圆锥曲线与方程双曲线

第二讲双曲线[知识梳理]［知识盘点］1．双曲线的定义：我们把平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（）的点的轨迹叫做双曲线，用符号表示为。这两个定点叫双曲线的，两个焦点之间的距离叫做双曲线的。2．双曲线的第二定义：平面内，到定点(或)的距离与到定直线的距离之比是常数（即）的动点的轨迹叫做双曲线，这个定点是双曲线的，这条定直线叫做双曲线的，其中常数叫做双曲线的。二．双曲线的标准方程3．当双曲线的焦点在轴上时，双曲线的标准方程为，其中焦点坐标为，，且；当双曲线的焦点在轴上时，双曲线的标准方程为，其中焦点坐标为，，且.当且仅当双曲线的中心在坐标原点，其焦点在坐标轴上时，双曲线的方程才是标准形式。三．双曲线的几何性质方程图形yyOA1F1A2F2xyyOB1F1B2F2x范围或对称性关于轴，轴及原点对称关于轴，轴及原点对称顶点离心率准线渐近线［特别提醒］本节的重点是双曲线的定义、方程、几何性质.难点是理解参数a、b、c、e的关系及渐近线方程、准线方程、第二定义的应用.关键是准确理解和掌握有关概念，灵活地运用数形结合、函数与方程的思想及等价转化的思想.为此建议在复习中注意以下几点：1.双曲线中有一个重要的Rt△OAB（如下图），它的三边长分别是a、b、c.易见c2=a2+b2，若记∠AOB=θ，则e==.2.双曲线的定义用代数式表示为||MF1|－|MF2||=2a，其中2a＜|F1F2|，这里要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a＜|F1F2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同.当|MF1|－|MF2|=2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的一支；当|MF1|－|MF2|=－2a时，曲线仅表示焦点F1所对应的一支；当2a=|F1F2|时，轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线；当2a＞|F1F2|时，动点轨迹不存在.3.参数a、b是双曲线的定形条件，两种标准方程中，总有a＞0，b＞0；双曲线焦点位置决定标准方程的类型；a、b、c的关系是c2=a2+b2；在方程Ax2+By2=C中，只要AB＜0且C≠0，就是双曲线的方程.4.在运用双曲线的第二定义时，一定要注意是动点P到焦点的距离与到相应准线距离之比为常数e.若使用的焦点与准线不是对应的，则上述之比就不再是常数了.5.给定了双曲线方程，就可求得确定的两条渐近线.但已知渐近线方程，只是限制了双曲线张口的大小，不能直接写出双曲线方程.但若已知渐近线方程是±=0，则可把双曲线方程表示为－=（≠0），再根据已知条件确定的值，求出双曲线的方程.[基础闯关]1．设P是双曲线－=1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y=0，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点.若|PF1|=3，则|PF2|等于()(A)1或5(B)6 (C)7 (D)92．（2022年北京春）“ab<0”是“曲线ax2+by2=1为双曲线”的(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分又不必要条件3．过点（2，－2）且与双曲线－y2=1有公共渐近线的双曲线方程是()(A)－=1(B)－=1(C)－=1(D)－=14．（）已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为（）（A）（B）（C）（D）25．已知圆C过双曲线－=1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是____________.6．给出问题：F1、F2是双曲线－=1的焦点，点P在双曲线上.若点P到焦点F1的距离等于9，求点P到焦点F2的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由||PF1|－|PF2||=8，即|9－|PF2||=8，得|PF2|=1或17.该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面横线上；若不正确，将正确结果填在题中的横线上.______________________________________________________.[典例精析]例1．设双曲线与椭圆有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的纵坐标为4，求双曲线的方程。［剖析］由于椭圆的焦点坐标为，且双曲线与椭圆具有相同的焦点，知双曲线的焦点也为，从而知所设双曲线的形式应为，围绕定义产生的问题，要注意的三个量之间的关系。本题抓住“交点”在双曲线上，必须满足定义，从而应用定义求出双曲线方程中的基本量。［解］解法一：由椭圆，得其焦点为或，双曲线的焦点在轴上，设所求的双曲线方程为().由已知得双曲线两焦点分别为，且与椭圆相交其中一个交点的纵坐标为4，设交点坐标为，从而得，解得，则解得，由于，得，因此方程即为所求.解法二：由题意设双曲线方程为，将A()代入求得，故所求双曲线方程为.［警示］利用定义法来求解双曲线的标准方程时，一定要抓住题设所给出的独立条件建立之间的等量关系，再利用运用方程的思想来求解，从而得到的值。但需注意首先应判断焦点的位置，以便于采用哪种形式的方程。［变式训练］：1.根据下列条件，求双曲线方程：（1）与双曲线－=1有共同的渐近线，且过点（－3，2）；（2）与双曲线－=1有公共焦点，且过点（3，2）.例2．设点P到点M（－1，0）、N（1，0）距离之差为2m，到x轴、y轴距离之比为2，求m的取值范围.［剖析］由|PM|－|PN|=2m，得||PM|－|PN||=2|m|.知点P的轨迹是双曲线，由点P到x轴、y轴距离之比为2，知点P的轨迹是直线，由交轨法求得点P的坐标，进而可求得m的取值范围.［解］设点P的坐标为（x，y），依题意得=2，即y=±2x（x≠0） ①因此，点P（x，y）、M（－1，0）、N（1，0）三点不共线，得||PM|－|PN||<|MN|=2.∵||PM|－|PN||=2|m|>0，∴0<|m|<1.因此，点P在以M、N为焦点，实轴长为2|m|的双曲线上.故设－=1. ②将①代入②，并解得x2=，∵1－m2>0，∴1－5m2>0.解得0<|m|<，即m的取值范围为（－，0）∪（0，）.［警示］求双曲线的方程，关键是求a、b，在解题过程中应熟悉各元素（a、b、c、e及准线）之间的关系，并注意方程思想的应用.［变式训练］2.（2022年上海浦东）已知曲线.（1）画出曲线的图像，（2）若直线与曲线有两个公共点，求的取值范围；（3）若，为曲线上的点，求的最小值.例3．已知双曲线C的中心在原点，焦点在轴上，点与其渐近线的距离为，过点P作斜率为的直线交双曲线于两点，交轴于M，且是与的等比中项.（1）求双曲线的渐近线方程；（2）求双曲线的方程.［剖析］(1)由点与其渐近线的距离为，借助于点到直线的距离公式可求得其渐近线方程；(2)由渐近线方程，可设双曲线方程，再借助于题条件，不难得到双曲线方程。［解］(1)设双曲线的一条渐近线方程为，由点到直线的距离公式得，即双曲线的渐近线方程为；（2）设双曲线方程为，，则直线的方程为.由得，当即时，有由可得，从而或.故所求的双曲线方程为或.［警示］渐近线是双曲线特有的，如果说双曲线的方程为，则其渐近线方程可记为.同时，以为渐近线的双曲线，其方程可设为；若已知双曲线的渐近线方程是以ax±by=0的形式给出的，则可设双曲线方程为a2x2－b2y2=（≠0）.［变式训练］3.已知双曲线关于两坐标轴对称，且与圆相交于点，若此圆过点P的切线与双曲线的渐近线平行，求此双曲线的方程。例4．已知直线与双曲线相交于A、B两点，那么是否存在实数使得两点关于直线对称？若存在，求出的值；若不存在，说明理由。［剖析］这是一类非常典型的题目上，“已知曲线：上是否存在相异的两点，使关于定直线对称”这类问题的基本解决思路是：若存在是曲线上相异两点，它们关于对称.设的中点为，则，即，=1\*GB3①，又=2\*GB3②，由=1\*GB3①=2\*GB3②可解得，根据坐标的范围，不难得出答案。［解］设，若存在这样的，使两点关于直线对称，则，且的中点满足.由，两式相减得：，，，即，又，即，，从而，这显然是不可能的，故不存在这样的直线。［警示］对于类似的探索性题目，我们一般假设符合题设条件的直线存在，从这个假设出发，如果能够推导出的值，则说明这样的直线是存在的；如果推导不出的值，或者说推导出矛盾的结果，这就说明满足条件的值不存在。［变式训练］4．已知双曲线－=1的离心率，左、右焦点分别为F1、F2，左准线为l，能否在双曲线的左支上找一点P，使得|PF1|是P到l的距离d与|PF2|的等比中项?例5．双曲线的焦距为2c，直线过点（a，0）和（0，b），且点（1，0）到直线的距离与点（－1，0）到直线的距离之和求双曲线的离心率e的取值范围.［剖析］本题是求双曲线的离心率取值范围问题，根据题设中的独立条件建立关于的等式或不等式，再利用与进行求解。［解］直线的方程为，即由点到直线的距离公式，且，得到点（1，0）到直线的距离，同理得到点（－1，0）到直线的距离由即于是得解不等式，得由于所以的取值范围是［警示］求方程的离心率的最值(或范围)问题，往往需要借僵双曲线的定义、图象、范围和性质，正(余)弦函数的有界性等，结合的关系，构造出一个关于离心率的不等式，从而达到求解的目的。［变式训练］5．设双曲线C：相交于两个不同的点A、B.求双曲线C的离心率e的取值范围。例6．（2022年北京宣武区）神舟6号飞船返回仓顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回仓预计到达区域安排三个救援中心（记为A，B，C），B在A的正东方向，相距6km，C在B的北偏东30°，相距4km，P为航天员着陆点，某一时刻A接到P的求救信号，由于B、C两地比A距P远，因此4s后，B、C两个救援中心才同时接收到这一信号，已知该信号的传播速度为1km/s。 （I）求A、C两个救援中心的距离； （II）求在A处发现P的方向角； （III）若信号从P点的正上方Q点处发出，则A、B收到信号的时间差变大还是变小，说明理由。［剖析］对于(1)以借助于两点间的距离公式得到；(2)抓住这一条件可知P在BC线段的垂直平分线上且，由双曲线的定义，可得P在以A、B为焦点的双曲线的左支上，从而求出其对应的方程；(3)是一个比较大小的问题，一般的处理思路是作差法比较.［解］解：（I）以AB中点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则 则 即A、C两个救援中心的距离为（II），所以P在BC线段的垂直平分线上 又，所以P在以A、B为焦点的双曲线的左支上，且 ∴双曲线方程为 BC的垂直平分线的方程为 联立两方程解得： ∴∠PAB＝120° 所以P点在A点的北偏西30°处.（III）如图，设 又∵， 即A、B收到信号的时间差变小，且两救援中心收到信号的时间少于4秒。MDCBA［警示］面对实际问题，首先要构建数学模型，将实际问题转化为数学问题。本题抓住MDCBA［变式训练］6．如图所示，某农场在M处有一堆肥料沿道路MA或MB送到大田ABCD中去，已知|MA|=6，|MB|=8，|BC|=3，，能否在大田中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿MA送肥料较近，而另一侧沿MB送肥料较近？若能，请建立适当的直角坐标系，求出这条界线的方程.[能力提升]1．若，则“”是“方程表示双曲线”的()（A）充分不必要条件.（B）必要不充分条件.（C）充要条件.（D）既不充分也不必要条件.2．（2022年江西卷）P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆（x＋5）2＋y2＝4和（x－5）2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为（）(A)6(B)7(C)8(D)93．如果双曲线－＝1上一点P到它的右焦点的距离是8，那么P到它的右准线距离是()(A)10(B)(C)2(D)4．（2022年福建卷）已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（） （A）（B）（C）（D）5．（2022年全国卷I）双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则()(A)(B)(C)(D)6．若双曲线的渐近线方程为，它的一个焦点是，则双曲线的方程是__________。7．双曲线＝1的两个焦点为F1、F2，点P在双曲线上，若PF1⊥PF2，则点P到x轴的距离为.8．（2022年湖南卷）已知双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，右准线与一条渐近线交于点A，△OAF的面积为（O为原点），则两条渐近线的夹角为9．已知双曲线的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且则点M到x轴的距离为