第6课时空间向量与立体几何一轮复习讲义

第6课时空间向量与立体几何考点点击空间向量及其运算，空间向量的应用考向定位空间向量的数量积及其坐标运算，是高考考查的重点，多以选择、填空为主；利用空间向量证明平行与垂直问题；利用空间向量求空间角是重中之重，多以解答题的形式出现。考纲解读1、空间向量及其运算①了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。②掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。③掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。2、空间向量的应用①理解直线的方向向量与平面的法向量。②能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系。③能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）。④能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究几何问题中的作用。考点精讲一、空间向量的线性运算1．空间向量的概念空间向量的概念包括空间向量、相等向量、零向量、向量的长度（模）、共线向量等．2．空间向量的加法、减法和数乘运算平面向量中的三角形法则和平行四边形法则同样适用于空间向量的加（减）法运算．加法运算对于有限个向量求和，交换相加向量的顺序其和不变．三个不共面的向量的和等于以这三个向量为邻边的平行六面体的对角线所表示的向量．加法和数乘运算满足运算律：①交换律，即；②结合律，即；③分配律，即及（其中均为实数）．3．空间向量的基本定理（１）共线向量定理：对空间向量的充要条件是存在实数，使．（２）共面向量定理：如果空间向量不共线，则向量c与向量共面的充要条件是，存在惟一的一对实数，使．（３）空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组x，y，z，使．其中是空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量，该定理可简述为：空间任一向量p都可以用一个基底惟一线性表示（线性组合）．4．两个向量的数量积两个向量的数量积是，数量积有如下性质：①（e为单位向量）；②；③；④．数量积运算满足运算律：①交换律，即；②与数乘的结合律，即；③分配律，即．二、空间向量的直角坐标运算1．空间直角坐标系若一个基底的三个基向量是互相垂直的单位向量，叫单位正交基底，用表示；在空间选定一点O和一个单位正交基底，可建立一个空间直角坐标系，作空间直角坐标系时，一般使∠xOy=135°（或45°），∠yOz=90°；在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，称这个坐标系为右手直角坐标系（立体几何中建立的均为右手系）．2．空间直角坐标系中的坐标运算给定空间直角坐标系O－xyz和向量a，存在惟一的有序实数组使，则叫作向量a在空间的坐标，记作．对空间任一点A，存在惟一的，点Ａ的坐标，记作分别叫Ａ的横坐标、纵坐标、竖坐标．3．空间向量的直角坐标运算律（1）若，则，，，，．（2）若，则．即一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．4．直线的方向向量与向量方程（１）位置向量：已知向量a，在空间固定一个基点O，作向量，则点A在空间的位置被所惟一确定，称为位置向量．（２）方向向量与向量方程：给定一个定点Ａ和一个向量，再任给一个实数t，以A为起点作向量，则此向量方程称为动点P对应直线l的参数方程，向量a称为直线l的方向向量．三、直线、平面的法向量及向量在平面内的射影如果表示向量a的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面（记作），向量a叫做平面的法向量．法向量有两个相反的方向．法向量的具体应用方法，可以归结为：1．空间的线线、线面、面面垂直关系，都可以转化为空间两个向量的垂直问题来解决（１）设a、b分别为直线的一个方向向量，那么；（２）设a、b分别为平面的一个法向量，那么；（３）设直线l的方向向量为a，平面的法向量为b，那么．2．空间图形的平行关系包括直线与直线平行，直线与平面平行，平面与平面平行，都可以用向量方法来研究（１）设a、b是两条不重合的直线，它们的方向向量分别为a、b，那么．（２）直线与平面平行可转化为直线的方向向量与平面的法向量垂直，也可用共面向量定理来证明线面平行问题．（３）平面与平面平行可转化为两个平面的法向量平行．高.考-资.源-网3．在立体几何中，涉及的角有异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角等．关于角的计算，均可归结为求两个向量的夹角空间角主要有：①线线角：异面直线所成角转化为两条直线所在向量的夹角；②线面角：直线AB与平面所成角为，其中是平面的法向量；③面面角：二面角的大小为或，其中是两个半平面的法向量．斜线与平面所成角是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角（最小角定理）．与最小角定理联系密切的一个重要公式是，要注意其应用！4．立体几何中涉及的距离问题较多，如点与线的距离，点、线与面的距离，两异面直线的距离等，都是学习中的难点，若用向量来处理这类问题，则思路简单，解法固定可利用实现距离与向量之间的转化．设e是直线l的一个单位方向向量，线段AB在l上的投影是，则有，由此可求点到线，点到面的距离问题．空间距离主要有：①点面距：设n是平面的法向量，，则B到的距离为；②线线距：设n是两条异面直线的公垂线的向量，若A，B分别是在上的任意一点，则的距离为；③线面距、面面距．与前面求法相同．基础自测在下列命题中：①若、共线，则、所在的直线平行；②若、所在的直线是异面直线，则、一定不共面；③若、、三向量两两共面，则、、三向量一定也共面；④已知三向量、、，则空间任意一个向量总可以唯一表示为．其中正确命题的个数为 A．0 B．1 C．2 D．32．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量、、是 A．有相同起点的向量 B．等长向量 C．共面向量 D．不共面向量3．已知＝（2，－1，3），＝（－1，4，－2），＝（7，5，λ），若、、三向量共面，则实数λ等于 A． B． C． D．4．直三棱柱ABC—A1B1C1中，若，则 A．+－ B．－+ C．－++ D．－+－5．已知++＝，||＝2，||＝3，||＝，则向量与之间的夹角为 A．30° B．45° C．60° D．以上都不对6．已知△ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，－3，7），C（0，5，1），则BC边上的中线长为 A．2 B．3 C．4 D．5参考答案ACDDCB热点题例例1、如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，底面ABCD，AD=PD，E，F分别CD、PB的中点.（Ⅰ）求证：EF平面PAB；（Ⅱ）设AB=BC，求AC与平面AEF所成角的正弦值大小.ABCDEFxyzP解析：（Ⅰ）证明：建立空间直角坐标系（如图），设AD=PD=1，AB=（），则E(a,0,0),C(2a,0,0),A(0,1,0),B(2a,1,0),P(0,0,1),.得，，.由，得，即，ABCDEFxyzP同理，又，所以，EF平面PAB.（注：此小问所用即向量法证明线面垂直）（Ⅱ）解：由，得，即.得，，.有，，.设平面AEF的法向量为，由，解得.于是.设AC与面AEF所成的角为，与的夹角为.则.所以，AC与平面AEF所成角的正弦值大小为.方法点评：设是平面的法向量，是平面的一条斜线，则与平面所成的角为与法向量成角的余角。即例2、如图,在直四棱柱中,已知,,.(I)设是的中点,求证:;(II)求二面角的余弦值.解:(I)连结，则四边形为正方形，，且，为平行四边形，.（另：向量法证明线面平行：易得，可求得面的一个法向量为，由，又，所以）(II)以D为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，不妨设，则设为平面的一个法向量，由得，取，则.设为平面的一个法向量，由得，取,则.由图知该二面角为锐角，所以所求的二面角的余弦值为方法：设是二面角的面的法向量，则就是二面角的平面角或补角的大小。例3、如图，四面体ABCD中，O、E分别BD、BC的中点,CA=CB=CD=BD=2，（Ⅰ）求证：AO⊥平面BCD；（Ⅱ）求异面直线AB与CD所成角的余弦值大小；（Ⅲ）求点E到平面的距离.(I)证明：连结OC.

∵BO=DO,AB=AD,∴AO⊥BD.在△AOC中，由已知可得AO=1,CO=.

而AC=2,∴AO2+CO2=AC2,∴∠AOC=90°,即AO⊥OC.∴AO平面BCD.（Ⅱ）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则B(1，0，0)，D(-1，0，0)，C(0，，0)，A(0,0,1),E(,,0),∴∴异面直线AB与CD所成角的大小为（Ⅲ）解：设平面ACD的法向量为=(x,y,z),则 ∴令y=1，得=(-)是平面ACD的一个法向量.又∴点E到平面ACD的距离h=（注：考试中的点面距离大都可以使用等体积法简单求得）方法：如右图求出平面的一个法向量的坐标，再求出已知点与平面内任一点构成的向量的坐标，那么到平面的距离例4、如图，在长方体中，求平面的距离。解：，同理，建立如图直角坐标系，,设为平面的法向量，则，不妨设设两平行平面间的距离为则等于到平面的距离例5、如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形，AB∥DC,AC⊥BD,AC与BD相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点，又BO=2,PO=,PB⊥PD.设点M在棱PC上，问M点在什么位置时，PC⊥平面BMD.解析：平面又，，由平面几何知识得：以为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标为，，，，，设，由于三点共线，得，即由对应系数成比例有，则（这里揭示出了设线上一点的方法）平面，，得，所以。，故则M点是靠近C点的三等分点。提醒：向量法特别要注意运算问题，在得点坐标、计算法向量、数量积、模的时候一定要小心。强化训练1、如图，已知点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的对角线BD1上，∠PDA=60°（1）求DP与CC1所成角的大小；（2）求DP与平面AA1D1D所成角的大小。2、如图，在四棱锥中，底面四边长为1的菱形，,,,为的中点。（Ⅰ）求异面直线AB与MD所成角的大小；（Ⅱ）求点B到平面OCD的距离。ABCDOO1ABOCO1D3、如图1，已知ABCDOO1ABOCO1D（Ⅰ）证明：AC⊥BO1；（Ⅱ）求二面角O－AC－O1的大小。4、如图,在六面体中,四边形ABCD是边长为2的正方形,四边形是边长为1的正方形,平面,平面ABCD，DD1=2。(Ⅰ)求证:与AC共面，与BD共面.(Ⅱ)求证:平面(Ⅲ)求二面角的大小.5、如图，在三棱锥中，侧面与侧面均为等边三角形，，为中点．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值．6、如图，是直角梯形，∠＝90°，∥，＝1，＝2，又＝1，∠＝120°，⊥，直线与直线所成的角为60°.（Ⅰ）求证：平面⊥平面;（Ⅱ）求二面角的大小;（Ⅲ）求三棱锥的体积.参考答案1、解：如图，以为原点，为单位长建立空间直角坐标系．则，．连结，．在平面中，延长交于．设，由已知，由ABCDPxyzABCDPxyzH（Ⅰ）因为，所以．即与所成的角为．（Ⅱ）平面的一个法向量是．因为，所以．可得与平面所成的角为．2．解：作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立坐标系,(1)设与所成的角为,,与所成角的大小为(2)设平面OCD的法向量为,则即取,解得设点B到平面OCD的距离为,则为在向量上的投影的绝对值,,.所以点B到平面OCD的距离为3．解:（I）证明由题设知OA⊥OO1，OB⊥OO1. 所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角， 即OA⊥OB.故可以O为原点，OA、OB、OO1 所在直线分别为轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 如图3，则相关各点的坐标是A（3，0，0）， B（0，3，0），C（0，1，）,O1（0，0，）.从而， 所以AC⊥BO1.（II）解：因为所以BO1⊥OC，由（I）AC⊥BO1，所以BO1⊥平面OAC，是平面OAC的一个法向量.设是0平面O1AC的一个法向量，由得.设二面角O—AC—O1的大小为，由、的方向可知，>， 所以cos，>=4.解（向量法）：以D为原点，以DA,DC,所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图，则有A（2，0，0），B（2，2