高中数学基本不等式知识点归纳及练习题

高中数学基本不等式的巧用a＋b1．基本不等式：ab≤2a＋b设a＞0，b＞0，则a，b的算术平均数为2，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数．技巧和公式等号成立的条件等．(2)2≥2≥ab≥1(2)2≥2≥ab≥11(a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时取等号)．＋aab视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．(1)y＝3x2＋ xx技巧四：换元时，若遇等号取不到的情况，应结合函数f(x)=x+a的单调性。例：求函数y=x2+5的值域。xx2+4(1)y=x2+3x+1,(x>0)(2)y=2x+1,x>3xx33144xy变式：若logx+logy=2，求+44xy求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会xyxyxyy2y2技巧七、已知x，y为正实数，且x2＋＝1，求x1＋y2的最大值.21技巧八：已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝的最小值.本不等式证明不等式 (a)(b)(c) (a)(b)(c)等式与恒成立问题xy22是.是13x2·＝6∴值域为[6xxx解：因4x-5<0，所以首先要“调整”符号，又(4x-2)1不是常数，所以对4x-2要进行拆、凑1当且仅当5-4x=，即x=1时，上式等号成立，故当x=1时，y=1。5-4xmax评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。解析：由知，，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大解析一：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有(x＋1)的项，再将其分离。解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。tttt评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求解：令x2+4=t(t>2)，则y=x2+5=x2+4+1=t+1(t>2)x2+4x2+4txy故tt因为y=t+1在区间[1,+w)单调递增，所以在其子区间[2,+w)为单调递增函数，故y>5。t2ab理求 错因：解法中两次连用基本不等式，在x+y>2xy等号成立条件是x=y，在1+9>29xyxyxxy解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方xy (xy)xy (xy)xyxyxymin2。22x1＋y2＝x22y2222222y2＋22ty2＋22ty≤22222≤222223＝＝4221y23224224因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝t＝－2(t＋11法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵a＋2b≥22ab∴30－ab≥22ab令u＝ab则u2＋22u－30≤0，－52≤u≤32∴∴ab≤32，ab≤18，∴y≥点评：①本题考查不等式>ab(a,bR+)的应用、不等式的解法及运算能力；②如何22aba＋b2解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，2≤2，本题很简单3x＋2y≤2(3x)2＋(2y)2＝23x＋2y＝25接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形∴W≤20＝25222max评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件。总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式。aaaaaaaa