人教版通用2015年高考文科数学练透高考必会题型8个专题37份

目录

第1练小集合，大功能.......................................................2

第2练常用逻辑用语中的“常考题型”........................................7

第3练突破充要条件的综合性问题...........................................12

第4练再谈“三个二次”的转化策略.........................................18

第5练如何用好基本不等式..................................................25

第6练处理好“线性规划问题”的规划.......................................32

第7练基本初等函数问题....................................................39

第8练函数性质在运用中的巧思妙解.........................................46

第9练分段函数，剪不断理还乱.............................................53

第10练化解抽象函数快捷有效的几个途径...................................61

第11练寻图有道，破解有方——函数的图象问题.............................69

第12练函数的零点——关键抓住破题题眼...................................76

第13练高考对于导数几何意义的必会题型...................................85

第14练导数与单调性......................................................92

第15练函数的极值与最值..................................................99

第16练导数的综合应用...................................................108

第17练存在与恒成立问题..................................................119

第18练三角函数化简与求值策略...........................................129

第19练三角函数的图象与性质.............................................137

第20练解三角形问题......................................................147

第21练平面向量中的线性问题.............................................156

第22练关于平面向量数量积运算的三类经典题型.............................163

第23练基本量——破解等差、等比数列的法宝...............................174

第24练常考的递推公式问题的破解方略....................................181

第25练数列求和问题大全..................................................188

第27练完美破解立体几何证明题...........................................207

第28练直线和圆的位置关系...............................................216

第29练与直线和圆有关的最值问题.........................................223

第30练椭圆问题中最值得关注的几类基本题型.............................230

第31练双曲线的渐近线和离心率...........................................238

第32练与抛物线相关的热点问题...........................................246

第33练直线与圆锥曲线问题...............................................254

第34练圆锥曲线中的探索性问题..........................................264

第35练用样本估计总体...................................................274

第36练概率的两类模型...................................................282

第37练归纳与类比推理...................................................288

知识•考点•题型篇——练透高考必会题型

集合与常用逻辑用语

第1练小集合，大功能

［内容精要］集合在各省市的高考题中，不论文科还是理科都有考查.而且考查形式也是千

变万化，丰富多彩；考查的内容也是多种多样，与各章节知识都有联系.所以说小集合，大

功能，高考命题没它不行.

■典例剖析___________________________

题型一单独命题独立考查

例1已知集合/={1,2,3,4,5},B={(x,y)\x^A,y&A,x-y&A},则8中所含元素的个

数为()

A.3B.6

C.8D.10

破题切入点弄清“集合的代表元素”是解决集合问题的关键.

答案D

解析VB={(x,y)\x^A,y&A,x­y^A}>A={1,2,3,4,5),

•'•x=2,y=1;x=3,y=1,2；x=4,y=1,2,3；x=5,y=1,2,3,4.

・・・8={(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)},

中所含元素的个数为10.

题型二与函数定义域、值域综合考查

例2设函数大幻=吆(1一/),集合N={xip=ya)},B=3y=/(x)}，贝I」

图中阴影部分表示的集合为()

A.[—1,0]B.(1],0)

C.(-8,-l)U[0,l)D.(一8,-l]U(0,l)

破题切入点弄清“集合”代表的是函数的定义域还是值域，如何求其定义域或值域.

答案D

解析因为/={x》=/(x)}={x|l-工2>0}=3-Ivxvl}.

CR/=(-8,-1]U[1,+8).

则“=1TG01],

所以8=0^=/(》)}=3>忘0},[述=(0,+8),

所以题图阴影部分表示的集合为

(^nCRB)u(BnCR/()

=(0,l)U(-oo,-1],故选D.

题型三与不等式综合考查

例3若集合/={x*—X—2<0},8={x[—2<r<a},则"/C8W0”的充要条件是()

A.a>~2B.aW~~2

C.a>—1D.一1

破题切入点弄清“集合”代表不等式的解集，“NCBK。”说明两个集合有公共元素.

答案C

解析A={x\-l<x<2},5={x|-2<x<a}，

,„_-4—ni,'i—►

如图所不：-2-1a012x

总结提高(1)集合是一个基本内容，它可以与很多内容综合考查，题型丰富.

(2)对于集合问题，抓住元素的特征是求解的关键，要注意集合中元素的三个特征的应用，

要注意检险结果.

(3)对于给出已知集合，进行交集、并集与补集运算时，可以直接根据它们的定义求解，也

可以借助数轴、Venn图等图形工具，运用分类讨论、数形结合等思想方法，直观求解.

■精题狂练_____________________________

1.已知集合力=30<10纶<1},8={x,W2},则/C8等于()

A.(0,1)B.(0,2]

C.(1,2)D.(1,2]

答案D

解析A={x|l<x<4},8={x|xW2},

.•.408={x[l<xW2}.

2.已知集合/={xp+x—2=0},B—{x\ax—\},若4cB=B,则。等于（）

A.一：或1B.2或一1

C.-2或1或0D.—g或1或0

答案D

解析依题意可得=80814

因为集合/={XF+X-2=0}={-2,1},

当x=-2时，-2q=l,解得。二弓；

当x=1时，a=l；

又因为8是空集时也符合题意，这时〃=0,故选D.

3.已知集合力="|?一标>0},B={x\~\[5<x<y[5},贝永）

A./C8=0B.ZU8=R

C.BJAD.A三B

答案B

解析易求Z={小<0或x>2},显然NUB=R.

4.（2014•浙江）设全集U={xWN|x22},集合4={xeNUN5},则。〃等于（）

A.。B.{2}

C.{5}D.{2,5}

答案B

解析因为/={xGN|xW-,或x》,},

所以[』={xGN|2Wx<小},故[〃={2}.

5.已知A/=3P=2X},N={（x,y）|x2+/=4},则MCN中元素个数为（）

A.0B.1

C.2D.不确定

答案A

解析集合M是数集，集合N是点集，

故其交集中元素的个数为0.

6.设集合S={x[x>2},7={X«2_3X-4W0},贝贝RS）C（晚7）等于（）

A.（2,4]B.（-8,-1）

C.（一8,2]D.（4,+8）

答案B

解析因为7={x|-1WXW4},

所以(CR9n([RQ=CR(SUQ=(-8,-1).

7.若集合Z={xeR1ar2+ax+i=0}中只有一个元素，则。等于()

A.4B.2C.0D.0或4

答案A

解析当4=0时，显然不成立；

当4六0时，由/=q2-4a=0,得a=4.故选A.

8.已知集合2="6为以-1|<2},Z为整数集，则集合ZCZ中所有元素的和等于.

答案3

解析A={xeR|pc-1|<2}={xGR|-l<x<3},

集合/中包含的整数有0,1,2,故/C1Z={0,1,2}.

故ZCZ中所有元素之和为0+1+2=3.

9.已知集合/={3,m2},8={-1,3,2加一1}.若A0B,则实数机的值为.

答案1

解析=1或加2=-i(舍).

由m2=2加-1得〃?=1.

经检验切=1时符合题意.

10.对于E={a”a，…，So。}的子集X={q,4},定义X的“特征数列”

为X1，X2，…，X]00，其中％=4="=%=1，其余项均为0.例如：子集{。2，6}的“特

征数列”为0,1,1,0,0,…，0.

⑴子集{0,。3,%}的“特征数列”的前3项和等于；

(2)若E的子集P的"特征数列"pi，p2,…，pioo满足pi=l,pi+pi+i=l,lWiW99；E的子

集。的"特征数列",夕2，…，gio。满足夕I=1，％++%+2=1,1W/W98,则PCQ的

元素个数为.

答案(1)2(2)17

解析(1)由题意，可得子集{6，的，⑹的“特征数列”为1,0,1,0,1,0,…，0,所以前3项

和为1+0+1=2.

(2)由题意，可知P的“特征数列”为1,0,1,0,1,0,…,0,

则尸={卬，。3，。5，…，。99}，有50个元素.

即集合尸中的元素的下标依次构成以1为首项，2为公差的等差数列，

即这些元素依次取自集合£中的项q2〃-i(lW"W50,nCN*).

。的''特征数列”为1,0,0,1,0,0,1,…，1,

则。={。1，。4,。7，00，…，00。}，有34个元素.

即集合。中的元素的下标依次构成以1为首项，

3为公差的等差数列，

即这些元素依次取自集合£中的项a3”-2(lW〃W34,〃CN*).

而产。。中的元素是由这两个集合中的公共元素构成的集合，

所以这些元素的下标依次构成首项为1,

公差为2X3=6的等差数列，

即这些元素依次取自集合E中的项％,厂5，

由1W6--5W100,解得1W〃W苧，

又nGN,,

所以1W〃W17,即尸C。的元素个数为17.

11.已知函数y(x)=Y言不一；的定义域为集合/,函数g(x)=lg(—x2+2x+m)的定义域为

集合2.

(1)当根=3时，求40(晚8)；

⑵若Zn8={x|-lvxv4},求实数机的值.

解⑴当机=3时，8={x|-l<x<3},

则CR8={X|XW-1或x23},

又Z={x|-l〈xW5},

{x|3Wx《5}.

⑵={x\~l〈xW5},/A8={x|-1vx<4},

故4是方程-x?+2x+“7=0的一个根，

.•.*-42+2X4+OT=0,解得〃L8.

此时B={x|-2<x<4},符合题意.

因此实数〃?的值为8.

12.已知集合Z={x[3Wx<7},8={X|2<KV10},C={x\x<a},全集为实数集R.

⑴求/U8；

⑵([/)n&

(3)如果/CCW。，求a的取值范围.

解(1)因为N={x[3Wx<7},8={x[2<x<10},

所以NU8={x|2<x<10}.

(2)因为N={x|3Wx<7},

所以(R/={x|x<3或xe7}.

所以(CRZ)CB={小<3或x27}D{x|2<x<10}={x\2<x<3或7Wx<10}.

(3)如图，当。＞3时，4CCW0.

3<37x

第2练常用逻辑用语中的“常考题型”

［内容精要］常用逻辑用语应突出“逻辑”二字，处理好逻辑关系是做好一切事情的根本，

可以起到很快很好的效果.本部分内容在各地区文理科的高考题中也都有所考查，主要形式

为充分必要条件问题以及逻辑用语等方面，内容包罗万象，匕至大学新信息、新定义题，下

至初中、小学所学过的平面几何等知识，所以一定要学好这部分内容.

■典例剖析___________________________

题型一充分必要条件问题

例1⑴若山)和g(x)都是定义在R上的函数，则“危)与蛉)都为增函数”是Yx)+g(x)

是增函数”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件

TT

(2)已知函数加)=/cos(“x+0)(力＞0,。＞0,pdR),贝ij“火冷是奇函数”是“9=5”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

破题切入点(1)增函数的性质以及互相推出的关键.

(2)三角函数的图象和性质要熟练掌握.

答案(1)A(2)B

解析(1)若危)与g(x)都为增函数，

根据单调性的定义易知Hx)+g(x)为增函数；

反之人X)+g(x)为增函数时，

例如y(x)=-X,g(x)=2x,/(x)+g(x)=x为增函数，

但7(x)为减函数，g(x)为增函数.

故“火X)与ga)都为增函数”是)x)+g(x)是增函数”的充分不必要条件•

(2)9=，吻x)=ZcosQox+m=-Nsintux为奇函数，

”/(X)是奇函数”是“9=，’的必要条件.

又负x)=/cos3x+9)是奇函数=>/(0)=0=9=2+E(4eZ)力(p吟.

・••”於)是奇函数"不是“9=，’的充分条件.

即“兀0是奇函数”是“9=自’的必要不充分条件.

题型二逻辑联结词、命题真假的判定

例2下列叙述正确的个数是()

①/为直线，a、夕为两个不重合的平面，若/_L£,a邛,贝

②若命题p：3xo^R,xo+IWO,则p：Vx^R,x2—x+l>0；

③在△/SC中，"NZ=60。”是“cos/=T”的充要条件；

④若向量a，5满足ab〈O,则“与》的夹角为钝角.

A.1B.2

C.3D.4

破题切入点判定叙述是否正确，对命题首先要分清命题的条件与结论，再结合涉及知识进

行判定；对含量词的命题的否定，要改变其中的量词和判断词.

答案B

解析对于①，直线/不一定在平面a外，错误；对于②，命题p是特称命题，否定时要写

成全称命题并改变判断词，正确；③注意到△4BC中条件，正确；④aS<0可能〈a,6〉=

兀，错误.故叙述正确的个数为2.

总结提高⑴充要条件的判断及选择：首先要弄清楚所要考查的相关知识并将其联系起来;

其次充要条件与互相推出的关系，有时以集合形式给出时找集合间的包含关系.牵扯到比较

复杂的问题时，要将条件转化之后再判断.

(2)命题真假的判定方法，注意真值表的使用.

(3)四种命题的改写及真假判断.

(4)含有一个量词的命题的否定的改写方法.

■精题狂练

1.已知集合/={1,a},8={1,2,3},则“a=3”是'7G8”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案A

解析若。=3,则/=｛1,3｝

故“=3是/=8的充分条件；

而若则a不一定为3,

当a=2时，也有/三区

故“=3不是的必要条件.故选A.

2.命题“若。=去则tana=l”的逆否命题是()

7T

A.若则tanaWl

B.若口=/则tanaWl

TT

C.若tanaWl,贝UaW4

71

D.若tanaWl,贝U仪=^

答案C

解析由命题与其逆否命题之间的关系可知，原命题的逆否命题是：若tana#l,则

3.下面是关于公差内0的等差数列｛%｝的四个命题：

Pi：数列｛%｝是递增数列；

P2：数列｛〃%｝是递增数列；

P3：数列怜是递增数列；

P4：数列｛4+3〃或是递增数列.

其中的真命题为()

A.pi，piB.p3,pa

C.pz，PiD.pi，p4

答案D

解析如数列-2,-1,0,1,2,,,,,

则1X01=2X02,排除P2，

如数列1,2,3,…，则管=1,

排除P3,故选D.

4.已知p：^~<1,q：(x—<7)(x—3)>0,若%弟p是的必要不充分条件，则实数。的取值

范围是()

A.(-8,])B.[1,3]

C.[1,+8)D.[3,+8)

答案C

X+]

解析l<0^_j<O=^(x-l)(x+l)<O=>p:-当〃23时，g:x<3或x>q;当Q<3

时，q\X<Q或x>3./弟夕是夕的必要不充分条件，即p是q的充分不必要条件，即p今9且

件p、从而可推出。的取值范围是a2l.

5.命题“对任意xCR,都有的否定为（）

A.对任意xWR,都有fvo

B.不存在xdR,使得/<0

C.存在x°GR,使得焉》0

D.存在x°GR,使得看<0

答案D

解析全称命题的否定是一个特称命题（存在性命题），故选D.

6.若命题P：函数y=》2—2X的单调递增区间是［1,+8）,命题公函数v=x—;的单调递

增区间是［1，+°°）,则（）

A.p/\g是真命题B.p\/q是假命题

C.是真命题D.是真命题

答案D

解析因为函数y=》2-2x的单调递增区间是口，+8）,所以p是真命题；

因为函数y=x-：的单调递增区间是（-8,0）和（0,+8）,所以q是假命题.

所以0八4为假命题，pVg为真命题，

为假命题，^4为真命题，故选D.

7.下列关于命题的说法中错误的是（）

A.对于命题p：3x€R,使得f+x+l<0,则㈱p：VxGR,均有f+x+l》。

B.“x=l”是“f_3x+2=0”的充分不必要条件

C.命题“若/-3x+2=0,则x=l”的逆否命题为：“若x#l,则》2—3叶2#0”

D.若2八《为假命题，则p,«均为假命题

答案D

解析对于A,命题p:VxGR,均有f+x+l》O,因此选项A正确.对于B,由x=l

可得f-3x+2=0;反过来，由》2-3x+2=0不能得知x=1,此时x的值也可能是2,因

此“x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要条件，选项B正确.对于C,原命题的逆否命

题是：“若xWl,则/-3》+240”，因此选项C正确，故选D.

8.下列命题中，是真命题的是（）

A.存在xe0,，,sinx+cosx>yj2

B.存在xG(3,+8),使2%+12/

C.存在xGR,使x2=x-l

D.对任意xe(0,~,使sinx<x

答案D

解析A中，•；sinx+8$》=啦$吊&+；)忘也，

•'.A错误；

B中，2》+1》》2的解集为［1-爽，1+媳］,故B错误；

C中，/=(-l)2-4=-3<0,

；.x2=x-1的解集为0,故C错误；

D正确，且有一般结论，对Vxd(0,。

均有sinx<x<tanx成立，故选D.

9."<p=n"是"曲线y=sin(2x+9)过坐标原点”的()

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

答案A

解析当°=兀时，y=sin(2x+兀)=-sin2x,

则曲线y=-sin2x过坐标原点，

所以“夕=兀”今“曲线y=sin(2x+彷过坐标原点”；

当9=2兀时，y=sin(2x+2兀)=sin2x,

则曲线y=sin2x过坐标原点,

所以"夕=兀"牛"曲线y=sin(2x+0)过坐标原点”，

所以“0=兀”是“曲线y=sin(2x+0)过坐标原点”的充分而不必要条件，故选A.

10.下列命题中错误的是()

A.命题“若f-5x+6=0,则x=2”的逆否命题是“若x#2,贝"-5x+6#0”

B.若x,HR,则“x=y”是"中《守)中等号成立”的充要条件

C.已知命题p和q,若pVq为假命题，则命题p与q中必一真一假

D.对命题p：使得2QX—a』。，则P：Vx^R,2ox—J2。

答案C

解析易知选项A,B,D都正确；选项C中，若pVq为假命题，根据真值表，可知p,q

必都为假，故C错.

11.设相，〃是空间两条直线，«,4是空间两个平面，则下列选项中不正确的是（）

A.当n±a时，“"邛”是"a〃夕'成立的充要条件

B.当mUa时，“ml/T是的充分不必要条件

C.当机Ua时，"〃〃a"是的必要不充分条件

D.当〃?Ua时，是的充分不必要条件

答案C

解析与同一条直线垂直的两个平面平行，反之，当两个平行平面中有一个与一条直线垂直

时，另一个也与这条直线垂直，选项A正确；根据平面与平面垂直的判定定理，选择B正

确；当直线〃Ua时，直线〃不平行于平面a,选项C不正确；根据线面垂直的性质，选项

D正确.

12.对于原命题“单调函数不是周期函数”，下列陈述正确的是（）

A.逆命题为“周期函数不是单调函数”

B.否命题为“单调函数是周期函数”

C.逆否命题为"周期函数是单调函数”

D.以上三者都不正确

答案D

解析根据四种命题的构成可得选项A、B、C中结论均不正确.

第3练突破充要条件的综合性问题

［内容精要］有关充要条件主要有两类题目：一类是判断充要条件，另一类是根据充分必要

条件求参数范围.解决这些问题的关键在于审清题意，分清何为条件，何为结论，然后看谁

能够推出谁.

■典例剖析

题型一充分必要条件的判断方法

例1是“1密。＞唾2-的（）

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

破题切入点有关充要条件的判断问题，弄清楚谁是条件谁是结论，然后看谁能推出谁.

答案B

解析因为2gcob,

所以取。=1,b=-1,

则a>Z)=7^>log26Z>log2/>；

若Iog2<7>log2^>则d>b.

a

综上，中log2a>log2^,

但"e"”<="log2a>log2b”.

所以"e">e"”是“Iog2〃>log2b”的必要而不充分条件.

题型二根据充要条件求参数范围

[log2x,x>0,

例2函数兀v)="一八有且只有一个零点的充分不必要条件是()

I1-2十4,xWO

A.a<0B.0<a<；

C.^<a<lD.aWO或a>l

破题切入点把函数.危)的零点问题转化为两个函数的图象的交点问题，从而求出｛x)有一

个零点的充分必要条件，再利用“以小推大”的技巧，即可得正确选项.

答案A

解析因为函数次x)过点(1,0),所以函数7(x)有且只有一个零点㈡函数y=-2、+。。(0)没有

零点o函数y=2'(xW0)与直线y无公共点.由数形结合，可得。W0或心1.

所以函数外)有且只有一个零点的充分必要条件是。W0或应排除D;当0<a弓时，函

数y=-2*+a(x<0)有一个零点，即函数_/(x)有两个零点，此时是函数/(x)有且只有一

个零点的既不充分也不必要条件，应排除B;同理，可排除C,应选A.

总结提高(1)充要条件的判断，首先要审清什么是条件，什么是结论，然后再看谁能推出

谁，有些还可以先找出条件和结论的等价条件，再看谁能推出谁，还有一些数集或集合形式

给出的条件或结论，可以从集合的观点来判断充要条件.

(2)根据充分、必要条件求参数的值或取值范围的关键是合理转化条件，常通过有关性质、

定理、图象等将原问题转化为最值问题、有解问题等，得到关于参数的方程或不等式(组)，

然后通过解方程(组)或不等式(组)求出参数的值或取值范围.

■精题狂练

1.甲：x#2或yW3；乙：x+y#5,则()

A.甲是乙的充分不必要条件

B.甲是乙的必要不充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件

答案B

解析“甲今乙”，即“xW2或今“x+yW5”，其逆否命题为：“x+y=5”今"x

=2且y=3”显然不正确.同理，可判断命题“乙0甲”为真命题.所以甲是乙的必要不充

分条件.

2.设命题p：|4x-3|〈l；命题/f—(2a+l)x+a(a+l)W0,若㈱p是q的必要不充分

条件，则实数。的取值范围是()

A.0,1B(0,

C.(-8,O)uI，+8)D.(-8,0)U&+8)

答案A

解析幺弟p:|4x-3|>l;

q:x2-(2a+1)x+a(a+1)>0,

解得^p'.x>\或㈱q:x>a+1或x<a.

A(1

右^^㈱g,则，2或<2即OWaW,

.a+1>1。+121,

3.设a>0且aWl,则“函数於)=a,在R上是减函数”是“函数g(x)=(2—a］在R上是

增函数”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

答案A

解析由题意知函数./(x)=，在R上是减函数等价于函数g(x)=(2-a)?在R上是

增函数等价于0<a<l或l<a<2,

”函数人x)=，在R上是减函数”是“函数g(x)=(2-aE在R上是增函数”的充分不必

要条件.

4.(2014・湖北)设。为全集，A,2是集合，则“存在集合C使得ZWC,是"ACB

=0”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案C

解析若存在集合C使得/aC,则可以推出4门8=0;

若41~18=0,由Venn图（如图）可知，存在4=C,同时满足力三C,5-[uC.

故"存在集合C使得/GC,8三（必”是“ACB=0"的充要条件.

5.设平面a与平面£相交于直线“，直线。在平面a内，直线6在平面”内，S.b±m,则

“a邛”是“a_Lb”的（)

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

答案A

解析当a_L6时，由于aC夕=/«,bU0,bl.m,由面面垂直的性质定理知，Z>±a.

又taUa,"a_L.”是“a_Lb”的充分条件.

而当°Ua且a〃机时，bl.m,,'.bA.a.

而此时平面a与平面厅不一定垂直，

:.“W不是“a_L6”的必要条件，故选A.

6.um=-1w是“直线/1：2x—my=2ni—1与直线“：》+2叩=m一2垂直”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

答案A

解析若〃?=-1,则直线小/2垂直；

若直线八/2垂直，则有加=±1,

所以=-1"是"直线/]：lx-my=2m-1与直线6：x+2my=m-2垂直”的充分不必

要条件.选A.

7.给定两个命题p,q.若是q的必要而不充分条件，则p是^4的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案A

解析由题意知：（逆否命题）

8.已知下列各组命题，其中p是夕的充分必要条件的是（）

A.p：/MW—2或机26；q：y=x2+»zx+zn+3有两个不同的零点

B.p：火"：)=1；q：y=/(x)是偶函数

j\^)

C.p：cosa=cos^；q：tana=tanp

D.p：AQB=A；q：A^U,BJU,［必

答案D

解析对于A,由y=/+如#〃?+3有两个不同的零点，可得/=〃/-4(〃?+3)>o,从而可

得加v-2或加>6.所以p是q的必要不充分条件；

对于B,由。1=次-幻=<功今>=於)是偶函数，但由y=〃)是偶函数不能推出勺~?=

八x)J\x)

1,例如函数<x)=0,所以p是夕的充分不必要条件；

对于C,当cosa=cos4=0时，不存在tana==tan4，反之也不成立，所以p是q的既不充

分也不必要条件；

对于D,由=知408,所以

反之，由［uEUlM，知AJB,即4n8=4

所以pOq.

综上所述，p是q的充分必要条件的是D.

9.在直角坐标系中，点(2m+3—〃/,5=)在第四象限的充分必要条件是

.3

答案一1<加</或2<m<3

(2m+3-m2>0,

2//?—3I3

解析点(2m+3-所2,笆/)在第四象限oj2烧-3oT〈m</或2<加<3.

12-加

♦r2V2

10.已知命题P：实数加满足加+1242<7劭?(4>0),命题夕：实数已满足方程_］+2_〃?

1表示的焦点在y轴上的椭圆，且p是9的充分不必要条件，。的取值范围为.

「13］

。案［3,8.

解析由a>0,#-lam+12Q2<0,得?)a<m<^a>

即命题p:3a<m<4a,a>0.

22

由古+七=1表示焦点在y轴上的椭圆，

,3

可得2-〃?-1>0,解得l<w<2»

3

即命题q：1<w<2-

因为p是夕的充分不必要条件,

3a>\>3心1,

13

所以彳或彳3解得Q—W，

而发4a<2，35

所以实数。的取值范围是[-不1|31.

_Jo_

11.给出下列命题：

①“数列｛仇｝为等比数列”是“数列｛。,向,+1｝为等比数列”的充分不必要条件；

②“。=2”是“函数段)=,一3在区间[2,+8)上为增函数”的充要条件；

③"〃?=3"是"直线(/w+3)x+zwy—2=0与直线/nx—6y+5=0互相垂直”的充要条件；

④设a,b,c分别是△N8C三个内角4,B,C所对的边，若a=l,6=小，则'7=30。”

是“8=60。”的必要不充分条件.

其中，真命题的序号是.

答案①④

解析对于①，当数列｛%｝是等比数列时，易知数列｛a,Gt｝是等比数列；但当数列｛«而“.1｝

是等比数列时，数列｛为｝未必是等比数列，如数列1,3,2,6,4,12,8显然不是等比数列，而相应

的数列3,6,12,24,48,96是等比数列，因此①正确.对于②,当aW2时,函数夕x)=|r-a|在

区间[2,+8)上是增函数，因此②不正确.对于③，当m=3时，相应的两条直线垂直；反

过来，当这两条直线垂直时，不一定能得出，〃=3,也可能得出机=0,因此③不正确.对于

④，由题意，得白==小,当8=60。时，有sin/=[,注意到b><7,故Z=30。；但当4

ClSlrlA/

=30。时，有sin8=B-,8=60。或8=120。，因此④正确.

12.下面有四个关于充要条件的命题：①“向量b与非零向量a共线”的充要条件是“有且

只有一个实数4使得占=加"；②“函数、=/+瓜+。为偶函数”的充要条件是“6=0”；

③“两个事件为互斥事件”是“这两个事件为对立事件”的充要条件；④设“GR,则“0

=0”是“/(x)=cosa+9)(xGR)为偶函数”的充分不必要条件.其中，真命题的序号是

答案①②④

解析由共线向量定理，知命题①为真.当6=0时，'=/+必+。=/+。显然为偶函数，

反之，y=X?++c是偶函数，则(-x)2+b(-x)+c=f+6x+c恒成立，就有bx=0恒成立,

得6=0,因此②为真.对立事件是互斥事件的特殊情形，所以③为假.在④中，若e=0,

则负X)=cosX是偶函数.但是若危)=cos(x+0)(xGR)是偶函数，则0=兀也成立，故a(p=0"

是"/(x)=cos(x+0)(xGR)为偶函数”的充分不必要条件.

知识•考点•题型篇——练透高考必会题型

不等式与线性规划

第4练再谈“三个二次”的转化策略

［内容精要］函数与不等式是高考的热点和重点，其中“二次”又是各不等式的基础.”三

个二次”经常相互转化，相辅相成，可以说是“密不可分”，是•个有机的整体，解决好这

部分题目时要学会触类旁通.

■典例剖析

题型一函数与方程的转化

|lgx|,x>0),

例1设定义域为R的函数/)=27则关于X的函数尸2/(x)—训x)+l

-X~2x,xWO,

的零点的个数为.

破题切入点将函数的零点问题转化为对应方程根的问题.

答案7

解析由y=2/(x)-3/W+1得/(x)或/(x)=1，

如图画出y(x)的图象，由於)=权口有4个根，由於)=1知有3个根，故函数y="(x)-3/(x)

+1共有7个零点.

题型二函数与不等式的转化

例2已知一元二次不等式加)<0的解集为{小1或x>发,则#0')>0的解集为()

A.{x|%v—1或x>lg2}B.{x|—l<x<lg2}

C.{x|x>—1g2}D.{xpr<_1g2}

破题切入点由题意，可得大i(r)>o等价于-iviozg,由指数函数的单调性即可求解.

答案D

解析方法一由题意可知兀v)>0的解集为

故式io>o等价于-i<i(r<1,

由指数函数的值域为(0,+8),知一定有10”>-1,

而10*<g可化为10'<101g

即10v<10-182.

由指数函数的单调性可知X<-Ig2,故选D.

方法二当x=1时，式10)<0,排除A,C选项.

当x=-1时,舄)>0，排除B.

题型三方程与不等式的转化

例3已知关于x的二次方程X2+2,〃X+2,〃+1=0.

(1)若方程有两根，其中一根在区间(-1,0)内，另根在区间(1,2)内，求朋的取值范围；

(2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m的取值范围.

破题切入点将二次函数的特殊点按照题目要求固定到区间内，转化为不等式(组)进行求

解.

解(1)由条件，抛物线/)=/+2蛆+2m+1与x轴的交点分别在区间(-1,0)/

和(1,2)内，如右图所示，-卜、

C1

7(0)=+lvo

WGR，

ylx-l)=2>0I

何今<1

/(I)=4〃？+2<0m<-

7(2)=6m+5>0s

加51

即-4<*一》

故m的取值范围是(磊-1).

(2)抛物线与x轴交点的横坐标均在区间(0,1)内，如右图所示，列不等式

组

rxo)>o

Xi)>o

心0

<0<一m<\

C1

加>一]，

11

今'm>~y即-f/wWl-也.

加21+6或/wWl-啦，

<-1</„<0.

故/«的取值范围是1-6].

总结提高“三个二次”是一个整体，不可分割.有关“三个二次”问题的解决办法通常是

利用转化与化归思想来将其转化，其中用到的方法主要有数形结合、分类讨论的思想，其最

基本的理念可以说是严格按照一元二次不等式的解决步骤来处理.

■精题狂练

1.若/=任,2+伽+2我+1=0,XGR},8={珅。0},且NC8=。，则实数p的取值范围是

()

A.p>—4B.—4</?<0

C.p20D.R

答案A

解析当4=0时，J=(p+2)2-4<0,

-4<p<0.

当/#0时，方程¥+(p+2)x+1=0有一个或两个非正根，

心0,

,X|+X2=-(P+2)W0,

综上所述，p>~4.

2.已知函数2x+3在闭区间[0,〃”上的最大值为3,最小值为2,则用的取值范

围为()

A.[1,+°°)B.[0,2]

C.(一8,-2]D.[1,2]

答案D

解析；/(x)=(x-1)2+2,其对称轴为x=1,当x=1时，Xx)min=2,故相》1,又•.次))=3,

义2)=3,二加或2.综上可知1W/HW2.

3.方程f—/一团=0在1/]上有实根，则加的取值范围是()

A19n95

A.mW-77B.—77</T?<T

lolo2

c、5c9-15

C.加D--/哈

答案D

解析W=X2-|x=(x-^)2-X^[-1,1].

当x=-1时，m取最大值为9，

3995

当x=4时，"?取最小值为一而，

[x+1,x<0,.

4.已知函数段)=2c「八若关于X的方程/。)一如)=0恰有5个不同的实数

[x~—2x+\fx>0,

解，则。的取值范围是()

A.(0,1)B.(0,2)C.(1,2)D.(0,3)

答案A

解析设，=危)，

则方程为t2-at=0,

解得/=0或t=a,

即7(x)=0或4x)=a

如图，作出函数/(x)的图象，

由函数图象，可知,/)=0的解有两个，

故要使方程/(x)-af