概率论第十六讲中心极限定理

概率论第十六讲中心极限定理第1页，共29页，2023年，2月20日，星期五中心极限定理：概率论中有关随机变量的和的极限分布是正态分布的系列定理。设随机变量序列相互独立,且有期望和方差：令则第2页，共29页，2023年，2月20日，星期五定理1林德伯格（Lindberg）定理设相互独立随机变量满足林德伯格条件，即有其中，是随机变量的概率密度第3页，共29页，2023年，2月20日，星期五其中，是任何实数则n→∞，有第4页，共29页，2023年，2月20日，星期五林德伯格定理的意义:被研究的随机变量可以被表示为，许多相互独立随机变量的和,其中,则这个总和服从或近似服从正态分布.每一个随机变量对于总和只起微小的作用,第5页，共29页，2023年，2月20日，星期五定理二林德伯格-列维中心极限定理[独立同分布的中心极限定理]定理三棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理[二项分布以正态分布为极限分布](Lindberg-levi)(DeMoivre-Laplace)第6页，共29页，2023年，2月20日，星期五独立同分布的中心极限定理设随机变量序列独立同一分布,且有期望和方差：则对于任意实数x,定理1第7页，共29页，2023年，2月20日，星期五注则Yn

为的标准化随机变量.即n足够大时，Yn

的分布函数近似于标准正态随机变量的分布函数记近似近似服从第8页，共29页，2023年，2月20日，星期五中心极限定理的意义

在第二章曾讲过有许多随机现象服从正态分布若联系于此随机现象的随机变量为X，是由于许多彼次没有什么相依关系、对随机现象谁也不能起突出影响，而均匀地起到微小作用的随机因素共同作用则它可被看成为许多相互独立的起微小作用的因素Xk的总和，而这个总和服从或近似服从正态分布.(即这些因素的叠加)的结果.第9页，共29页，2023年，2月20日，星期五对此现象还可举个有趣的例子——高尔顿钉板试验——加以说明.03—钉子层数高尔顿钉板第10页，共29页，2023年，2月20日，星期五德莫佛—拉普拉斯中心极限定理（DeMoivre-Laplace）

设Yn

~B(n,p),0<p<1,n=1,2,…则对任一实数x，有即对任意的a<b,Yn

~N(np,np(1-p))(近似)定理2第11页，共29页，2023年，2月20日，星期五应用1例1炮火轰击敌方防御工事100次,每次轰击命中的炮弹数服从同一分布,其数学期望为2,均方差为1.5.若各次轰击命中的炮弹数是相互独立的,求100次轰击(1)至少命中180发炮弹的概率;(2)命中的炮弹数不到200发的概率.中心极限定理的应用第12页，共29页，2023年，2月20日，星期五解

设Xk

表示第k次轰击命中的炮弹数相互独立，设X表示100次轰击命中的炮弹数,则由独立同分布中心极限定理,有第13页，共29页，2023年，2月20日，星期五(1)(2)第14页，共29页，2023年，2月20日，星期五例2售报员在报摊上卖报,已知每个过路人在报摊上买报的概率为1/3.令X是出售了100份报时过路人的数目，求P(280X320).解令Xi

为售出了第i–1份报纸后到售出第i份报纸时的过路人数,i=1,2,…,100(几何分布)应用2第15页，共29页，2023年，2月20日，星期五相互独立,由独立同分布中心极限定理,有第16页，共29页，2023年，2月20日，星期五例3

检验员逐个检查某产品,每查一个需用10秒钟.但有的产品需重复检查一次，再用去10秒钟.若产品需重复检查的概率为0.5,求检验员在8小时内检查的产品多于1900个的概率.解

若在8小时内检查的产品多于1900个,即检查1900个产品所用的时间小于8小时.设X为检查1900个产品所用的时间(秒)设Xk

为检查第k个产品所用的时间(单位：秒),k=1,2,…,1900应用3第17页，共29页，2023年，2月20日，星期五

XkP10200.50.5相互独立同分布,第18页，共29页，2023年，2月20日，星期五第19页，共29页，2023年，2月20日，星期五例4某车间有200台车床，每台独立工作，开工率为0.6.开工时每台耗电量为r千瓦.问供电所至少要供给这个车间多少电力,才能以99.9%的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产？解设至少要供给这个车间a千瓦的电力，X为开工的车床数,

则X~B(200,0.6),

X~N(120,48)(近似)应用4由德莫佛—拉普拉斯中心极限定理,有第20页，共29页，2023年，2月20日，星期五问题转化为求a,使反查标准正态函数分布表，得第21页，共29页，2023年，2月20日，星期五令解得(千瓦)第22页，共29页，2023年，2月20日，星期五例5设有一批种子，其中良种占1/6.试估计在任选的6000粒种子中，良种比例与1/6比较上下不超过1%的概率.解设X表示6000粒种子中的良种数,X~B(6000,1/6)应用5近似由德莫佛—拉普拉斯中心极限定理,则有第23页，共29页，2023年，2月20日，星期五第24页，共29页，2023年，2月20日，星期五比较几个近似计算的结果中心极限定理二项分布(精确结果)Poisson分布Chebyshev不等式比较第25页，共29页，2023年，2月20日，星期五作业P.138习题四1920

2223习题第26页，共29页，2023年，2月20日，星期五设某农贸市场某种商品每日的价格的变化是个相互独立且均值为0,方差为2=2的随机变量Yn，并满足其中Xn是第n天该商品的价格.如果今天的价格为100，求18天后该商品的价格在96与104之间的概率.*补充作业第27页，共29页，2023年，2月20日，星期五解设表示今天该商品的价格,为18天后该商品的价格,则得第28页，共29页，20