到直线AP的距离,・•・S=2S =点O到直线AP的距离,・•・S=2S =2x1xAP-d=m.4—△ABP△OAP2 Vm2,・•・S△ABP,当m2=6时，・•・S△ABP取到最大值2c3练习3.已知椭圆的焦点坐标为F（-1,0）,F21,0，过F2垂直于长轴的直线交椭圆于p、Q两点，且|PQ|=3.（1）求椭圆的方程;（2）过F2的直线/与椭圆交于不同的两点M、N，则△勺MN的内切圆的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.X2Y2 9 «【答案】（1）—+2-=1（2）存在；内切圆面积的最大值为冗，直线的方程为x=14 3 16【解析】【分析】

2b2一(1)设椭圆方程，由焦点坐标可得c=1,由IPQ\=3,可得一=3,又a2-b2=1,由此可求椭圆方程；a(2)设M(X],yi),N(x2,y2),不妨yi>0,y2<0，设△FMN的内切圆的径R，则△F1MN的周1长=4a=8，S =—(\MN\+\FM\+\FN\)R=4R，因此S最大，R就最大.设直线l的方程为F]MN2 1 1 F]MNX=my+1，与椭圆方程联立，从而可表示△勺MN的面积，利用换元法，借助于导数，即可求得结论.【详解】解：(1)设椭圆方程为竺+y2=1(a>b>0)，由焦点坐标可得c=1.a2b2TOC\o"1-5"\h\z2b2 — —由1Poi=3,可得=3.又a2-b2=1,得a=2,b=v3.ax2 y2 .故椭圆方程为—+==1.4 3(2)设M(xjy1),N(x2,y2),不妨令y1>0，y2<0设^FMN的内切圆的半径为R，则△FMN的周长为4a=8,S△FMN=g(MN|+|F1M|+|F1N|)R=4R,因此要使^FMN内切圆的面积最大，则R最大，此时S 也最大.1 耳MN△一1__ ,S =-FFy-y=y-y,F1MN212 1 2 1 2△由题知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为X=my+1上+2=1 (八,八八由<4 3 得3mm2+47y2+6my-9=0,x=my+1-3-3m+6\m2+1得y= 1 3m2+4-3m-6%:m2+1y=2 3m2+4则S=y一y="m2—，令t=7m2+1，贝Ut»1△fm 1 2 3m2+4TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"o 12sm2+1 121 12S= = = 则△f1mn 3m2+4 3t2+13t+1t1令f(t)=3t+，则f。)二3一t 12当t>1时，fQ)>0，所以f(t)在［1,+s)上单调递增，有f(t)>f(1)=4,S<12=3F1MN43当t=1,m=0时，S=3，又S =4R,□R=-F1MN △F1MN max4这时所求内切圆面积的最大值为39冗，此时直线的方程为X=116练习4：抛物线C：X2=2py(p>0),Q为直线y=-p上的动点，过点Q作抛物线C的两条切线，切点分别为MnN.(1)证明：直线MN过定点;d5p\(2)若以G[0,—J为圆心的圆与直线MN相切，且切点为线段MN的中点，求该圆的面积.【答案】(1)证明见解析；(2)4p2兀或2p2兀【解析】【分析】(1)设点Q[t，-P],M(X/y),N(x,y.)，利用导数求出切线MQ的斜率，再利用斜率公式求出切1 2J11 22线MQ的斜率，进而求出直线MN的方程，从而可证明直线MN过定点;10

借助向量垂直的坐标运算，（2）将直线MN的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理，求出H点坐标，借助向量垂直的坐标运算，求得t=0或t=±夕，进而求得圆的面积.TOC\o