第13讲 轴对称与旋转（题型训练）【有答案】-【2022年】中考数学大复习（知识点·易错点·题型训练·压轴题组）

第13讲轴对称与旋转题型一轴对称1．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，动点P满足S△PBC＝S矩形ABCD，则点P到B，C两点距离之和PB+PC的最小值为（）A． B． C． D．2【答案】B【解析】解：设△PBC中BC边上的高是h．

∵S△PBC＝S矩形ABCD．

∴BC•h＝AB•AD，

∴h＝AB＝1，

∴动点P在与BC平行且与BC的距离是1的直线l上，如图，作B关于直线l的对称点E，连接CE，则CE的长就是所求的最短距离．

在Rt△BCE中，∵BC＝3，BE＝BA＝2，

∴CE＝，

即PB＋PC的最小值为．

故选：B．2．（2021·广西·南宁三中九年级期中）在平面直角坐标系xOy中，点A（－2，4）关于x轴对称的点B的坐标是（）A．（－2，4） B．（－2，－4） C．（2，－4） D．（2，4）【答案】B【解析】∵点A（－2，4），∴关于x轴对称的点B的坐标是（－2，－4），故选B．3．（2021·重庆一中九年级期中）下面的图形是用数学家名字命名的，其中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）A．科克曲线 B．笛卡尔心形线C．赵爽弦图 D．斐波那契螺旋线【答案】B【解析】解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不合题意；B．是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项符合题意；C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：B．4．（2021·重庆实验外国语学校九年级开学考试）如图在四边形中，和都是直角，且．现将沿翻折，点的对应点为，与边相交于点，恰好是的角平分线，若，则的长为（）

A．1.5 B． C．2 D．【答案】C【解析】解：如图，延长和相交于点，由翻折可知：，，是的角平分线，，，△B＇EC≌△BE＇F，，，，，，，，△FCA≌△DBA，．故选：C．5．（2021·福建省同安第一中学一模）如图，在菱形ABCD中，，，过点A作于点E，现将△ABE沿直线AE翻折至△AFE的位置，AF与CD交于点G，则△CFG的面积为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：过G作GH⊥AD于H，延长HG交CF于M，∵，，设AE=3，BE=4,根据勾股定理即，解得∴BE=4，AE=3，∵四边形ABCD为菱形，∴AD=AB=BC=5，AD∥BC，∵△ABE沿直线AE翻折至△AFE，∴EF=BE=4，∴EC=BC-AE=5-4=1，∴CF=EF-EC=4-1=3，∵AD∥CF，∴∠D=∠GCF，∠DAG=∠F，∴△ADG∽△FCG，∴又∵HM⊥AD，AE⊥AD，AD∥BF，∴HM=AE=3，设HG=5n，MG=3n，∴5n+3n=3,解得,∴MG=，∴△CFG的面积=．故选：B．．6．（2021·湖北江岸·模拟预测）有一张矩形纸片ABCD，已知AB＝2，AD＝4，上面有一个以AD为直径的半圆，如图甲，将它沿DE折叠，使A点落在BC上，如图乙，这时，半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：设阴影部分所在的圆心为O，AD与半圆弧交于点F，如图，连接OF，作OM⊥AD于点M，∵AD=4，CD=2，∴∠DAC=30°，∵OD∥BC，OD=OF=2，∴∠ODF=∠OFD=∠DAC=30°，∴∠DOF=180°-30°-30°=120°，在Rt△DOM中，OM=OD•sin30°=2×=1，DM=OD•cos30°=2×=，∴DF=2DM=2，∴S阴影部分=S扇形ODF-S△ODF

=，故选：C．7．（2021·湖北襄州·二模）如图，在中，，把沿斜边折叠，得到，过点作交的延长线于点，过点作，分别交，于点，，若，，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】连接，如图，

由对称的性质可知，，又∵，∴，∴，∴，又∵，∴，∴在中，．又∵，∴，又∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴．故选：C．8．（2021·河北·中考真题）如图，直线，相交于点．为这两直线外一点，且．若点关于直线，的对称点分别是点，，则，之间的距离可能是（）A．0 B．5C．6 D．7【答案】B【解析】解：连接，如图，∵是P关于直线l的对称点，∴直线l是的垂直平分线，∴∵是P关于直线m的对称点，∴直线m是的垂直平分线，∴当不在同一条直线上时，即当在同一条直线上时，故选：B9．（2021·江苏姑苏·二模）如图，在△ABC中，是边上的中点，连结，把△BDC沿翻折，得到，与交于点，连结，若，，则点到的距离为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图，过点D作DF⊥AC'，垂足为F，过点B作BG⊥AC'，交AC'的延长线于G，∵把沿翻折，得到△BDC＇，∴DC=，∠BDC=∠，∵D是边上的中点，∴DC=AD，∵，∴=，∴△ADC＇是等边三角形，∴∠BDC=∠=∠=∠=60°，∴AG//BD，∴∠BDF=∠AFD，∵DF⊥AC'，∴AF=FC'=1，∴DF==，∵DF⊥AC'，BG⊥AC'，∴∠AFD=∠DFC′=∠G=90°，∴∠BDF=90°，∴四边形BDFG是矩形，∴FG=BD=3，BG=DF，∴BG=，=2，∴==，设点D到的距离为h，∴，∴，∴h=，故选B．10．（2021·四川成都·三模）如图，将边长为6的正六边形沿折叠，点恰好落在边的中点上，延长交于点，则的长为（）A．1 B． C． D．【答案】A【解析】解：如图，过点作延长的垂线，

，，，，设，，，，，，在△中，根据勾股定理，得，，解得，，，，，，△，，，解得，．故选：．11．（2021·江苏秦淮·九年级期中）如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别取一点M、N，使△AMN的周长最小，则∠MAN＝_____°．【答案】80【解析】如图，作点A关于BC、CD的对称点A1、A2，连接A1、A2分别交BC、DC于点M、N，连接AM、AN，则此时△AMN的周长最小，∵∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，∴∠BAD＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，∴∠A1+∠A2＝180°﹣130°＝50°，∵点A关于BC、CD的对称点为A1、A2，∴NA＝NA2，MA＝MA1，∴∠A2＝∠NAD，∠A1＝∠MAB，∴∠NAD+∠MAB＝∠A1+∠A2＝50°，∴∠MAN＝∠BAD﹣（∠NAD+∠MAB）＝130°﹣50°＝80°，故答案为：80．12．（2021·四川·成都实外九年级期中）如图，已知正方形ABCD的边长为6，点E是AB边上一动点，连接ED，将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，连接DF，CF，则DF+CF的最小值是___．【答案】【解析】解：连接，过点作交延长线于点，，∴，∵，∴∠EDA=∠FEG，在△AED和△GFE中，，，点在的射线上运动，作点关于的对称点，，，，，，，点在的延长线上，当、、三点共线时，最小，在中，，，，的最小值为．故答案为：．13．（2021·重庆一中九年级期中）如图，在菱形中，点为边上一点，点为边中点，连接，将△BEF沿直线翻折至菱形所在平面内，得到△B＇EF，连接并延长交边于点．若，，点到线段的距离为，则折痕的长为__________．【答案】【解析】解：作，，如下图：由题意可得：，，，，，∴，又∵，∴∴∴四边形为平行四边形又∵∴平行四边形为矩形∴，由勾股定理得：，即∵为的中点∴∵∴由勾股定理得：故答案为14．（2021·安徽省安庆市外国语学校九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，点D是AB的中点，点E是边AC上的动点(不与点A、C重合)，连接DE，将△ADE沿直线DE翻折，得到△A＇DE，当AE的长为__________时，和△ABC的一边平行．【答案】或【解析】解：由勾股定理得：当时，设交于点，则∴∵点D是AB的中点，可知为的中点，即设，则，∵，∴∴，即，解得，即当时，，又∵∴∴综上可知，或故答案为或15．如图，中，∠C＝90°，，点D在BC上，将△ABC沿直线AD翻折，使点C落在点处，连接，直线与边CB的延长线相交与点F，如果，那么线段BF的长为___．【答案】【解析】解：如图所示：在中，，，是将△ABC沿直线AD翻折得到的，，，，，，，，故答案为：．16．如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，点D在BC上，将△ACD沿直线AD翻折后，点C落在点F处，边AF与边BC相交于点E，如果DF//AB，那么∠BAD的大小是________．【答案】70°【解析】解：在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，

∴∠BAC＝180°−∠B−∠C＝110°．

由折叠的性质可知：∠CAD＝∠EAD，∠F＝∠C＝30°．

∵DF∥AB，

∴∠BAE＝∠F＝30°，

∴∠BAC＝∠BAE＋∠CAD＋∠EAD，即110°＝30°＋2∠CAD，

∴∠CAD＝40°．

∴∠BAD＝∠BAC−∠CAD＝70°，

故答案为：70°．17．如图，△ABC中，∠C＝72°，AB边的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，将△ABE沿BE翻折得到△ABE，若，则∠ABC＝___．【答案】【解析】解：，，，垂直平分线段，，，由翻折的性质可知，，，，，∵，，∵∠C＝72°，，，故答案为：．18．（2021·四川·达州市第一中学校九年级期中）如图坐标系中，O(0，0)，A(3，3)，B(6，0)，将△OAB沿直线CD折叠，使点A恰好落在线段OB上的点E处，若OE＝，则AC：AD的值是_______．

【答案】【解析】O(0，0)，A(3，3)，B(6，0)，△AOB是等边三角形将△OAB沿直线CD折叠，使点A恰好落在线段OB上的点E处，OE＝设，则即①②①－②得，即．故答案为：2：319．（2021·甘肃·古浪县第四中学九年级期中）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，1)，B(4，2)，C(3，4)．（1）请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；（2）请画出△ABC关于原点对称的△A2B2C2；（3）在x轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，请画出△PAB．【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）作图见解析【解析】解：（1）点向左平移5个单位长度后为点，点向左平移5个单位长度后为点，点向左平移5个单位长度后为点，作图如下：（2）点关于原点对称的点A2的坐标为，点关于原点对称的点B2的坐标为，点关于原点对称的点C2的坐标为，作图如（1）中所示．（3）作图如（1）中所示，先作出点关于x轴的对称点，再连接，与x轴的交点即为点P，再连接PA和PB即可得．20．（2021·河南·洛阳市洛龙区教育局教学研究室九年级期中）如图所示的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1，格点三角形ABC（顶点是网格线交点）的顶点A、C的坐标分别是(－4，6)、(－1，4)．（1）请在图中的网格内建立平面直角坐标系；（2）请画出△ABC关于x轴对称的；将△ABC以点C为旋转中心顺时针旋转90°，画出旋转后对应的；（3）请在y轴上求作一点P，使的周长最小，并求出点P的坐标．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析，【解析】解：（1）建立平面直角坐标系如图所示；（2），如图所示；

（3）∵，其中为定值，∴要使得的周长最小，即使得最小即可；如图，作点关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，则点P即为所求，此时，，设直线的解析式为（），把，代入解析式，得，解得，∴直线的解析式为，∴当时，，∴．21．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，AD平分∠BAC，点P、Q分别是AD、AC上的动点（点P不与A、D重合，点Q不与A、C重合），求PC＋PQ的最小值【答案】【解析】解：如解图，过点C作CH⊥AB于H，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，

∵AD平分∠BAC，CH⊥AB，PQ⊥AC，∴PQ=PH，∴PC+PQ=PC+PH=CH，∴PC+PQ的最小值就是线段CH的长，∵AB=10，AC=8，BC=6，∴AB2=AC2+BC2，∴∠ACB=90°，∴•AB•CH=•AC•BC，∴CH=，即PC+PQ的最小值为．22．（2021·重庆南开中学九年级期中）如图，在△ABC中，D为AB中点，连接CD，将△BCD沿直线CD翻折至△ABC所在平面内得△B′CD，连接BB′，与CD交于点E．若AB′＝BB′＝4，∠ABC＝60°，则点C到BD的距离为________．【答案】【解析】解：∵D为AB中点，∴AD＝BD，∵将△BCD沿直线CD翻折至△ABC所在平面内得△B′CD，∴BD＝DB'＝AD，BE＝B'E，BB'⊥CD，∴∠AB'B＝90°，∵AB′＝BB′＝4，∴∠ABB'＝45°，BE＝2，∴∠EDB＝∠DBE＝45°，∴DE＝BE＝2，∴BD＝2，如图，过点C作CH⊥BD于H，∴∠CDH＝∠DCH＝45°，∴CH＝DH，∵∠ABC＝60°，∴∠BCH＝30°，∴BC=2BH，CH=∴BH＝=CH，∵BD＝BH+DH＝CH+CH＝2，∴CH＝3﹣，∴点C到BD的距离为3﹣，故答案为3﹣．23．（2021·江苏·南京郑和外国语学校九年级期中）问题情境：如图1，P是⊙O外的一点，直线PO分别交⊙O于点A，B，则PA是点P到⊙O上的点的最短距离．（1）探究证明：如图2，在⊙O上任取一点C（不与点A，B重合），连接PC，OC．求证：PA＜PC．（2）直接应用：如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，以BC为直径的半圆交AB于D，P是弧CD上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是．（3）构造运用：如图4，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A1MN，连接A1B，则A1B长度的最小值为．（4）综合应用：如图5，平面直角坐标系中，分别以点A（﹣2，3），B（4，5）为圆心，以1，2为半径作⊙A，⊙B，M，N分别是⊙A，⊙B上的动点，P为x轴上的动点，直接写出PM+PN的最小值为．【答案】（1）见解析；（2）；（3）﹣1；（4）7.【解析】解：（1）证明：如图1，∵PO﹣OC＜PC，∴（AP+OA）﹣OC＜PC，∵OA＝OC，∴AP＜PC；（2）如图2，连接OA角半⊙O于P，则AP最小，在Rt△AOC中，OA＝＝＝，∴AP＝OA﹣OP＝，故答案为：；（3）如图3，连接BM，交⊙M（半径是1）是A1，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∵∠BAM＝60°，∴△ABD是等边三角形，∵M是AD的中点，∴∠AMB＝90°，∴BM＝AB•sin60°＝，∴A1B＝-1；故答案为：﹣1；（4）如图4，作点A关于x轴的对称点C，连接BC，交⊙B于点N，交x轴于点P，连接PA交⊙A于M，∴PA＝PC，∴PA+PB＝PC+PB＝BC，∵C（﹣2，﹣3），B（4，5），∴BC＝＝10，∴PM+PN＝PA+PB﹣AM﹣BN＝10﹣1﹣2＝7，故答案为：7．24．（2021·浙江·温州市第十二中学九年级期中）如图，在中，，点以每秒2个单位长度的速度从点出发，沿方向向终点匀速运动，同时点Q以每秒1个単位长度的速度从点出发，沿方向向终点匀速运动，连结．设运动的时间为秒．（1）求的长（用含的代数式表示）．（2）当秒时，求△APQ的面积．（3）①如图2，连结，当为直角三角形时，求所有满足条件的值．②如图3，当点关于的对称点落在直线上时，求的值．【答案】（1）；（2）；（3）①或；②【解析】解：（1）由勾股定理可得：，由题意可得：，则，故答案为；（2）作，如下图：由题意可得：，由三角函数的定义可得，即，解得故答案为；（3）①由题意可得：，，，当时，由勾股定理可得：，则：解得：，符合题意；当时，作，如下图：则，，∴∴∴由三角函数的定义可得，，解得，则即，解得，符合题意故答案为或②连接交于点，如下图：由题意可知：，又∵∴∴由①得，，∴，化简得：解得或（负值舍去）∴故答案为题型二等腰三角形1．（2021·湖北·洪湖实验初中九年级期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AB=6，将Rt△ABC绕点C顺时针旋转到Rt△A’B’C．当A’、B’、A三点共线时，AA’=（）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：由在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AB=6，得∠BAC=30°，BC=3．由旋转的性质，得A′B′=AB=6，∠A′=∠BAC=30°，∠A′B′C=∠B=60°，AC=A′C．由等腰三角形的性质，得∠CAB′=∠A′=30°．由邻补角的定义，得∠AB′C=180°-∠A′B′C=120°．由三角形的内角和定理，得∠ACB′=180°-∠AB′C-∠B′AC=30°．∴∠B′AC=∠B′CA=30°，AB′=B′C=BC=3．A′A=A′B′+AB′=6+3=9，故选：D．2．（2021·湖南·衡阳市实验中学九年级期中）如图，已知为△ABC的角平分线，//交于，如果，那么等于（）A． B． C． D．2【答案】B【解析】解：∵DE∥AB，

∴∠ADE=∠BAD，

∵AD为△ABC的角平分线，

∴∠BAD=∠EAD，

∴∠EAD=∠ADE，

∴AE=DE，

∵，

∴，

∵DE∥AB，

∴△CDE∽△CBA，

∴，

∴．

故选：D．3．（2021·重庆南川·九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C，此时点A′恰好在AB边上，则点B′与点B之间的距离为（）A．10 B．20 C．10 D．10【答案】D【解析】解：连接BB'，如图，∵∠ACB=90°，∠A=60°，AC=10，∴BC=AC=，∵△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C，此时点A′恰好在AB边上，∴CA=CA'，CB=CB'，∠ACA'=∠BCB'，∵CA=CA'，∠A=60°，∴△CAA'为等边三角形，∴∠ACA'=60°，∴∠BCB'=60°，∴△CBB'为等边三角形，∴BB'=CB=，即点B′与点B之间的距离为．故选:D．4．（2021·湖北宜城·九年级期中）如图，在圆内有折线，其中，，，则的长为（）A．16 B．20 C．18 D．22【答案】B【解析】延长交于，作于．，，△ADB为等边三角形，，，又，，，，．故选：B．5．（2021·山东城阳·九年级期中）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝8cm，则菱形ABCD的面积是（）cm2A．16 B．32 C．64 D．32【答案】B【解析】解：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD=4cm，AC⊥BD，AO=AC，OB=BD，∵∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD=AB=8cm，∴OB=4cm，∴cm，∴AC=cm，∴菱形ABCD的面积是，故选：B．6．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点E是线段上的一个动点（与点A不重合），点P是点A关于BE的对称点．在点E的运动过程中，能使得△PCB为等腰三角形的点E的位置共有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】A【解析】解：分三种情况：①以BC为底边时，是BC的垂直平分线与以B为圆心BA为半径的圆的交点，此时的情况交点只有一个；②以BP为底边，C为顶点时，有一个，是以B为圆心BA为半径的圆与以C为圆心BC为半径的圆的交点；③以CP为底，B为顶点时，没有，因为以B为圆心BA为半径的圆与以B为圆心BC为半径的圆没有交点，综上满足要求的P有2个，故选：A．7．如图，在三角形ABC中，AB＝AC，BC＝6，三角形DEF的周长是7，AF⊥BC于F，BE⊥AC于E，且点D是AB的中点，则AF＝（）A． B． C． D．7【答案】B【解析】解：∵AF⊥BC，BE⊥AC，D是AB的中点，∴DE=DF=AB，∵AB=AC，AF⊥BC，∴点F是BC的中点，∠AFB=90°，∴BF=FC=3，∵BE⊥AC，∴EF=BC=3，∴△DEF的周长DE+DF+EF=AB+3=7，∴AB=4，在Rt△ABF中，由勾股定理知，AF=故选：B．8．如图，四边形是边长为6的正方形，点E在边CD上，DE＝2，过点E作EF∥BC，分别交AC、AB于点G、F，M、N分别是AG、BE的中点，则MN的长是（）A．2 B．2 C． D．5【答案】C【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠BCD＝90°∵EF∥BC，∴∠BFE+∠ABC＝180°，∴∠BFE＝90°，∴四边形BCEF为矩形，连接FM，FC，如图：∵N是BE的中点，四边形BCEF为矩形．∴点N为FC的中点，BE＝FC．∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC＝45°，又∵∠AFG＝90°，∴△AFG为等腰直角三角形．∵M是AG的中点，∴AM＝MG，∴FM⊥AG，∴△FMC为直角三角形，∵点N为FC的中点，∴MN＝FC，∵四边形ABCD是边长为6的正方形，DE＝2，∴BC＝CD＝6，CE＝4，在Rt△BCE中，由勾股定理可得BE＝=2，∴FC＝2，∴MN＝FC＝．故选：C．9．（2021·四川省宜宾市第二中学校一模）如图，以△ABC的三边为边分别作等边、、，则下列结论正确的是（）A．B．四边形为矩形C．四边形为菱形D．当，时，四边形是正方形【答案】A【解析】解：∵△ABE、△BCF为等边三角形，∴AB＝BE＝AE，BC＝CF＝FB，∠ABE＝∠CBF＝60°，∴∠ABE−∠ABF＝∠FBC−∠ABF，即∠CBA＝∠FBE，在△ABC和△EBF中，，∴△ABC≌△EBF（SAS），∴EF＝AC，又∵△ADC为等边三角形，∴CD＝AD＝AC，∴EF＝AD＝DC，同理可得△ABC≌△DFC，∴DF＝AB＝AE＝DF，∴四边形AEFD是平行四边形，故B、C选项错误；∴∠FEA＝∠ADF，∴∠FEA＋∠AEB＝∠ADF＋∠ADC，即∠FEB＝∠CDF，在△FEB和△CDF中，．∴△FEB≌△CDF（SAS），故选项A正确；若AB＝AC，∠BAC＝120°，则有AE＝AD，∠EAD＝120°，此时AEFD为菱形，选项D错误故选A．10．（2021·湖南师大附中博才实验中学九年级开学考试）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E是BD上的一点，连接EC，过点B作BG⊥CE于点G，交AC于点H，EF⊥EC交AB于点F．若正方形ABCD的边长为4，下列结论：①OE＝OH；②EF＝EC；③当G为CE中点时，BF＝；④BG•BH＝BE•BO，其中正确的是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【答案】D【解析】解：∵BG⊥CE，EF⊥EC，∴∠FEC＝∠BGC＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AO＝OC＝OB＝OD，AC⊥BD，∵∠ECO+∠GHC＝90°＝∠OBH+∠BHO，∠BHO＝∠CHG，∴∠OBH＝∠ECO，又∵BO＝CO，∠BOH＝∠COE＝90°，∴△BOH≌△COE（ASA），∴OE＝OH，故①正确；如图，过点E作EP⊥BC于P，EQ⊥AB于Q，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABD＝∠CBD＝45°，又∵EP⊥BC，EQ⊥AB，∴EQ＝EP，又∵EP⊥BC，EQ⊥AB，∠ABC＝90°，∴四边形BPEQ是正方形，∴BQ＝BP＝EP＝QE，∠QEP＝90°＝∠FEC，∴∠QEF＝∠PEC，又∵∠EQF＝∠EPC＝90°，∴△QEF≌△PEC（ASA），∴QF＝PC，EF＝EC，故②正确；∵EG＝GC，BG⊥EC，∴BE＝BC＝4，∴BP＝EP＝2，∴PC＝4﹣2＝QF，∴BF＝BQ﹣QF＝2﹣（4﹣2）＝4﹣4，故③正确；∵∠BOH＝∠BGE＝90°，∠OBH＝∠GBE，∴△BOH∽△BGE，∴BH•BG＝BE•BO，故④正确，故选：D．11．（2021·江苏宿迁·九年级期中）我们将能完全覆盖某平面图形的圆称为该平面图形的覆盖圆，其中能完全覆盖平面图形的最小的圆称为该平面图形的最小覆盖圆，则边长为4的等边三角形的最小覆盖圆的面积是________．【答案】【解析】解：等边三角形的最小覆盖圆是等边三角形的外接圆，过A作AD⊥BC于D，过B作BE⊥AC于E，AD与BE相交于O，以点O为圆心，OB长为半径的圆是等边三角形的外接圆，∵△ABC为等边三角形，BE⊥AC，AD⊥BC，∴AE=CE=，∴BE平分∠CBA，∴∠DBE=∠ABE=，在Rt△BCE中，∴BE=，∵BO=2OE，∴2OE+OE=，∴OE=，∴OB=2OE=，S⊙O=．故答案为：．12．（2021·北京市月坛中学九年级期中）将含有30°角的直角三角板OAB如图放置在平面直角坐标系中，OB在x轴上，若OA＝2，将三角板绕原点O顺时针旋转90°，则点A的对应点A′的坐标为__________．【答案】【解析】解：如图，作A‘C⊥x轴∵三角板绕原点O顺时针旋转90°，∴旋转后OA′与y轴夹角为30°，∴∠OA′C=30°∵OA＝2，∴OA′＝2，∴OC=2即点A′的横坐标为，∴A′C=即纵坐标为，所以，点A′的坐标为．故答案：．13．（2021·湖北赤壁·九年级期中）如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点D为BC边上的中点，以点D为顶点作正方形DEFG，且DE＝BC，连接AE，AG．若将正方形DEFG绕点D旋转一周，当AE取最小值时，AG的长为____．【答案】【解析】解：连接AD，

∵△ABC是边长为2的等边三角形，点D为BC边上的中点，∴,，在Rt△ABD中，AD＝＝，

当点E在DA延长线上时，AE＝DE−AD．

此时AE取最小值，∴在Rt△ADG中，AG＝；

故答案为：．14．（2021·北京师范大学亚太实验学校九年级期中）如图1，在△ABC中，AB>AC，D是边BC上的动点．设B，D两点之间的距离为x，A，D两点之间的距离为y，表示y与x的函数关系的图象如图2所示．线段AC的长为_________________，线段AB的长为____________．【答案】【解析】解：从图象看，当x=1时，y=，即BD=1时，AD=，当x=7时，y=，即BD=7时，C、D重合，此时y=AD=AC=，则CD=6，即当BD=1时，△ADC为以点A为顶点腰长为的等腰三角形，如下图：过点A作AH⊥BC于点H，在Rt△ACH中，，则，在Rt△ABH中，，故答案为：，．15．（2021·北京八十中九年级期中）如图，AB是⊙O的直径，弦，分别过M、N作AB的垂线，垂足为C、D，以下结论①AC＝BD；②AM＝BN；③若四边形MCDN是正方形，则MN＝AB；④若M为弧AN的中点，则D为OB中点．所有正确结论的序号是___．【答案】①②④【解析】解：连接OM、ON，AM如图，∵MC⊥AB、ND⊥AB，∴∠OCM=∠ODN=90°，∵，∴∠CMN+∠MCD=180°，∴∠CMN=90°，∴四边形CMND是矩形，∴CM=DN，在Rt△OMC和Rt△OND中，，∴Rt△OMC≌Rt△OND（HL），∴OC=OD，∠COM=∠DON，∴，故②正确，∵OA=OB，OC=OD，∴AC=BD，故①正确，当四边形MCDN是正方形时，CM=2OC，∴OM=OC，∴AB=2OM=OC=MN，故③错误，若M是AN的中点，连接BN，而AM=∴∠AOM=∠MON=∠BON=60°，∵ON=OB，∴△ONB是等边三角形，∵ND⊥OB，∴OD=DB，故④正确．故答案为：①②④．16．（2021·广东普宁·九年级期中）如图，在矩形ABCD中，，点E，F分别在BC，CD上，将沿AE折叠，使点B落在AC上的点处，又将沿EF折叠，使点C落在直线与AD的交点处，______．【答案】【解析】解：连接，如图所示：∵将沿AE折叠，使点B落在AC上的点处，又将沿EF折叠，使点C落在直线与AD的交点处，∴，∴，在矩形ABCD中，AD∥BC，CD=AB，∠B=∠D=90°，∴∠3=∠2，∴∠1=∠3，由折叠的性质可得：，∵，∴△CC＇B＇≌△CC＇D（AAS），∴，∵，∴，∴是对角线AC的中点，即，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴；故答案为．17．（2021·河南义马·九年级期中）如图，在Rt△ABC中，，，将△ABC绕点按逆时针方向旋转后得到△AEF,EF交于点．若，则△ABC的周长是多少？【答案】

【解析】在Rt△ABC中，，△ABC绕点按逆时针方向旋转后得到△AEF，，△AED是等腰直角三角形．△ABC的周长18．（2021·广西容县·九年级期中）如图，在四边形中，，，，求四边形的面积．【答案】18【解析】解：延长CB至点E，使得BE=DC，如图所示：∵，∴，∵，∴，∵，∴△ADC≌△ABE，∴∠DAC=∠BAE，AC=AE，∵，∴，即，∴△ACE是等腰直角三角形，∵，∴．19．（2021·山西吕梁·九年级期中）如图，D是等腰三角形ABC底边的中点，过点A、B、D作．（1）求证：AB是⊙O的直径；（2）延长CB交⊙O于点E，连接DE，求证：DC=DE．【答案】（1）证明过程见解析；（2）证明过程见解析【解析】（1）连接BD，∵，，∴，∴，∴AB是⊙O的直径；（2）∵，∴，由圆周角定理可得：，∴，∴．20．（2021·广东潮阳·九年级期中）如图①，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC（1）试探索线段BC，DC，EC之间满足的等量关系，并证明你的结论．（2）如图②，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论．【答案】（1）BD=DC+CE，见解析；（2）BD2+CD2=2AD2，见解析【解析】解：（1）∵将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，∴∠DAE=90°，AD=AE，∴∠BAC=∠DAE，∵∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴CE=BD，∴BC=CD+BD=CD+CE；故答案为：BC=CD+CE．（2）CD2+BD2=2AD2，理由如下：连接CE，∵∠DAE=90°，AD=AE，∴DE=AD，即DE2=2AD2，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE，∴CE=BD，∠ACE=∠B，∴∠DCE=∠ACB+∠ACE=∠ACB+∠B=90°，∴CD2+CE2=DE2，∴CD2+BD2=2AD2．21．（2021·福建·福州十八中九年级期中）如图，⊙O中两条弦AB⊥CD交于点E．（1）M是CD的中点，OM＝3，CD＝12，求⊙O的半径长；（2）点F在CD上，且CE＝EF，求证：AF⊥BD．【答案】（1）圆O的半径长为；（2）证明见解析．【解析】解：（1）连接OD，如图：∵M是CD的中点，CD=12，∴DM=CD=6，OM⊥CD，∠OMD=90°，Rt△OMD中，，且OM=3，∴，即圆O的半径长为；（2）连接AC，延长AF交BD于G，如图：∵AB⊥CD，CE=EF，∴AB是CF的垂直平分线，∴AF=AC，∴∠FAE=∠CAE，∵BC=∴∠CAE=∠CDB，∴∠FAE=∠CDB，Rt△BDE中，∠CDB+∠B=90°，∴∠FAE+∠B=90°，∴∠AGB=90°，∴AG⊥BD，即AF⊥BD．22．（2021·浙江·温州市第四中学九年级期中）已知：如图1，在长方形中，，，，点P是边上的动点，将翻折得，延长交于点F，连结．（1）求证：．（2）如图2，当时，点F与点C刚好重合．求此时的长．（3）如图3，连结，在点P运动过程中，当和△PCE面积相等时，则．（直接写出答案）【答案】（1）见解析；（2）；（3）2或8【解析】解：（1）∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∴∠APB=∠FBP，由翻折的性质可知，∠APB=∠FPB，∴∠FBP=∠FPB，∴FP=FB；（2）当时，△BEC恰为直角三角形，根据翻折的性质得：AB=BE=4，AP=PE，在Rt△BEC中，BE=4，BC=10，∴，设AP=PE=x，则，，在Rt△PDC中，，即：，解得：，∴此时AP长为；（3）①当点P在靠近A点时，如图所示，作CQ⊥PF延长线于Q点，则∠Q=∠BEF=90°，∵，，∴当和△PCE面积相等时，有BE=CQ，在△BEF和△CQF中，∴△BEF≌△CQF(AAS)，∴BF=CF，EF=QF，∴此时，F点为BC的中点，BF=BC=5，∵BE=AB=4，∴在Rt△BEF中，，由（1）可知，BF=PF，∴PF=5，∴PE=PF-EF=2，∴AP=2；②当点P在靠近D点时，如图所示，作CQ⊥PE于Q点，此时，当和△PCE面积相等时，仍有BE=CQ，则由①可知，此时△BEF≌△CQF仍然成立，BF=CF，∴点F为BC的中点，CF=BC=5，∵翻折性质可得：AB=BE=CD，∴CQ=CD=4，∴由勾股定理得：FQ=3，在Rt△CPQ和Rt△CPD中，∴Rt△CPQ≌Rt△CPD(HL)，∴PQ=PD，∠DPC=∠FPC，∵AD∥BC，∴∠DPC=∠FCP，∴∠FCP=∠FPC，∴FP=FC=5，∴PQ=FP-FQ=5-3=2，∴PD=2，∴AP=AD-PD=10-2=8；综上分析，当和△PCE面积相等时，AP=2或8，故答案为：2或8．题型三旋转1．（2021·山东·禹城市教育和体育局九年级期中）如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，，．将△AOB绕点逆时针旋转90°，点B的对应点的坐标是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：如图，作轴于，∵∠AOB=∠B=30°，OA=2，∴OB=AB=2，由旋转的性质得，，∴，，，∴，，，故选A．2．（2021·青海互助·九年级期中）下列说法正确的是（）A．全等的两个图形成中心对称 B．旋转后能够重合的两个图形成中心对称C．成中心对称的两个图形旋转后必重合 D．旋转后的图形对应线段平行【答案】C【解析】A.全等的两个图形不一定成中心对称，故该选项不正确，不符合题意；B.旋转180°后能够重合的两个图形成中心对称，故该选项不正确，不符合题意；C.成中心对称的两个图形旋转后必重合，故该选项正确，符合题意；D.旋转180°后的图形对应线段平行，故该选项不正确，不符合题意；故选C3．（2021·浙江·台州市书生中学九年级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，将△ABC绕着点A顺时针方向旋转得△ADE，AB，CE相交于点F，若AD∥CE时，则∠BAE的大小是（）A．20° B．25° C．30° D．35°【答案】C【解析】解：∵将△ABC绕点A顺时针方向旋转得△ADE，

∴∠DAE=∠BAC=50°，AE=AC，

∵AD∥CE，

∴∠DAE=∠AEC=50°，

∵AE=AC，

∴∠AEC=∠ACE=50°，

∴∠EAC=180°-50°-50°=80°，

∴∠BAE=∠EAC-∠BAC=80°-50°=30°，

故选：C．4．在平面直角坐标系中，A（1，0），B（0，﹣3），点B绕点A逆时针旋转90°得到点C，则点C的坐标是（）A．（4，0） B．（4，﹣1） C．（3，0） D．（3，﹣1）【答案】B【解析】解：如图所示，点B绕点A逆时针旋转90到点C，∵A坐标为（1，0），B坐标为（0，-3），∴OA=1，OB=3，根据旋转的性质，AB=AC，∵∠BAC=90∴∠BAO+∠CAD=90，∵∠BAO+∠ABO=90，∴∠ABO=∠CAD．在△AOB和△ADC中，，∴（AAS），∴AD=OB=3，CD=OA=1，∴OD=4，∴C（4，-1）．故选：B．5．（2021·湖北武昌·九年级期中）如图，点E是菱形ABCD的对角线BD上一动点，将AE绕点A逆时针旋转至点F，连接CF、DF，若，，设的面积为S，则关于S说法正确的是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】过F作MN⊥AB于M，交CD于N，过D作DH⊥AB于H，过A作AG⊥BD于G,∵菱形ABCD，，∴，，，CD∥AB∴∴,∵过F作MN⊥AB于M，交CD于N，过D作DH⊥AB于H，∴四边形DHMN为矩形∴∵将AE绕点A逆时针旋转至点F∴，∵∴∵过A作AG⊥BD于G,∴∴△AMF≌△EGA∴∵∴∴∴∵CD∥AB,MN⊥AB于M∴MN⊥CD∴故选A．6．（2021·重庆市求精中学校九年级期中）如图，点E在边长为5的正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，连接EF，过点A作FE的垂线，垂足为点H，与BC交于点G．若CG＝2，则CE的长为（）A． B． C．4 D．【答案】B【解析】解：如图所示，连接EG，由旋转可得，△ADE≌△ABF，∴AE＝AF，DE＝BF，又∵AG⊥EF，∴H为EF的中点，∴AG垂直平分EF，∴EG＝FG，设CE＝x，则DE＝5﹣x＝BF，FG＝8﹣x，∴EG＝8﹣x，∵∠C＝90°，∴Rt△CEG中，CE2+CG2＝EG2，即x2+22＝（8﹣x）2，解得x＝，∴CE的长为，故选：B．7．如图，在△ABC中，，点D为△ABC内一点，，连接，将绕点A按逆时针方向旋转，使与重合，点D的对应点为点E，连接交于点F，则的长为（）．A． B． C．2 D．3【答案】B【解析】解：过点A作AG⊥DE于点G，

由旋转知：AD=AE，∠DAE=90，∠CAE=∠BAD=15，∴∠AED=∠ADG=45，在△AEF中，∠AFD=∠AED+∠CAE=60，在Rt△ADG中，，在Rt△AFG中，，，∴，故选：B．8．（2021·湖北十堰·九年级期末）把一副三角板如图1放置，其中∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，斜边AB＝6，CD＝8．把三角板DCE绕着点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图2），此时AB与CD1交于点O，则线段AD1的长度为（）A．4 B． C．6 D．【答案】D【解析】解：由题意易知：∠CAB=45°，∠ACD=30°．若旋转角度为15°，则∠ACO=30°+15°=45°．∴∠AOC=180°-∠ACO-∠CAO=90°∴由三线合一定理可得O为AB的中点在等腰Rt△ABC中，AB=6，则AO=OC=3．在Rt△AOD1中，OD1=CD1-OC=5，由勾股定理得．故选D.9．（2021·河南永城·二模）如图，在平面直角坐标系中，正方形纸片ABCD的顶点A的坐标为，在纸片中心挖去边长为的正方形，将该纸片以О为旋转中心进行逆时针旋转，每次旋转45°，则第258次旋转后，点C和点的坐标分别为（）A．， B．，C．， D．，【答案】D【解析】解：∵该纸片以О为旋转中心进行逆时针旋转，每次旋转45°，∴旋转一周360°÷45°=8次，∵258=32×8+2，∴第258次旋转后，实际是将纸片逆时针旋转32周后再转90°，∵正方形纸片ABCD对角中点位于原点，∴点A与点C关于点O成中心对称，∵点A（-1，3），∴点C（1，-3），∵A1B1=，∵OA1=OB1，根据勾股定理，，∴，∴B1（-1,0），连结OD与OC，过D作ED⊥x轴于E，CF⊥y轴于F，绕点O逆时针旋转90°后点C位置转到点D位置，∵四边形ABCD为正方形，OD=OC，∠FOE=∠COD=90°，∴∠FOC+∠COE=∠COE+∠EOD=90°，∴∠FOC=∠EOD，在△FOC和△EOD中，，∴△FOC≌△EOD（AAS），∴CF=DE=1，OF=OE=3，∴点D（3，1），∴点B1转到C1位置，点C1（0，-1），∴第258次旋转后，点C和点的坐标分别为（3，1）与（0，-1）．故选择D．10．（2021·黑龙江大庆·中考真题）如图，是线段上除端点外的一点，将△ADF绕正方形的顶点顺时针旋转，得到．连接交于点．下列结论正确的是（）

A． B． C． D．【答案】D【解析】解：根据旋转的性质知：∠EAF=90°，故A选项错误；根据旋转的性质知：∠EAF=90°，EA=AF，则△EAF是等腰直角三角形，∴EF=AE，即AE：EF=1：，故B选项错误；若C选项正确，则，即，∵∠AEF=∠HEA=45°，∴△EAF△EHA，∴∠EAH∠EFA，而∠EFA=45°，∠EAH45°，∴∠EAH∠EFA，∴假设不成立，故C选项错误；∵四边形ABCD是正方形，∴CD∥AB，即BH∥CF，AD=BC，∴EB：BC=EH：HF，即EB：AD=EH：HF，故D选项正确；故选：D11．（2021·四川江油·九年级期中）如图，正方形ABCD的边长为，点A与原点重合，点B在y轴的正半轴上，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°至正方形位置，与CD相交于P，则直线的解析式为___．【答案】【解析】过点作轴，轴，过点作，轴，根据旋转的性质得，∵正方形ABCD的边长为，∴，，∴，在中，,∴，，∴，∴，设直线的直线解析式为，∴，解得：，∴；故答案是：．12．（2021·福建连城·九年级期中）将点绕坐标原点O顺时针旋转90°后得到的点的坐标是______．【答案】【解析】解：过点A作AD⊥y轴于点D，过点B作BC⊥y轴于点C，∵点A(3，4)绕原点O顺时针旋转90°后得点B，∴∠AOB=90°，OA=OB，∴∠AOD+∠COB=90°，∵∠COB+∠B=90°，∴∠AOD=∠B，在△OCB和△ADO中，，∴△OCB≌△ADO（AAS），∴BC=OD=4，OC=AD=3，∵点B在第四象限，∴点B的坐标是(4,-3)．故答案为(4,-3)．13．（2021·黑龙江铁锋·九年级期中）如图，已知点A在第一象限，AB垂直x轴，点B为垂足，，，，将点A绕原点O顺时针旋转60°后的对应点为，将点再绕原点O顺时针旋60°后的对应点为，按此作法继续下去，则点的坐标是______．

【答案】【解析】解：∵将点A绕原点O顺时针旋转60°后的对应点为，将点再绕原点O顺时针旋60°后的对应点为，按此作法继续下去，∴得出每旋转次坐标一循环，∵2021÷6=336余5，∴点的坐标与点的坐标相同，即可得出点与点关于y轴对称，∵，，∴，∴，∴点的坐标为；故答案为．14．（2021·辽宁铁东·九年级期中）如图，△ABC绕点B顺时针旋转得到△DBE，点A与点D对应，点C与点E对应，DB，DE分别与AC边交于G，F两点，连接BF，若DE垂直平分BC，下列结论：①∠E＝30°；②BF⊥BE；③△ABG∽△DBF；④GF•BD＝DG•BF．其中结论正确的是___．（填序号即可）【答案】①②④【解析】解：连接CE，如图：

∵△DBE是△ABC绕点B顺时针旋转得到的，∴AB=DB，BC=BE，∠A=∠D，∠BEF=∠BCF，∵DE垂直平分BC，∴BF=FC，EB=EC，∴EB=BC=EC，即△BCE是等边三角形，且DE平分∠BEC，∴∠BEF=30°，故①正确；∵BF=FC，∠BEF=∠BCF=30°，∠CBE=60°，∴∠FBC=∠BCF=30°，∴∠FBE=∠FBC+∠CBE=30°+60°=90°，∴BF⊥BE，故②正确；∵∠FBC=∠BCF=30°，DE垂直平分BC，∴∠CFE=∠DFG=∠BFE=∠AFB=60°，∵∠A=∠D，∴∠A+∠ABG=∠D+∠DFG，∴∠ABG=∠DFG=60°，而∠DBF=∠BFE-∠D=60°-∠D<60°，∴△ABG与△DBF不相似，故③不正确；∵∠AFB=∠DFG=60°，又∠A=∠D，∴△AFB∽△DFG，∴，又AB=DB，∴，∴GF•BD＝DG•BF，故④正确．综上，①②④正确．故答案为：①②④．15．（2021·山东郯城·九年级期中）如图，在4×4的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．（1）在图1中，画出一个与△ABC成中心对称的格点三角形；（2）在图2中，画出△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°后的三角形．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】解：（1）如图1，△DCE即为所求；（2）如图2，△DCE即为所求．16．（2021·河南淮滨·九年级期中）如图，正方形网格中，△ABC的顶点及点O都在格点上．（1）画出△ABC关于点O中心对称的图形△A'B'C'：（2）画出△ABC绕点O顺时针旋转90°的图形△A″B″C″；（3）写出线段A'C'和线段A″C″的关系．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）线段A'C'和线段A″C″垂直且相等．【解析】（1）如图，△A'B'C'为所作；（2）如图，△A″B″C″为所作；（3）线段A'C'和线段A″C″垂直且相等，由中心对称可知A′C′＝AC，A′C′∥AC；由旋转90°的性质得到A′′C′′＝AC，A′′C′′⊥AC．17．（2021·广东白云·九年级期中）如图，△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE，CF相交于点D．（1）求证：BE＝CF；（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．【答案】（1）见解析；（2）BD＝2﹣2．【解析】证明：（1）∵△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，∴AE＝AB，AF＝AC，∠EAF＝∠BAC，∴∠EAF+∠BAF＝∠BAC+∠BAF，即∠EAB＝∠FAC，∵AB＝AC，∴AE＝AF，∴△AEB可由△AFC绕点A按顺时针方向旋转得到，∴BE＝CF；（2）∵四边形ACDE为菱形，AB＝AC＝2，∴DE＝AE＝AC＝AB＝2，，∴∠AEB＝∠ABE，∠ABE＝∠BAC＝45°，∴∠AEB＝∠ABE＝45°，∴△ABE为等腰直角三角形，∴BE＝AC＝2，∴BD＝BE﹣DE＝2﹣2．18．（2021·陕西富县·九年级期中）如图①，在等腰Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D，E在斜边BC上，∠DAE＝45°，将△ABD绕点A逆时针旋转90°至△ACF，连接EF．（1）求证：△ADE≌△AFE；（2）如图②，在等腰△ABC中，AB＝