第14讲 圆（压轴题组）【有答案】-【2022年】中考数学大复习（知识点·易错点·题型训练·压轴题组）

第14讲圆（压轴题组）1．（2021·浙江省宁波市实验学校九年级期中）给出定义：有两个内角分别是它们对角的两倍的四边形叫做倍对角四边形．（1）如图1，在倍对角四边形ABCD中，∠D＝2∠B，∠A＝2∠C，求∠B与∠C的度数之和；（2）如图2，锐角△ABC内接于⊙O，若边AB上存在一点D，使得BD＝BO，∠OBA的平分线交OA于点E，连结DE并延长交AC于点F，∠AFE＝2∠EAF．求证：四边形DBCF是倍对角四边形；（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DG⊥OB于点H，交BC于点G．当4DH＝3BG时，求△BGH与△ABC的面积之比．【答案】（1）120°；（2）见解析；（3）【详解】（1）解：在倍对角四边形ABCD中，∠D＝2∠B，∠A＝2∠C，∵∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，∴3∠B+∠3∠C＝360°，∴∠B+∠C＝120°，∴∠B与∠C的度数之和为120°；（2）证明：在△BED与△BEO中，，∴△BED≌△BEO（SAS），∴∠BDE＝∠BEO，∵∠BOE＝2∠BCF，∴∠BDE＝2∠BCF连接OC，设∠EAF＝α，则∠AFE＝2α，∴∠EFC＝180°﹣∠AFE＝180°﹣2α，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝α，∴∠AOC＝180°﹣∠OAC﹣∠OCA＝180°﹣2α，∴∠EFC＝∠AOC＝2∠ABC，∴四边形DBCF是倍对角四边形；（3）解：过点O作OM⊥BC于M，∵四边形DBCF是倍对角四边形，∴∠ABC+∠ACB＝120°，∴∠BAC＝60°，∴∠BOC＝2∠BAC＝120°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝30°，∴BC＝2BM＝BO＝BD，∵DG⊥OB，∴∠HGB＝∠BAC＝60°，∵∠DBG＝∠CBA，∴△DBG∽△CBA，∴＝，∵4DH＝3BG，BG＝2HG，∴DG＝GH，∴＝，∵∴＝．2．（2021·黑龙江·哈尔滨德强学校九年级期中）已知，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，BD、AC相交于点E，．（1）如图1，求证：；（2）如图2，过点C作于点F，交BD于点G，当时，求证：；（3）如图3，在（2）的条件下，连接AO并延长交BD于点H，当，时，求OH的长．【答案】

（1）证明见详解；（2）见详解;（3）OH=．【详解】（1）证明：∵，∴∠ACB=∠ABC，∵四边形ABCD为圆内接四边形，∴∠ADC+∠ABC=180°，∵∠ADB=∠ACB，∴∠ADB=∠ABC，∵∠ADC=∠CDB+∠ADB，∴∠ADC+∠ABC=∠CDB+∠ADB+∠ADB=∠CDB+2∠ADB=180°，∴；（2）证明：过点C作CN⊥DB，交BD于N，交于M，∵∴∠MCB=180°-∠CNB-∠DBC=45°，∴∠MCB=∠DBC=45°，∴MB∵AB=AC，∴∴AD∴∠ACM=∠DBA∵∠CNG=∠GFB，∠NGC=∠FGB，∴∠NCG=180°-∠CNG-∠NGC=180°-∠GFB-∠FGB=∠GBF=∠ECN，在△CEN和△CGN中∴△CEN≌△CGN（ASA），∴CE=CG;

（3）解：过C作CP//AH交BD于P，连结AP，连结OE，连结CH，延长AO交BC于Q，过O作OM⊥AB于M，∵E为AC中点，OE为弦心距，∴OE⊥AC，∵AB=AC，∴OE=OM，∴AQ平分∠CAB，∴AQ⊥BC，∵CQ=BQ，点H在AQ上，∴CH=BH，∵∠DBC=45°，∴∠HCB=∠DBC=45°，∴∠CHB=180°-∠HCB-∠DBC=90°，∴CH⊥BD，∵CE=CG，∴EH=GH=3，∵CP//AH，∴∠PCE=∠HAE，在△PCE和△HAE中，，∴△PCE≌△HAE（AAS），∴PE=HE=3，∵PE=HE，CE=AE，∴四边形PAHC为平行四边形，∴AP=CH，∠APH=∠CHP=90°，∵∠HBQ=45°，∠HQB=90°，∴∠QHB=180°-∠HBQ-∠HQB=180°-90°-45°=45°，∴∠PHA=∠QHB=45°，∵∠APH=90°，∴∠PAH=90°-∠PHA=90°-45°=45°，∴∠PAH=∠PHA=45°，∴△APH为等腰直角三角形，∵PH=PE+EH=6，∴AP=PH=6，在Rt△PAH中，AH=∵HB=CH=6，∠CHB=90°，BC=，∴CQ=BQ=，在Rt△EHC中EC=，∴AC=2CE=，AE=CE=，在Rt△ACQ中AQ=，∵∠EAO=∠QAC，∠AEO=∠AQC=90°∴△AEO∽△AQC，∴，即，解得AO=，OH=AH-AO=-．

3．（2021·江苏·连云港市新海实验中学九年级期中）如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，AC、BD相交于点E．（1）如图①，若CD∥AB，求证：AC＝BD；（2）如图②，若AD＝6，BC＝8，∠AEB＝90°，求圆O的半径；（3）如图③，若AD＝4，BC＝6，∠AED＝60°，求圆O的半径；【答案】（1）见解析；（2）5；（3）【详解】解：（1）∵，∴∠ACD=∠CAB，∵∠ACD=∠ABD，∴∠ABD=∠BAC，又∵∠ADB=∠BCA，AB=BA，∴△ADB≌△BCA（AAS），∴AC=BD；（2）如图所示，连接AO并延长与圆O交于F，连接DF，∴∠ADF=90°，∵∠AEB＝90°，∴∠AED=∠BEC=∠AEB=90°，又∵∠DAE=∠CBE，∴△DAE∽△CBE，∴，∵∠AEB=∠ADF=90°，∠ABD=∠AFD，∴△ABE∽△AFD，∴即，∴，∴，∴圆O的半径为5；（3）如图所示，过点B作交圆O于G，连接DO并延长与圆O交于F，连接GF，连接GA，过点D作DH⊥GA交GA延长线于H，∵，∴∠DBG=∠AED=60°，∠CAB=∠ABG，∴AG=BC=6，又∵∠GFD=∠DBG，∴∠GFD=60°，∵DF是圆的直径，∴∠DGF=90°，∴∠GDF=30°，∴DF=2GF，∴，∵四边形AGFD是圆内接四边形，∴∠DAG+∠DFG=180°，又∵∠DAG+∠DAH=180°，∴∠DAH=∠DFG=60°，∵∠DHA=90°，∴∠ADH=30°，∴，∴，，∴，∴，∴，∴圆O的半径为．4．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C，⊙M是△ABC的外接圆．若抛物线的顶点D的坐标为(1，4)．（1）求抛物线的解析式，及A、B、C三点的坐标；（2）求⊙M的半径和圆心M的坐标；（3）如图2，在x轴上有点P(7，0)，试在直线BC上找点Q，使B、Q、P三点构成的三角形与△ABC相似．若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1），；（2）⊙M的半径为，圆心的坐标为；（3）存在，或．【详解】解：（1）∵抛物线的顶点的坐标为，∴，解得，则抛物线的解析式为，令，则，解得或，令，则，故；（2）如图1，连接，，中点的坐标为，∵三角形外心为三边中垂线交点，∴设，且，，解得，，，故⊙M的半径为，圆心的坐标为；（3）由（1）知，，，设直线的函数解析式为，将点代入得：，解得，则直线的函数解析式为，设点的坐标为，则，要使三点构成的三角形与△ABC相似，则△ACB∽△PQB或△ACB∽△QPB，此时，，①当△ACB∽△PQB时，则，即，解得，经检验，是所列方程的解，则此时点的坐标为；②当△ACB∽△QPB时，则，即，解得，经检验，是所列方程的解，则此时点的坐标为；综上，点的坐标为或．5．（2021·江苏·常州市北郊高级中学九年级期中）在图1至图3中，⊙O的直径，切⊙O于点，，连接交⊙O于点，连接，是线段上一点，连接．（1）如图1，当点，的距离最小时，求的长；（2）如图2，若射线过圆心，交⊙O于点，，求的值；（3）如图3，作于点，连接，直接写出的最小值．【答案】（1）；（2）；（3）【详解】（1）如图，⊙O的直径，切⊙O于点，，在Rt△中，是直径根据点到直线的距离垂线段最短，即可知当时，点，的距离最小，；（2）如图，连接，是⊙O的直径，，，解得（负值舍去），又，即（3）如图，以为直径作⊙G，则为的中点，Rt△BDC中点在⊙G上，，当三点共线时，最小此时，在中，．的最小值为．6．（2021·江苏溧阳·九年级期中）概念认识：平面内，M为图形T上任意一点，N为⊙O上任意一点，将M、N两点间距离的最小值称为图形T到⊙O的“最近距离”，记作d（T－⊙O）．例：如图1，在直线l上有A、C、O三点，以AC为对角线作正方形ABCD以点O为圆心作圆，与l交于E、F两点，若将正方形ABCD记为图形T，则C、E两点间的距离称为图形T到⊙的“最近距离”．数学理解：（1）在平面内有A、B两点，以点A为圆心，5为半径作⊙A，将点B记为图形T，若d（T－⊙A）＝2，则AB＝________．（2）如图2，在平面直角坐标系中，以O（0，0）为圆心，半径为2作圆．①将点C（4，3）记为图形T，则d（T－⊙0）＝_________．②将一次函数y＝kx＋2的图记为图形T，若d（T－⊙）＞0，求k的取值范围．推广运用：（3）在平面直角坐标系中，P的坐标为（t，0），⊙P的半径为2，D、E两点的坐标分别为（5，5）、（5，－5），将△DOE记为图形T，若d（T－P）＝1，则t＝___________．【答案】（1）；（2）①3；②；（3）【详解】解：（1）如图1中，∵d（T－⊙A）=2，∴CB＝CB′＝2，∵AC＝5，∴AB′＝3，AB＝7．故答案为：3或7．（2）①如图2中，连接OC交⊙O于E．∵C（4，3），∴OC＝，∵OE＝2，∴EC＝3，∴d（T－⊙O）＝3．故答案为：3．②如图，设直线y=kx+2与⊙O相切于E，K．连接OK，OE．∵OE⊥DE，OK⊥DK，OD=2√2，OE=OK=2，∴DK＝，DE=，∴DE＝OE＝DK＝OK，∴四边形DEOK是菱形，∵∠DKO＝∠DEO=90°，∴四边形DEOK是正方形，∴∠ODE＝∠ODK＝45°，∴直线DE的解析式为y＝－x+2，直线DK的解析式为y＝x+2，∵d（T－⊙O）＞0，∴观察图象可知满足条件的k的值为－1＜k＜1且k≠0．（3）∵D、E两点的坐标分别为（5，5）、（5，－5），设DE与x轴相交于点N，∴ON=5，∵P的坐标为（t，0），⊙P的半径为2，且d（T－P）＝1，∴点P不可能在△DOE内部．则点P可分别在△DOE左侧和右侧两种情况：①如图3-1中，当点P在△DOE左侧时，⊙P交x轴于M，∴PM＝2，∵d（T－⊙P）＝1，∴OP＝3，∴t＝－3．②如图3-2中，当点P在△DOE的右侧时，∵d（T－⊙P）＝1，ON＝5，即MN＝1，∴OM＝6，∵PM＝2，∴OP＝6，∴t＝8．综上所述，满足条件的t的值为－3或8．7．（2021·湖北·宜昌市第三中学九年级期中）小明学习了垂径定理，做了下面的探究，请根据题目要求帮小明完成探究．（1）更换定理的题设和结论可以得到许多真命题．如图1，在⊙O中，是劣弧的中点，直线于点，则．请证明此结论；（2）从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦．如图2，，组成⊙O的一条折弦．是劣弧的中点，直线于点，则．可以通过延长、相交于点，再连接证明结论成立．请写出证明过程；（3）如图3，，组成⊙O的一条折弦，若是优弧的中点，直线于点，则，与之间存在怎样的数量关系？请写出证明过程．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3），理由见解析【详解】证明：（1）如图1，连接，，是劣弧的中点，，，，，，，为等腰三角形，，；（2）如图2，延长、相交于点，再连接，是圆内接四边形，，是劣弧的中点，，，为等腰三角形，，，，，（3）．连接，，，、相交于点，弧弧，，，，，，，，，，，，，，．8．（2021·江苏省锡山高级中学实验学校九年级期中）对于⊙C与⊙C上一点A，若平面内的点P满足：射线AP与⊙C交于点Q，且PA＝2QA，则称点P为点A关于⊙C的“倍距点”．已知平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是（-3，0）．（1）如图1，点O为坐标原点，⊙O的半径是3，点P是点A关于⊙O的“倍距点”．①若点P在x轴正半轴上，则点P的坐标是；②若点P在第一象限，且∠PAO＝30°，求点P的坐标；（2）设点M（m，0），以点M为圆心，MA长为半径作⊙M，一次函数y＝x+的图象分别与x轴、y轴交于D、E，若一次函数y＝x+的图象上存在唯一一点P，使点P是点A关于⊙M的“倍距点”，请你直接写出m的值．【答案】（1）①（9，0）；②点P（6，）；（2）m=．【详解】解：（1）①∵点P在x轴正半轴上，AP交⊙O于Q，∴AQ为⊙O的直径，AQ=2OA=6，∴AP=2AQ=12，∴OP=AP-OA=12-3=9，∴点P（9，0），故答案为（9，0）；②AP交⊙O于Q，设⊙O于x轴交于B，连结QB，过P作PC⊥x轴于C，∵AB=6，∠PAO=30°，∴AQ=ABcos30°=6×，∴AP=2AQ=，∴PC=AP·sin30°=，AC=AP·cos30°=，∴OC=AC-AO=9-3=6，∴点P（6，）；（2）过点M作MG⊥AQ于G，一次函数y＝x+的图象分别与x轴、y轴交于D、E，当x=0时，y=，点E（0，），当y=0时，x+=0，解得x=-6，点D（-6，0），∵tan∠EDO=，∴∠EDO=30°，当AP⊥DE时，AP长唯一，AP=AD×sin30°=[-3-（-6）]，∵AP=2AQ，∴AQ=，∵AQ为弦，AG⊥AQ，∴AG=QG=，∵AP⊥DE，MG⊥AP，∴MG∥DE，∴∠GMA=∠EDO=30°，∴MA=2AG=，点M在点A左侧AP与⊙M有交点，∴-3-m=，∴m=．9．（2021·浙江·宁波东海实验学校九年级期中）（提出问题）如图1，直径AB垂直弦CD于点E，AB＝10，CD＝8，点P是CD延长线上异于点D的一个动点，连接AP交⊙O于点Q，连接CQ交AB于点F，则点F的位置随着点P位置的改变而改变．（特殊位置探究）（1）当DP＝2时，求tan∠P和线段AQ的长；（一般规律探究）（2）如图2，连接AC，DQ，在点P运动过程中，设DP＝x，y．①求证：∠ACQ＝∠CPA；②求y与x之间的函数关系式；（解决问题）（3）当OF＝1时，求△ACQ和△CDQ的面积之比．（直接写出答案）【答案】(1)tan∠P，AQ＝8；(2)①答案见解析，②y；(3)或．【详解】解：(1)连接OD，∵直径AB⊥CD，AB＝10，CD＝8，∴DE=CD=4，OD=，∴∴AE=OA+OE=5+3=8，∵DP=2，∴PE=PD+DE=2+4=6，∴tan∠P=，连接BQ，则∠AQB=90°，∵在RT△ABQ中，AQ＝ABcos∠BAQ==10×=8．(2)①证明：连接BQ，AC，∵，∴∠ACQ=∠ABQ，∵AB为直径，∴∠QAB+∠ABQ=90°，∴AB⊥CP，∴∠P+∠BAP=90°，∴∠ACQ=∠CPA．②连接BC，过点A作AC的垂线交CQ的延长线于点N，∵AB为直径，∴∠ACB=∠NAC=90°，∴BC∥AN，∴△FCB∽△FNA，∴，∵AB⊥CD，AE=8，CE=4，∴，，tan∠P=，∵DP=x，∴y=(3)当OF=1时，F在O的右边时，AF=6；当F在O的左边时，AF=4．当AF=6时，则BF=4，∴y=，∴解得x=．经检验：是原方程的根且符合题意．如图，连接QD，∵四边形ACDQ为⊙O的内接四边形，∵∠ACQ=∠P，∠CAQ=∠PDQ，∴△PDQ∽△CAQ．∴∴∴当AF=4时，y=，解得x=20．同理可得∴当OF=1时，△CDQ与△ACQ的面积之比为或．10．在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单：已知线段BC=2，使用作图工具作∠BAC=30°，尝试操作后思考：（1）这样的点A唯一吗？（2）点A的位置有什么特征？你有什么感悟？“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以BC为弦的圆弧上（点B、C除外），…．小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）．（1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决．①该弧所在圆的半径长为_______；②△ABC面积的最大值为_______；（2）经过比对发现，小