上海华东师范大学附属东昌中学南校必修二第一章《立体几何初步》检测(包含答案解析)1993

一、选择题1．已知AB是平面外的①在内存在无数多条直线与直线AB平行；一条直线，则下列命题中真命题的个数是（）②在内存在无数多条直线与直线AB垂直；③在内存在无数多条直线与直线AB异面；④一定存在过AB且与垂直的平面A．1个B．2个.C．3个D．4个2．在长方体ABCDABCD中，ABBC2,AA13，E是BC的中点，则直线ED11111与直线BD所成角的余弦值是（）7．287．37．1437．ABCD2814ABCABC中，ABAA3．已知正三棱柱，M是的CC中点，则异面直线AM与11111AB1所成角的大小为（）π．π．π．π．ABCD6432ABCABC，的体积为163，底面积为43，则三棱柱4．已知正三棱柱111ABCABC111的外接球表面积为（）112．56．22428D．ABC．3335．在正方体ABCDABCD，中，M，N，P，Q分别为的中AB，BD，AD，CD11111111MN与PQ所成角的大小是（）点，则异面直线．．．2．6ABCD436．一个底面为正三角形的棱柱的三视图如图所示，若在该棱柱内部放置一个球，则该球的最大体积为（）．43D．83A6B．12C．7．如图，在矩形ABCD中，1，BC3，沿BD将矩形ABCD折叠，连接ABAC，所得三棱锥ABCD正视图和俯视图如图，则三棱锥ABCD中AC长为（）3．210．2AB．3CD2．ABCDABCDBC上的动点，8．如图，在正方体是（）中，点是线段F则下列说法错误的11111A．无论点F在上怎么移动，都有BCAFBD111AE12EFBFBC1AFBD1E．当点移动至中点时，才有与相交于一点，记为点，且1CFBC1AF1BDC160°．当点移动至中点时，直线与平面所成角最大且为DFBC．无论点在上怎么移动，异面直线与所成角都不可能是AFCD30°11l和平面，，下列四个命题中，正确的是（）mn9．设有直线，，m//,n//l//m，则m//n，则．若lm//,//,//AB．若m，则,m,mm//D．若，则,mC．若101．某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为，则该三棱锥的体积为（）4．A38．BC33．D．411PABCCA．空间四边形的各边及对角线长度都相等，、E、F外别是AB、BC、D的中点，下列四个结论中不成立的是（）BC//平面PDF．B．DF平面PAEAC．平面PDE平面ABCD．平面PAE平面ABC．已知直线、都不在平面12ab内，则下列命题错误的是（）//，aB．若ab，则a//，则b//bA．若，a//b．若，，则a//abDb．若，，则bab//Ca二、填空题13(78年~139)．张衡年是中期伟大的天文学家､文学家､数学家､地理学家，他的国东汉时数学著作有《算罔论》，他曾经得出结论：圆周率的平方除以十六等于八分之五，已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点A，B，若线段AB的最小值为31，利用张衡的结论可得该正方体的内切球的表面积为___________.14．已知一个几何体的三视图如图所示，俯视图为等腰三角形，则该几何体的外接球表面积为_________.ABCDABCD15．已知长方体，底面是边长为4的正方形，高为2，点O是底面4123PABC的平面111ABCD的中心，点在以O为球心，半径为1的球面上，设二面角P角为，则tan的取值范围是________.ABCDABCD中，E，，G分别是棱AB，16．如图，在正方体BB，BC的111F111111中点，则下列结论中：①FGBD；②BD面EFG；1③面EFG//面ACCA11；④EF//面CDDC．11正确结论的序号是________.2AO17．正四面体ABCD棱长为，平面BCD，垂足为O，设M为线段AO上一点，且BMC90则二面角MBCO的余弦值为________．ABACAD5，BCBDCD6.点M是线段18．在正三棱锥ABCD中，BM2MC.点是棱AC上的动点，直线与平面所成角为BCDPMPBC上的点，且，则sin的最大值为______.19．如图，正方形BCDE的边长为，已知AB3BCa△ABE，将沿边折起，折BE起后A点在平面BCDE上的D射影为点，则翻折后的几何体中有如下描述：①AB与DE所成角的正ABC平面ADC．切值是2；②AB//CE；③VBACE体积是1a3；④平面6______．（填写你认为正确的序号）其中正确的有20半径为，且过球心，△PAB围绕棱1外接球的．如下图所示，三棱锥PABCPAPA△PAC旋转60后恰好与重合.若PBPABC，则三棱锥的体积为_____________.3三、解答题21．如图，在四棱锥ABCDABCDPABCD中，PA平面，四边形为平行四边形，AB1,BC2，ABC45，AEPCE垂足为．Ⅰ（）求证：平面平面PCD；AEBBAED的大小为150，求侧棱的长．PAⅡ（）若二面角PABCD，底面ABCD为矩形，面ABCD，E、分别为PDF22．如图，四棱锥、BC的中点．PA（）求证：EF//面PCD；1ADPD1，求PBEF的体积．AB2，三棱锥2（）若ABCDABCDADAA1,AB2中，123，点E是AB的中．如图所示，在长方体1111点.1（）证明：平面；BD//ADE11DEAD；112（）证明：DECD的正切值3（）求二面角.124．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为的正方形，ABCD2∠ADP=90°PD=AD，，∠PDC=60°EPD.，为中点1（）求证：平面：PB//ACEEABCD的体积2.（）求四棱锥△ADM25．如图，在矩形ABCD中，2AD，为的中点，将沿AM折起使MDCABADM平面平面ABCM.（）求证：BMAD；12DC（）求直线.与平面所成角的正弦值DABPABCD中，底面ABCD是正方形，平面ABCD，．如图，四棱锥PD26AB2，PD26，O为AC与BD的交点，.E为棱上一点PB（）证明：平面EAC平面；1PBD（）若PD//平面，求三棱锥2BAEC的体积.EAC***【参考答案】试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．CC解析：【分析】根据线面平行，线面垂直，异面直线等有关结论和定义即可判断．【详解】相交，则在内不错误；存在直线与直线AB平行，对于A，若直线AB与平面M，过平面外直线AB上一相交且不垂直，设点AB对于B，若直线AB与平面P作PC，垂足为，则在平面内过点一定可以作一条直线CD，使得CCCDCM，所以CDAB，而在平面内，与直线CD平行的直线有无数条，所以在内存在无数多条直线与直线AB垂直，若直线AB与平面垂直，显然在内存在无数多条直线与直线AB垂直，当直线AB与平面平显然可知在内存在无数多条直行时，线与直线AB垂直，正确；相交，直线的判定定理，在平面M，根据异面AB对于C，若直线AB与平面设内，不过点M的直线与直线AB异面，所以在内存在无数多条直线与直线AB异面，当直线AB与平面平行时，显然可知在内存在无数多条直线与直线AB异面，正确；M，过平面外直线AB上一相交且不垂直，设点AB对于D，若直线AB与平面垂直，若直线AB与平面P作PC，垂足为，所以平面ABC与平面C垂直，则过直线AB的所有平面都与平面垂直，当直线AB与平面平行时，在直线AB上取一C点作PC，垂足为，所以平面ABC与平面垂直，正确．P故真命题的个数是3个．故选：C．【点睛】本题主要考查线面平行，线面垂直，异面直线等有关结论和定义的理解和应用，熟记定义，定理和有关结论是解题的关键，属于中档题．2．CC解析：【分析】DBDE、DE，先证明四边形BBDD为平行1BD//BD，故异面11连接、11四边形，得到11EDEDDB所成的1角，由余弦定理可得答案.直线与BD所成的角即为相交直线与111【详解】DBDE、DE，1连接、11因为棱BB//DDBBDD，所以四边形BBDD1，1为平行四边形，1111所以BD//BD1EDEDDB所成的角即为相交直线与角111，故异面直线与BD所成的11BDE，因为ABAD2,AA3,BECE1，111所以BDDC2BC222，BE32110，1111111ED2DC2CE2415，所以DE2ED2DD25914，11由余弦定理得，从而cosBDEBD2DE2BE28141037.42141411112BDDE11111C故选：【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，关键点是找到异面直线所成的角，考查空间中线线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．3．DD解析：【分析】取中点，连接，先通过平面可得BEAM，再由ACEAE,BE1BEACCA11ACMAAE可得AMAEABEAMAB.AM，即可得出平面，即1111【详解】ACE取中点，连接，AE,BE1ABC为正三角形，BEAC，正三棱柱ABCABCCC中，平面，平面，ABCABCBE1111CCBEACCCC，BE平面，ACCA11，11AM平面ACCA，BEAM，11在直角三角形ACM和直角三角形中，AAE1ACAA,CMAE,ACMAAE，11AEACAMAAE，CAM，则AMAE，2111BEAEE，AM平面，ABE11ABABEAMAB，11平面，1故异面直线AM与所成角的大小为AB.21【点睛】本题考查异面直线所成角的求解，解题的关键是通过证明平面判断出ABEAM1AMAB.14．AA解析：【分析】由面积和体积可得三棱柱的底面边长和高，根据特征可知外接球的球心为上下底面中心连.线的中点，再由勾股定理可得半径及球的表面积【详解】AA1634，而S1ABACsinAAB243，4343依题意，12ABCAAOO4，的中心为，则11解得4，记ABC的中心为，ООAB△ABC1111取的中点，因为AOCO，AODCOD90，由勾股定理得ADCD，OO1D同理可得ADBDADBDCD，111所以正三棱柱的外接球的球心为即，为外接球的半径，DADAB43由正弦定理得AO，，2sin603162833故AD2OD2AO2428112，3故三棱柱ABCABC11S4R4的外接球表面积123A故选：．【点睛】本题考查了正三棱柱外接球的表面积的求法，关键点是确定球心的位置和球的半径的长度，考查了学生的空间想象力和计算能力.5．BB解析：【分析】由M也是AB的中点，也是PADMN与PQ所成平行线，从而找到异面直线中点，得11角，在三角形中可得其大小．【详解】ADABAB的中点，也是AD中点，P1如图，连接，，显然M也是111又N是BD1中点，所以MN//AD，PQ//AC，中点，是CDQ1大小为．MN与PQ所以CAD是异面直线所成角（或补角），4B故选：．【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：1（）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；2（）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；3（）计算：求该角的值，常利用解三角形；0,24（）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．6．CC解析：【分析】先由三视图计算底面正三角形内切圆的半径，内切圆的直径和三棱柱的高比较大小，确定.球的半径的最大值，计算球的最大体积【详解】433由三视图知该直三棱柱的高为，底面正三角形的高为，易得底面正三角形内切圆的半径为高的三分之一，即r3，由于234，所以该棱柱内部可放置球的半径的最大4值为3，它的体积43.33V3C故选：【点睛】关键点点睛：本题的第一个关键是由三视图确定底面三角形的高是33，第二个关键是确.定球的最大半径7．CC解析：【分析】及题意还三原棱锥，过作AAM⊥BD于点M,连结MC，把AC放在直、俯视图AC.先由正视图AMC角三角形中解【详解】ABCD正视图和俯视图，还原后得到三棱锥的直观图如图示，由图可知：平根据三棱锥ABD⊥CBD，AAM⊥BDM,MC,AM⊥面平面过作于点连结则平面，CBD∴△MCA.为直角三角形CCN⊥BDN,过作于点ABDAB=1AD=∴在直角三角形中，，3，BDAB2AD22所以∠ABD=60°，∠ADB=30°，123.2ABMAB=1∠ABM=60°∴则在直角三角形中，，，BM,AMDN同理，在直角三角形中，1,CN23.2CBD∴MN=BD-BM-DN=2111,2237∴CMCN2MN2()21222273()102在直角三角形中，ACCM2AM22AMC22C故选：【点睛】(1)①、首先看俯视图，根据俯视图画出几何、左、右的高度；③、画根据三视图画直观图，可以按下面步骤进行：②；、观察正视图和侧视图找到几何体前、后体地面的直观图出整体，让后再根据三视图进行调整.(2)①②立体几何中求线段长度：、把线段放在特殊三角形中，解三角形；、用等体积法求线段.8．C解析：C【分析】AEB.的值；C.首先构造直证明线面垂直，证得线线垂直；利用相似三角形，求线1EFA.通过AF1BDC与平面所成角，再通过数形结合分析最大角，以及最大角的余弦值，判选项；1D.将异面直线所成角转化为相交直线所成角，求解判断.【详解】A.ACBDACACBD，AC//AC，1BBD，，平面，ACBB1111BDACBDBCACBCCBDABCAF，平面，平面11111，同理1，1111111ABCBDAF，，故A正确；1111AB//DC,且ABDC，四边形1111ADCB是平行B.连结ADBCBC1，交于点，F1111AEADADEFBE，得1EFBF2，故B正确；AD//BC1四边形，所以，11111C.AOBDCABACAD，点OBDC平面，是等边三角形的中心，1111111ABC是等边三角ABCBDCBCAFBC形，当点是F的中点时，，此时11111111设直线与平面所成角为，此时AF1ABCAFBDC是点和上的点连线的最短距离，1111AO1AFcosOF11sin最大，所以此时最大，所以,最大角大于60，故C不AF3211正确；AB//CD，CD与D.AF所成1BAFBAF的角，转化为的大小，的最小角是111111tanBAFFB12，此时3，所BA11ABCBAF的角，11与平面所成即以1111AB2311BAF11的最小角大于30，故D正确.C故选：【点睛】关键点点睛：本题考查利用几何的综合应用，包含线线，线面角，垂直关系，首先会作CDCAO图，关键选项是和，选项的关键是平面，点是等边三角形的BDCOBDC111D.中心，选项的关键是知道先与平面中线所成角中，其中线面角是其中的最小角9．DD解析：【分析】mnA在中，与相交、平行或异面；mB在中，l与不一定平行，有可能相交；m∥m⊥m或与相交C在中，或；D在中，【详解】mn由直线与平面垂直的性质与判定定理可得m∥．α由直线、，和平面、，知：m∥n∥mn、平对于A，若，，则与相交行或异面，故A错误；对于B，l//,m//,//m不一定平若，l与行，有可能相交，故B错误；或m∥或与相交，故C错误；⊥m，，⊂m⊥m对于C，若则m⊄则由直线与平面垂直的⊥m⊥对于D，若，，，性质与判定定理得m∥D，故正确．D故选：．【点睛】本题考查了命题真假的判断问题，考查了空间线线、线面、面面的位置关系的判定定理及推论的应用，体现符号语言与图形语言的相互转化，是中档题．10．AA解析：【分析】.首先由三视图还原几何体，然后由几何体的空间结构特征求解三棱锥的体积即可【详解】PABC2由三视图可知，在棱长为的正方体中，其对应的几何体为棱锥，VSh2224.11132该棱锥的体积：33A.故选：【点睛】(1)方法点睛：求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形(2)状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．11．CC解析：【分析】A理可判断；由线面垂直的判定定理可判断B；反证法可说明C；由面由线面平行的判定定D.面垂直的判定定理可判断【详解】BC//DF，DF平面，PDF对于A，，F外别是AB，的中点，CADBC//平面PDF，故正确，不A符合题意；BCAE,BCPE，PEAEE，对于B，各棱长相等，E为BC中点，BC平面PAE，BC//DF，平面PAE，故正确，不DFB符合题意；对于，假设平面PDE平面，设DEBFO，连接，则是中点，ABCPOOCDEPODE，平面PDE平面ABCDE，PO平面ABC，平面BFABC，POBF，则PBPF，与PBPFC错误，符合题意；矛盾，故对于，由选项DF平面，DF平面，平面PAE平面，故DBABCABCPAED.正确，不符合题意C.故选：【点睛】本题考查线面关系和面面关系的判定，解题的关键是正确理解判断定理，正确理解垂直平.行关系12．CC解析：【分析】AB利用线面平行的性质和判定定理可判断选项的正误；由线面垂直的定义可判断选项的b与的位置关系，可判断选项的正误；根据已知条件判断Cb正误；根据已知条件判断与的位置关系，可判断选项的正误D.【详解】a由于直线、b都不在平面内.a//，过直线的平面与的ma交线与平行，在A中，若a，选项正确；b//m，b，，所以，b//mA因为a//b，可得在B中，若aa，则垂直于平面内所有直线，b，选项正确；b垂直于平面内所有直线，故Ba//b，则abba//在C中，，，则与相交或平行，选项错误；C若，则或b，b，，选项正确b//b//在D中，若ab，aD.C.故选：【点睛】“”方法点睛：对于空间线面位置关系的组合判断题，解决的方法是推理论证加反例推断，即正确的结论需要根据空间线面位置关系的相关定理进行证明，错误的结论需要通过举出反例说明其错误，在解题中可以以常见的空间几何体（如正方体、正四面体等）为模型进行推理或者反驳．二、填空题13．【分析】设正方体的棱长为正方体的内切球半径为正方体的外接球半径再由已知条件和球的表面积公式可得答案【详解】设正方体的棱长为正方体的内切球半径为正方体的外接球半径满足：则由题意知：则该正方体的内切球的解析：410【分析】ra23a，再2a设正方体的棱长为，正方体的内切球半径为，正方体的外接球半径R由已知条件和球的表面积公式可得答案．【详解】内切球半径为raa设正方体的棱长为，正方体的，223a.R2a22正方体的外接球半径R满足：R2a，则223由题意知：Rr2aa31，则a2，R3，2该正方体的内切球的表面积为，45又因为圆周率的平方除以十六等于八分之五，即，所以10，1682所以内切球的表面积为410故答案为：410【点睛】关键点点睛：关键点是利用正方体的而得出本题考正查方体的外接球和内切球问题，考空查间几何内切球半径和正方体面对角线的一半组成勾股定理，考查学生空间想象能力和计算能力，属于中新定义，解决本题的外接球半径，得出正方体内切球半径，进表面积，档题．14．【分析】首先把三视图转换为直观图进一步求出几何体的后求出球的详解】根据几何体的三视图可知该几何体是底面为等腰三角形高为2的三棱锥体如图所示:设底面外接圆的半径为t圆心为H则解外接球的半径最表面积【得41解析：4【分析】首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的外接球的半径，最后求出球的表面积.【详解】根据几何体的三视图可知该几何体是底面为等腰三角形，高为2的三棱锥体．如图所示:5t1(2t)t，解设底面外接圆的半径为t,圆心为H，则得，2224设外接球的半径r，球心为O，则OH底面，且OH1，5414则r()21244141()16所以S4.441故答案为：4【点睛】关键点点睛：球心与底面外接圆圆心连线垂直底面，且OH等于棱锥高的一半，利用勾股定理求出球的半径，由面积公式计算即可.15．【分析】根据题意画出相应的图形结合题意找出什么情况下取最大值什么情况下取最小值利用和差角正切公式求得最值得到结果【详解】根据题意如图所示：取的中点过点作球的切线切点分别为可以判断为的最小值为的最大值4747解析：3,3【分析】根据题意，画出相应的图形，结合题意，找出什么情况下取最大值，什么情况下取最小值，利用和差角正切公式求得最值，得到结果.【详解】根据题意，如图所示：AB取的中点，过点作球H11M,NO的切线，切点分别为，HOHNOHM可以判断为的最小值，为的最大值，11tanOHOOO2且1，1HO211OH22,OMON1，所以HMHN71tanNHOtanOHM，7117117182747tanOHNtan(OHONHO)，71631171177182747tanOHMtan(OHOOHM)，7111631174747，所以的取值范围是,tan334747故答案为：,.33【点睛】方法点睛：该题考查的是有关二面角的求解问题，解题方法如下：（1）先根据题意画图；（2）结合题意，（3）结合图形求得相应角的（4）利用和差角正切公式求得结果.找出在什么情况下取最大值和最小值；正切值；16．②④①②【分析】由是正三角形可判断；判断出平面平面平面可判断；③④假设面面则可以推出可判断；由平面平面平面可判断【详解】连接分别①②是的中点对于因方是正三角形所以与不垂直；对于连接因为且所以平面平面②④.解析：【分析】FG//BC1BDC1①由，是正三角形，可判断；判断出平面，平面DBACBACB//11111②EFG//ACCA11AA//EF1③平面EFG，可判断；假设面面，则可以推出可判断；由平面，EF平面，可判断DCCDABBA④.1111ABBA//平面11【详解】ACABBCBD1ABBBBCE，，G分别是，，的中点．F1111连接，，，BD，，1111①对于，因方，是正三角形，所以FG与BD不垂直；FG//BC1BDC1ACBD,ACBBBDBBB，所以1111②对于，连接，因为，且DB111111111ACBDDBDBBDDB11ACDBBCDB，同理，平面，平面，所以1111111111ACBCC1DBACBAB//EFAC//EG，且，所以平面，因为，111且111111ABACA，EFEGEBDACB//11，所以平面平面EFG，所以平面1111EFG．正确；③对于，如果面面，由平面平面EFG//ACCA11EFGABBAEF，11CCAA平面11BBAAAAAA//EF，则，显然不正确；1平面111平面，EF平面，所以EF//平面DCCDABBA1111④ABBA//对于，因为平面11CDDC，正确11②④.故选：【点睛】方法点睛：本题主要考查了正方体中垂直与平行关系，考查了线线垂直、线面垂直的判定、线面平行的判断、面面平行的判断与性质，对于证明线线关系、线面关系，面面关系等方面的问题，必须在熟练掌握有关的定理和性质的前提下，再利用已知来进行证明，属.于中档题17．【分析】连接延长交于则是中点可得是二面角的平面角求出可得结论【详∴∴∴解】由已知是中心连接延长交于则是中点连接则而平面平面是二面角的∴平面角由对称性又由平面平面得故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考3解析：3【分析】E是BC中点，可得MEO是二面角MBCO的平面连接DO延长交BC于E，则ME,OE角．求出可得结论．【详解】△由已知O是BCD中心，连接DO延长交BC于E，则E是BC中点，连接，则BCAE，BCDE，而AEAEDEE，平面，平面，∴BCME，∴BC⊥MEAEDAED∴MBCO的平面角．MEO是二面角BC2，BMC90ME，由对称性BMCM2，1BC1，2又EO1DE213323，33由AO平面，EO平面，得AOEO，BCDBCD∴cosMEOEO3．ME33故答案为：．3【点睛】关键点点睛：本题考查求二面角，解题关键是作出二面角的平面角．这可根据平面角的定义作出（并证明），然后在直角三角形中求角即得．注意一作二证三计算三个步骤．18．【分析】证明直线与平面所成角中当此为二面角的平面角时最大即可得【详解】先证一个命题：平面内所有直线与平面所成的角中当此角为二面角的∴平面角时最大如图平面于点于是上任一点则而则平面又平面是二面角的平面13解析：4【分析】证明直线PM与平面BCD所成角中当此为二面角的平面角时最大即可得．【详解】先证一个命题：平面ABC内所有直线与平面BCD所成的角中，当此角为二面角的平面角时最大．如图AO平面BCD于点，OOEBC于E，Q是上任一点，BC则AOBC，而AOOEO，则BC⊥平面OAE，又平面OAE，∴AEOAEABCD的平面角，是二面角AQOAQ而是直线与平面ABCD所成的角，sinAQOAOAO显然sinAEOAQAE，，又，AEAQ∴sinAQOsinsinAEO，AEO,AQOAQOAEO，∴Q,E重合时等号成立．都是锐角，由此可知平面ABC内所有直线与平面BCD所成的角中，当此角为二面角的平面角时最大．由已知EO363，22AE534AOAE2EO213，，6sinAEO13，4AEOPMBCD直线与平面所成角最大值等于，∴13值为．∴sin的最大413故答案为：．4【点睛】ABCD（为锐二面角ABCD二面角的平）中，AEO是结论点睛：在二面角面角，Q是棱BC上任一点，则AQ与平面BCD所成角中最大值为二面角的平面角，AQ与平面BCD内过Q点的直线（实际上是所有直线）所成角中最大值为直线AQ与平面BCD所成的角．19．①③④【分析】作出折叠后的几何体的直观图由题中条件得到是异面直①线与所成的角求出其正切可判断正确；根据线面垂直的的判定定理先证明平②③面可判断错；根据等体积法由体积公式求出可判断正确；根据面面垂直的①③④解析：【分析】作出折叠后的几何体的直观图，由题中条件，得到ABC是异面直线AB与所成的DE角，求出其正切，可判断正确；根据线面垂直的的判定定理，先证明CE平面，①ABD②VBACE③可判断错；根据等体积法，由体积公式求出，可判断正确；根据面面垂直的④.判定定理，可判断正确【详解】作出折叠后的几何体直观图如图所示：AB3a，BEa，∴2a；由题意，AE∴ADAE2DE2aACCD2AD22a，，∵BC//DE，ABC是异面直线AB与所成的角，DE∴,tanABCACBC2①，故正确；在RtABC中连结BD，CE，则CEBD，又AD平面，CE平面，BCDEBCDE∴CEAD，又BDADD，BD平面，AD平面，ABDABD∴CE平面，又平面，ABABDABD∴CEAB.故错误．②三棱锥V13SAD111aaa3.BACE的体积VBACE2ABCEBCE326③故正确．∵AD平面，BC平面，BCDEBCDE∴BCAD，又BCCD，CDADD，CD平面，AD平面，ADCADCBC⊥平面ADC，∵BC平面，ABC∴ADC∴ABC平面故正确.④.①③④故答案为：．【点睛】思路点睛：判断空间中线线、线面、面面位置关系时，一般根据相关概念，结合线面平行、垂直的判.定定理及性质，以及面面平行、垂直的判定定理及性质，根据题中条件，进行判断或证明20．【分析】作于可证得平面得得等边三角形利用是球的直径得然后计算出再∵∴应用棱锥体积公式计算体积【详解】围绕棱旋转后恰好与重合作于连接则∴∴∴∴又过球心而同理由得平面故答案为：【点睛】易错点睛：本题考查3解析：8【分析】作于，可证得PA平面BCH，得BHC60，得等边三角形BCH，利BHPAH用是球的直径，得PBAB，然后计算出，再应用棱锥体积公式计算体积．PABH【详解】∵△PAB围绕棱旋转60后恰好与△PAC重合，PA∴△PAB△PAC，CHPA,CHBH，BHC60，作于，连接CH，则BHPAH∴BCBHCH．AC1，∴又过球心，∴AB1，而PAPBABPA2,PB3，，同理BHPBABPA312，S△BCH23BH23333，1634422由，CHPA，CHBHH，得PA平面BCH，BHPA1S3PA13323．316∴VPABC△BCH83故答案为：．8【点睛】易错点睛：本题考查求棱锥的体积，解题关键是作于，利用旋转重合，得BHPAHPA平面BCH，这样只要计算出的面积，即可得体积，这样作图可以得出BCHBHC60，为旋转所形成的二面角的平面角，这里容易出错在误认为旋转60，即为CAB60．旋转60是旋转形成的二面角为60．应用作出二面角的平面角．三、解答题21ⅠⅡ．（）证明见解析；（）2【分析】（）推导出ABAC，CDAC，PACDⅠCDPAC，从而平面，进而CDAE，AEPC，由此能证明平面平面．PCDAEBⅡxy（）以为原点，以AB，AC，AP所在射线分别为，，的正半轴，建立空间zA直角坐标系，利用向量法能求出侧棱的长．PA【详解】证明：（）AB1,BC2,ABC45，ⅠABAC又AB//CD，CDAC，PA平面ABCD，PACD，ACAPA，AC,AP平面PAC，又CD平面PAC，AE，CDAE平面PAC，又AEPC，PCCDC，AE平面PCD，平面，PCDPC,CDAE又平面，AEBAEB平面平面PCD．Ⅱxy（）以为原点，以AB，AC，AP所在射线分别为，，的正半轴，建立空间zA直角坐标系．设APt，则ABPC，AEPC，0010A(0，，0)，B(1，，0)，C(0，，0)，D(1,10)，，，，P(0t)PC平面，平面的一个法向量为ABEABEnPC(0,1,t)在Rt△PAC中，，PAtAC1PC，1t2tt2t21t21)t,又AEPC，AE，得E(0,1t2m(x,y,z)设平面的一个法向量为ADEt2tmAD，得·yt21·z0由t1m(1,1,t)，解得2mAExy0BAED的大小为150，二面角|t21|3|cosm,n||mn||m||n||cos150|，t21t222解得，故侧棱的长为．t22PA【点睛】本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向.量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解122．（1）证明见解析；（）212.【分析】（1）取的中点M，连接、CM，证明四边形CMEF为平行四边形，可得出PDEMEF//CM，利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）连接，取AD的中点N，连接EN，由题意可知点、A到平面BEF的距离PAF并推导出EN平面，可得ABCDVVVPBEF相等，出，利用锥体的体积公EABFABEF式可求得三棱锥PBEF的体积．【详解】（1）如下图所示，因为四边形ABCD为矩形，取PD的中点M，连接、CM，EM则AD//BC且ADBC，EM//AD且EM1AD，则E、M分别为PA、PD的中点，2F为BC的中点，所以，EM//CF且EMCF，所以，四边形CMEF为平行四边形，所以，EF//CM，EF平面PCD，CM平面，平面；PCDEF//PCD2AF（）如下图所示，连接，取的中点N，连接EN，AD为的中点，所以，点、PA到平面BEF的距离相等，EPAV所以，VV，PBEFABEFEABFEN//PD且EN1PD1、N分别为、的中点，则PAAD，2E2ENPD平面ABCD，平面ABCD，12ABBF1211的面积为S△ABF，ABF22213EN1111VABEFVEABFS因此，VPBEF32212.△ABF【点睛】方法点睛：常见的线面平行的证明方法有：1（）通过面面平行得到线面平行；2（）通过线线平行得到线面平行，在证明线线平行中，经常用到中位线定理或平行四边形的性质.2证明见解析；（）2231．（）2证明见解析；（）3.【分析】1（）连接交ADAD于点，连接EO，易得OOE//BD1，再利用线面平行的判定定理11证明.ABADADAD，利用线面2（）由长方体的特征得到，再由1垂直的判定定理证得11ADADE平面即可1.1CEDE，再由DD平面ABCD,CECEDD，平面，得到ABCD1（）3易得1DEDDECD可得CE平面，由DDE的平面角求解.是二面角111【详解】1（）如图所示：ADADO连接交于点，连接，则为的OAD.中点EO111∵E是AB的中点，∴OE//BD1又OE平面ADEBD1，平面ADE，11∴BD//平面ADE.11（2）由题意可知，四边形ADDA是正方形，11∴ADAD.11∵AB平面ADDAADADDA，11，平面111∴ABAD.1∵，平面ADE，ABADA，AB平面ADEAD1111∴AD平面ADE.11又DE平面ADE，11∴ADDEDEAD.11，即11（3）在CED中，，AD2AE22CECB2BE22，，CD2DE∴CEDE∵DD平面ABCD,CE平面ABCD，1∴CEDD.1∵DDDDEDDDED，，11DE，平面平面DDE11∴CE平面DDE.1DE平面DDE，又∵11∴CEDE.1∴DED是二面角DECD的平面角.11，，在ADED1∵DDE90DD1DE中，2，11tanDEDDD12∴1DE，221DECD的正切值为2∴二面角1.2【点睛】方法点睛：几何法求线线角、线面角、二面角的常用方法：1（）求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移方法一般有三种类型：利用图中已有的()平行线平移；利用特殊点线段的端点或中点作平行线平移；补形平移．2（）线面角的求法，找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解．3①（）二面角的求法，二面角的大小用它的平面角来度量．平面角的作法常见的有定义②法；垂面法．注意利用等腰、等边三角形的性质．23.32412．（）证明见解析；（）【分析】(1)证明线面平行，用线面平行的判定定理，在面内找一条直线与平