人教版数学必修二

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第四章圆与方程重难点解析

第四章课文目录

4.1圆的方程

4.2直线、圆的位置关系

4.3空间直角坐标系

重点：

1、圆的标准方程。

2、圆的般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的

系数，D、E、F.

3、直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法.

4、用坐标法判断圆与圆的位置关系.

5、直线与圆的方程的应用.

难点：

1、会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。

2、对圆的一般方程的认识、掌握和运用•

3、用坐标法判直线与圆的位置关系.

4、用坐标法判断圆与圆的位置关系.

5、直线与圆的方程的应用.

一、圆的标准方程

1、圆心为C(a,b),半径为厂的标准方程为：

(x-a)2+(y-b)2=r2

由圆的标准方程知它含有三个参数，因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆。特别

地，若圆心为原点，此时。=8=0,圆的标准方程为-+y2=72

2、过圆上一点的切线方程：

M@0，%)在圆，+—=一上,过乂的切线方程为xox+yoy=r~

当M(x0,y0)在圆(x—。了+⑶―⑥2=/上，过M的圆的切线方程为

-a)(x—a)+—A)(y_6)=r2

3,满足如下两点，才可称方程(x—a)2+(y-6)2=/是以(a,b)为圆心，厂为半径的

圆的方程：

⑴若点(X,y)在以(4,3为圆心，/•为半径的圆上，则(x,y)必须满足方程

(x-a)2+(y-b)2=r1；

(2)满足方程(X—。)2+(〉一份2=r2的点一定在以3,切为圆心，尸为半径的圆上。

4、判断点P在圆上、圆内、圆外的依据是比较点P到圆心的距离d与半径r的大小关系：

d>r=点P在圆外；d=r=点P在圆上；d〈rO点P在圆内。即点P(x。，汽)在圆

(x—a)2+(y—b)2=/外的条件是(%—。)2+(方一％)2>/；在圆a—q)2+(y—b)2=

下上的条件是(/-a))+(%-/?)2=产；在圆(x—a)2+(y-6)2=卜2内的条件是

22

(X。-a)+(y0-by<r,,

5、求曲线方程的一般步骤为：

(D建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示曲线上任意点M的坐标，简称建系设点；

(2)写出适合条件P的点M的集合P={M|P(M)；},简称写点集；

(3)用坐标表示条件P(M),列出方程f(x,y)=0,简称列方程；

(4)化方程f(x,y)=0为最简形式，简称化简方程；

(5)证明化简后的方程就是所求曲线的方程，简称证明.

其中步骤⑴(3)(4)必不可少.

典型例题：

例1：(1)已知一个圆的直径的端点是A(T,2)、B(7,8),求该圆的方程。

(2)已知一个圆的直径的端点是A(X1,必)、BQ:2,乃)，求该圆的方程。

礴求出圆心、半径或利用求轨迹方程的方法求解。

西⑴•••A(-l,2)、B(7,8)是圆的直径的两个端点,

圆心C为线段AB为中点,即C(3,5)o

又圆的半径r=7(3+1)2+(5-2)2=5

•..圆的方程为。一3)2+(>一5)2=25

(2)设P(x,y)是所求圆上的任一点，贝1北.=上二"，心户=2二&.,

X-Xjx-x2

・・・AB为圆的直径，.・.APJ_8尸，故的尸・心尸二一1，

即=.•.(》一七)口一4)+。一%)(＞一为)=0(※)

x-x2x-X\

当P与A或B堂合时，也满足方程(X)

故圆的方程为(x-X])(x-x2)+(y-＞'|)(y-y2)=o

迹]一是体现从特殊到一般的认识规律；二是想说明在解题时，要根据具体问题的特点灵

活地选择解题方法，如第(2)小题也按第(1)小题的方法做就显得繁琐。

例2：k为何值时，直线x—2y—2女=0与2x—3y-A=0的交点在圆x2+/=9外？

陋求出两直线的交点坐标，利用交点在圆外寻求％的不等式。

I----1[x-2y-2k=0

函由《得两直线交点P的坐标为(-4k,-3k)

[2x-3y-k=0

•••P在圆元2+y2=9外，...p到圆心(0,0)的距离大于半径3,

._______________OO

即J(—4k)2+(—3k)2〉3,解得左＜一一或

.•.当人＜—己或々时，直线x-2y—2A:=0与2x—3y—&=0的交点在圆Y+V=9

外

■判断点P在圆上、圆内、圆外的依据是比较点P到圆心的距离d与半径r的大小关系:

d＞r=点P在圆外；4=r=点P在圆上；d〈r=点P在圆内。

例3：求过点A(l,-1)、B(-l,1)且圆心在直线x+y—2=0上的圆的方程。(2001年全国

文科高考题)

■本题关键是求出圆心C的坐标，而圆心C应是AB的垂直平分线与已知直线的交点。

噩线段AB的垂口平分线方程为y=x

由ry=x得圆心c的坐标为(i,i)

x+y-2=0

..•所求圆的半径r=CA|=7(1-I)2+(1+1)2=2

.•.所求圆的方程为(x—1)2+(>-1)2=4

回蜀在求解解析几何问题时，要强调图形在分析问题中的辅助作用，要适当地应用几何知

识来帮助解题，这是简化解题过程中运算量的一个有效技巧。这里的几何知识主要包括两方

面的内容：-一是应用平面几何中的有关定理(通常在涉及直线和圆的问题中用得上)；二是在

求解圆锥曲线的某些问题时，应注意它们的儿何定义。

例4：求以。(1,3)为圆心，且与直线3x—4y—7=0相切的圆的方程

虔避关键是求半径，而由直线和圆相切知半径即为圆心到直线的距离。

睡设圆的半径为r

圆与直线相切

|3-12-7|16

，圆心。(1,3)到直线3x—4y—7=0距离d=r=--------=—

,.256

，圆的标准方程为：(x—l)2+(y—3)2=三

法一、如图，设切线斜率为A,半径0M的斜率为%,

二-k=-\

•.•占=比Ak=-2

/y。

切线方程为=-E(X—X。)，整理得

汽

2

/x+w=「

当点M在坐标上时，上述方程同样适用。

法二、设P(x,y)是切线上任意一点，则

OM2+MP2^OP2即/+(%—x0)2+(＞一汽)2=/+y2

整理得

222

r+x0+y0=2xox+2yoyUP

2

切线方程为：xox+=r

法三、设P(x,y)是切线上任意•点，则。

OMMP=0即(xo，yo>(x-xo，y-yo)=。

22

整理得x0+y0=x0x+

2

.,.切线方程为：xox+yoy=r

二、圆的一般方程

1、圆的一般方程：

将圆的标准方程(X—。尸+(y—匕/=r2的展开式为：

x2+y2-lax-2by+(a2+&2-r2)=0

取O=—2a,E=—2/?/=/+/一72得

x2+y2+Dx+Ey+F-Q①

这个方程是圆的方程.反过来给出一个形如x2+y2+Ox+Ey+尸=。的方程，它

表示的曲线一定是圆吗？

再将上方程配方，得(x+-)2+(y+-)2=D-+E--4F②

224

不难看出，此方程与圆的标准方程的关系

(1)当。2+52—4尸＞0时，表示以(-2,-£)为圆心，〃炉+卢”尸为半径

222

的圆；

(2)当。2+52-4/=0时，方程只有实数解x=—2,y=--,即只表示一个

22

点(-：,-f);

22

(3)当。2+^2—4/＜0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形,

综上所述，方程+Ox+Ey+尸=0表示的曲线不一定是圆，

只有当。？+E2—4歹＞0时，它表示的曲线才是圆，我们把形如

x2+y2+Dx+Ey+F^0的表示圆的方程称为圆的一般方程。

2、圆的一般方程的特点:

(1)①/和y2的系数相同，且不等于0；②没有犯这样的二次项

(2)确定圆的一般方程，只要根据已知条件确定三个系数D,瓦户就可以了

(3)与圆的标准方程比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准

方程则明确地指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。

3、用待定系数法求圆的方程的步骤：

(1)根据题意设所求圆的方程为标准式或一般式；

(2)根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程；

(3)解方程组，求出a、b、r或I)、E、F的值，代入所设方程，就得要求的方程.

注意：关于何时设圆的标准方程，何时设圆的一般方程：•般说来，如果由已知条件容

易求圆心的坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题，往往设圆的标准方程；如

果已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系，往往设圆的般方程.

典型例题：

例1：求过三点A(0,0),B(1,1),C(4,2)的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心

坐标。

底弱据已知条件,很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方程则需确定三个系数，而条

件恰给出三点坐标，不妨试着先写出圆的一般方程。

噩设所求的圆的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F

40,0),8(1,1),C(4,2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上

面的方程，可以得到关于。，瓦尸的三元•次方程组，

N=0

即，D+E+F+2^0

4D+2E+F+2Q=Q

解此方程组，可得：D=-8,E=6,F=0

...所求圆的方程为：x2+y2-Sx+6y=0

r=-VD2+£2-4F=5-—=4,--=-3

2：22

得圆心坐标为(4,~3).

或将r+y2_8x+6y=0左边配方化为圆的标准方程，(X—4)2+()，+3)2=25,从

而求出圆的半径厂=5,圆心坐标为(4,-3),

例2：求圆心在直线/：x+y=0上，且过两圆Cl：x2+y2-2x+10y-24=0和C2:x2+y2+2x+2y-8=0

的交点的圆的方程.

/+y^-2x+lOy-24=0

斛解"蛆=0,铜幅交点为r叽

（0,2）.

设所求圆的方程为（x-a）2+（y-b）2=r2,因为两点在所求圆匕且圆心在直线/上所以

得方程组为

（-4-a）1+b1=r,

«a1+（2-b）l=rJ

a+b=0

■

解得।a=-3.b=3,r=45.

故所求圆的方程为：（x+3）2+（y-3）2=10.

法二：设所求圆的方程为：

x2+y2-2x+10y-24+X（x2+y2+2x+2y-8）=0（入#-1）

整理并配方得：

1-X5+X24+8入1-X5+X

年E）+G+K）=WT+（G）+W-

队为（K4,-浅■）.

由圆心在直线/上得人=-2.

将X=-2代入所假设的方程便可得所求圆的方程为x2+y2+6x-6y+8=0.

例3：已知线段AB的端点B的坐标是（4,3）,端点A在圆上（x+lp+y2=4运动，求线

段AB的中点M的轨迹方程。

翘如图点A运动引起点M运动，而点A在已知圆上运动，点A的坐标满足方程

（x+lf+y2=4。建立点M与点A坐标之间的关系，就可以建立点M的坐标满足的条件，

求出点M的轨迹方程。

整

设点M的坐标是（x,y），点A的坐标是

（%,打）.由于点B的坐标是（4,3）且M是线段AB的重点，所以

丫_/+4丫_几+3

人一,）一

22①

于是有%=2x-4,%=2y-3

因为点A在圆（x+l），y2=4上运动，所以点A的坐标满足方程（x+1?+'=4,

即（%+1）2+%2=4

22

(x0+l)+y0=4

把①代入②，得

(2x—4+l)?+(2y—3)2=4,整理,得£力+fy-|^=]

例4：已知一曲线是与两个定点0(0,0),A(3,0)距离的比为;的点的轨迹，求此曲线的方程,

并画出曲线。

画在求出曲线方程之前，很难确定曲线类型，所以应按照求曲线方程的•般步骤先将曲

线方程求出•

■设点M(x,y)是曲线上的任意一点，也就是点

\OM\1

例(x,y)属于集合「={〃I—^=一}。

\AM\2

即"l+y2,x2+y2-1

V(x-3)2+y22'(x-3)2+y24

整理得：x2+y2+2x-3^0

所求曲线方程即为：/+>2+2》_3=0,

将其左边配方，得(x+l)2+/4。

...此曲线是以点C(-1,0)为圆心，2为半径的圆.如右上图所示。

变型：(1)已知-动点M到定点A(3,0)与到。。0)距离之比为常数k伏＞0),求动点M

的轨迹。

3

①当左=1时，方程为x=—,轨迹为线段A。的垂直平分线；

2

39k°3

②当上＞0且女#1时，方程为(x+1—)2+/=-7—,轨迹时以(一一L，0)为圆心,

k_1k_1k_1

为半径的圆。

k~~1

(2)已知定点A(3,0),8(1,0),0(0,0),动点尸满足射线尸8平分NAP。，求动

点P的轨迹。

由内分定理知理=圜=2,由(1)知方程为(x+l)2+y2=4,轨迹是圆。

\PO\\BO\

三、直线、圆的位置关系

1、直线与圆的位置关系的判定：

①代数法：

Ax+By+C=0

由方程组2，^mx2+nx2+p=0(m0),A=n2-Amp

(x-a)2+(y-b)2

J>0方程组有两解u＞相交

j=o方程组有一解=＞相切

/<0方程组无解=＞相离

②几何法：

直线与圆相交|=>d<r

直线与圆相切d-r

直线与圆相离nd>r

位置关系几何特征方程特征几何法代数法

相交有两个公共点方程组有两个不同实根d<r△>0

有且只有一公共

相切方程组有且只有一实根d=r△=0

点

相离没有公共点方程组无实根d>r△<0

注意：

①直线和圆相切,这类问题主要是求圆的切线方程.求圆的切线方程主要可分为己知斜率A或已

知直线上一点两种情况，而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况.

②直线和圆相交，这类问题主要是求弦长以及弦的中点问题.

2、圆与圆的位置关系有外离、外切、相交、内切和内含五种。

圆与圆的位置关系的判断方法：

(1)代数法：圆与圆有几个公共点，由它们的方程组成的方程组有几组实数解确定；

⑵几何法：依据连心线的长4与两圆半径长的和或两圆半径长的差的绝对值

的大小关系，判断两圆的位置关系，即：

J>r,+r2两圆外离；

=两圆外切；

\rt-r2\<d<rt+r2=>两圆相交;

d=1r,-r2I两圆内切;

d<\r}-r2\0两圆内含。

典型例题：

例1:设山>0,则直线正(A+_K)+1+"尸0与圆/+/=而的位置关系为

A.相切B.相交

C.相切或相离D.相交或相切

噩圆心到直线的距离为漆匕上,圆半径为J府.

---2

Vd—r^+m—y/7n=—(zzr-2Vjrn+1)=—(y[m-1)’20,

222

.••直线与圆的位置关系是相切或相离.

例2：圆/+/—4矛+4尸6=0截直线x—y—5=0所得的弦长等于

A.V6B.C.1D.5

2

画圆心到直线的距离为孝，半径为血，弦长为2}啦)2_(曰)2=c.

例3：(2004年全国卷III,4)圆/+/—4年0在点产(1,百)处的切线方程为

A.方■My—2=0B.x+V3y-4=0

C.x-V3y+4=0D.x-73户2=0

解圄解法一:

f+7-4尸0

y=kx-k+\[3

=>x—4A+(jtx—A+A/3)=0.

该二次方程应有两相等实根，即4=0,解得依二.

3

同

/.y一网二—―(x—1),即x—VJp+2=0.

3

解法二：•.•点(1,V3)在圆/+/—4尸0上，

工点、P为切点,从而圆心与〃的连线应与切线垂直.

又•.•圆心为(2,0),...吐8•公一1.

2-1

解得后3,...切线方程为X—6jH2=0.

3

例4：(2004年上海，理8)圆心在直线2万一了一7二0上的圆C与y轴交于两点4(0,-4)、

B(0,-2),则圆。的方程为.

髭图•••圆「与y轴交于力(0,-4),8(0,-2),

由垂径定理得圆心在尸一3这条直线上.

又已知圆心在直线2%—y—7=0上，

联立J尸一3，解得42,

\2x-y-7=0.

工圆心为(2,-3),

半径i^\AC\=^22+[-3-(-4)]2=75.

二所求圆C的方程为0—2)2+(—3)=5.

答案：(x—2)2+(产3)2=5

例5：若直线尸户々与曲线广版二品恰有一个公共点，则4的取值范围是.

解析：利用数形结合.

答案：一或公一行

例6：已知圆f+/+x-6严炉0和直线产2y-3=0交于只。两点，且以L00(0为坐标原点),

求该圆的圆心坐标及半径.

■由于利_1。。，所以心•3一1,问题可解.

解答|将产3—2y代入方程x+y+x—6y+npO,得54-20_y+12+®=0.

设夕(为，％)、。(抱，川，则I必、必满足条件

.12+771

%+度=4,巾"二一--.

OPLOQ,，£生+力度=0.

而为二3一2%,后3—2%

/.^1^2-9—6（力+〃2）+471/2.

：.炉3,止匕时/＞0,圆心坐标为（一1，3）,半径尸之.

22

函在解答中，我们采用了对直线与圆的交点“设而不求”的解法技巧，但必须注意这样

的交点是否存在，这可由判别式大于零帮助考虑.

例7：求经过两圆（户3）旺炉=13和（广3）J37的交点，且圆心在直线x—y-4=0上的

圆的方程.

■根据已知，可通过解方程组

一（/3）一+片13,得圆上两点，

Ix+（尹3）=37

由圆心在直线x—y-4=0上，三个独立条件，用待定系数法求出圆的方程；

也可根据已知，设所求圆的方程为（户3）'+/—13+4[%+（,v+3）2—37]=0,再由圆

心在直线x—y—4=0上，定出参数/，得圆方程.

噩因为所求的圆经过两圆（户3），4=13和（尸3）J37的交点，

所以设所求圆的方程为（户3）,+/—13+H[z+（T+3）,-37]=0.

展开、配方、整理，得（户工）12+（j^—）2=4+28"9（1+，：）

1+A1+/11+A（1+A）2

a

圆心为（一二一，--）,代入方程X—y—4=0,得a=-7.

1+41+A

17QQ

故所求圆的方程为（户上）2+（y^-）=—.

222

总结圆6i：x+y+D\x+Eiy+F\=Q,圆G：V+/+Nx+氏户■内=0,若圆G、G相交，那么过两圆公

共点的圆系方程为+Af.x+y+D^E^Fi'）=0（46口且/1±-1）.它表

示除圆G以外的所有经过两圆G、G公共点的圆.

例8：已知圆G（A—1）2+（y-2）2=25,直线7：（2研1）广（/1）y-7k4=0（®GR）.

（1）证明：不论勿取什么实数，直线/与圆恒交于两点；

（2）求直线被圆。截得的弦长最小时/的方程.

■直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得.

解图（1）证明：，的方程（户y-4）+m（2A+Z-7）=0.

・・UD・-2户p—7=0,一广3,

.机eR,・[得＜

y+y—4=0,l.尸1,

即/恒过定点力（3,1）.

•.•圆心C（l,2）,I"1=石＜5（半径），

.••点力在圆C内，从而直线，恒与圆「相交于两点.

（2）解：弦长最小时，1LAC,由人=—工

2

国画求出两圆的交点坐标，再求出圆心和半径；或利用圆系方程求解。

(«a+yJ-l2x-2y-l3=0

解答解法一：联切咽方程,z,

«3+ya+l2«+16y-25=0

相减得公共弦所在直线方程为4x+3y-2=0.

r2、

再由+'—12x-2y-13-0解得两圆的交点坐标A(_],2)、B(5,6)

4x+3y-2=0

・・•所求圆以AB为直径，

二所求圆的圆心是AB的中点M(2,-2),圆的半径为r=」IAB|=5

2

于是所求圆的方程为(x—2)2+0+2)2=25.

解法二：设所求圆的方程为：

x2+y2-12x-2y-13+A(x2+y2+12x+16)，-25)=0

BP(l+2)x2+(l+2)y2-(12-12/l)x-(2-16/l)y-13-25/l=0

..1,xo«z12/1—12162—2、

圆心刖林为C(---------,--------)

2(1+4)2(1+4)

•.•圆心C应在公共弦AB所在直线上,

--(12X.12).-(16X-2)--

•-4-^a7xT+3，la7xr-2=0-

；•所求圆的方程为4》+4),-17=0

回蜀解法一体现了确定圆的条件，求圆心和半径的这一基本方法；解法二采取了设所求圆

的方程为圆系方程，再用求待定系数求解，解法二比较简练.

例12：求与圆x2+y2-4x-8y+15=0相切于点P(3,6),且经过点Q(5,6)的圆的方

程。

逮可将点P看成一个特殊的圆，利用圆系方程求解。

画切点P(3,6)在已知圆上,将它视为“点圆”：(x—3)2+(y—6>=0,

故可建立圆系方程—+y2—4x—8y+15+%(x—3)2+(y—6)2]=0

..•所求圆经过点Q(5,6),代入上述方程，解得;1=-2

故所求圆的方程为/+y2-8x-16y+75=0

■在求与已知直线或已知圆相切于某一已知点的圆的方程时，把切点视为“点圆”，并运

用圆系方程求解，是一个重要的方法和技巧。

例13：求证：OC1；(x—6>+(y+2)2=16与。C2：(无一4>+(>—2)2=4在同一交点

处的切线互相垂直。

逮利用圆的几何性质证明，即证交点处的一圆的半径与另一圆在此处的半径垂直。

噩设两圆交于点A、B,连C|A、C?A,

：IC021=J(6—4(+(—2—2产=场,C|A|=4,C2A=2

2

：.\CXC2|2=IC]A|2+IC2A1,即C|A_LC2A

山平面几何知识知：3A所在直线是。C2的切线，C2A所在直线是。g的切线，

二与。C2在交点A处的切线互相垂直。

同理可证：OC,与(DC2在交点B处的切线互相垂直。

本题利用了圆的几何性质，思路清晰、明快。可见，认真审题，充分利用图形的几何

性质，有效地实施命题转换，寻找证题思路是十分重要的，这也是能力的体现。

例14：已知圆q:f+y2+2尤一6y+l=0,圆C2：x?+丁—4x+2y—11=0,求两圆的

公共弦所在的直线方程及公共弦长.

朝因两圆的交点坐标同时满足两个圆方程，联立方程组，消去Y项、V项，即得两圆的

两个交点所在的直线方程，利用勾股定理可求出两圆公共弦长.

瓯设两圆交点为4($,%)、BO2,%)，则A、8两点坐标满足方程组

[x2+/+2x-6y+l=0,(1),

,2，⑴-⑵得3x-4y+6=0.

|/+/_4犬+2)，-11=0,(2)

因为，A、8两点坐标都满足此方程，

所以，3x—4y+6=0即为两圆公共弦所在的直线方程.

易知圆G的圆心(一1,3)，半径r=3.

又G到直线的距离为

1-1x3-4x3+61_9

所以,

+-5

AB=2ylr2-d2=2,-（1）2=y.即两圆的公共弦长为y.

函本题较为复杂，要讨论的情况比较多，解题过程中要注重分析.

例15：求过两圆/+>2+6%-4=0和f+>2+6），—28=0的交点，且圆心在直线

x-y-4=0上的圆的方程.

邀所求圆圆心是两已知圆连心线和已知直线的交点，再利用弦心距、弦长、半径之间的

关系求圆半径

（法一）可求得两圆连心线所在宜.线的方程为x+y+3=0.

x-y-4=0,

由《

[x+y+3=0,

利用弦心距、弦长、半径之间的关系可求得公共弦长d=病，所以，圆半径

、2

+41

,2fl2l89

+T

7

所以，所求网方程为（x_g）2+（y+3=-8-9,

2

即f+y2-x+7y—32=0

（法二）设所求圆的方程为x2+/+6x-4+2(x2+/+6y-28)=0即

22624+28/1

x+y-+----x+y---------0.

1+2T+7-1+2

3-323-32

故此圆的圆心为（-），它在直线x—y—4=0上，所以一---------1----------4=0,

l+A,1+A1+21+2

所以a=一7.

所以所求圆方程为/+y2—x+7y一32=0

噩“解法二”中设出的经过两已知圆交点的圆方程叫做经过两已知圆的圆系方程.

四、空间直角坐标系

1、定义:

A

y

如图，OABC-D'A'B，C是单位

正方体，以0为原点分别以射线OA,

OC,0Dz的方向为正方向，以线段

OA,OC,0D，的长为单位长，建立

三条数轴：X轴、Y轴、Z轴.这

时我们说建立了一个空间直角坐标图(1)

z

系0—xyz»其中点0叫做坐标原点，

x轴、y轴、z轴叫做坐标轴。通过每两个坐标轴的平面叫做&标平面，分别称为xOy平面、

yOz平面、zOx平面。R

说明：右手直角坐标系。

2、空间直角坐标系的画法：斜二测方法

3、空间一点坐标M(x,y,z)其中x叫做点M的

横坐标，y叫做点M的纵坐标，图(2)

z叫做点M的竖坐标。x

4、空间直角坐标系的卦限：

类比平面直角坐标系有四个象限及点关于坐标轴对称点坐标的变化，启发学生想象，坐

标平面把空间分成八部分，介绍空间直角坐标系的卦限的概念，并归纳总结空间点关于坐标

轴对称时点的坐标变化。

5,空间的点M用有序实数对(x,y,z)表示：

设点M为空间直角坐标系中的一点，过点M分别作垂直于x轴、y轴、z轴的平面，依

次交x轴、y轴、z轴于P、Q、R点，设点P、Q、R在x轴、y轴、z轴上的坐标分别是X、

y和z,那么点M就有唯一确定的有序实数组(x,y,z)；反过来，给定有序实数组(x,y,z),

可以在x轴、y轴、z轴上依次取坐标为x、y和z的点P、Q和R,分别过P、Q和R点各作

一个平面，分别垂直于x轴、y轴、z轴，这三个平面的唯一的交点就是有序实数组(x,y,z)

确定的点M。

6、特殊点的规律：在xOy平面上的点的竖坐标都是零，在yOz平面上的点的横坐标都是零,

在zOx平面上的点的纵坐标都是零；在Ox轴上的点的纵坐标、竖坐标都是零，在Oy轴上的

点的横坐标、竖坐标都是零，在Oz轴上的点的横坐标、纵坐标都是零。

7、注意：

(1)、在建立空间直角坐标系O-xyz时，要注意使NxOy=NxOz=135",ZyOz=9G,

且使y轴和z轴的单位长度相同，x轴上的单位长度为y轴(或z轴)的单位长度的一半。

(2)、在确定给出空间图形各顶点的坐标时，关键是能根据已知图形，建立适当的空间直角

坐标系，以便于计算所需确定的点的坐标。

(3)、对于空间直角坐标系中的问题，要善于用类比于平面直角坐标系中相关问题的求解方

法解决。

典型例题：

例1：在空间直角坐标系中，作出点M(6,-2,4)。

隔阚点M的位置可按如下步骤作出：先在x轴上作出

横坐标是6的点，再将沿与y轴平行的方向向左移动2个单位得到点M],然后将

沿与z轴平行的方向向上移动4个单位即得点M。

陪H点的位置如图所示。

匾蜀对给出空间直角坐标系中的坐标作出这个点、给出具体的点写出它的空间直角坐标系

中的坐标这两类题目，要引起足够的重视，它不仅可以加深对空间直角坐标系的认识，而且

有利于进一步培养空间想象能力。

例2：已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为4,侧棱长为10,试建立适当的空间直角坐标系,

写出各顶点的坐标。

邀先由条件求出正四棱锥的高，再根据正四棱锥的对称性，建立适当的空间直角坐标系。

瓯・••正四棱锥P-ABCD的底面边长为4,侧棱长为10,

二正四棱锥的高为2后。

以正四棱锥的底面中心为原点，平行于AB、BC所在的直线分别为x轴、y轴，建立如

图所示的空间直角坐标系,则正四棱锥各顶点的坐标分别为A(2,-2,0)、B(2,2,0)、C(-2,2,

0)、D(-2,-2,0)、P(0,0,2V23)o

圈留在求解此类问题时，关键是能根据已知图形，建立适当的空间直角坐标系，从而便于

计算所需确定的点的坐标。

例3：在长方体—与G?中，AB=12,AD=8,AAt=5,试建立适当的空间直角坐

标系，写出各顶点的坐标。

廨翱以A为原点,射线AB、AD、分别为x轴、y轴、z轴的正半轴,建立空间直角坐标

系，则A(0,0,0)、B(12,0,0)、C(12,8,0)、D(0,8,0)、At(0,0,5)、B1(12,0,5)、Cx(12,8,

5)、Di(0,8,5)。

例4：在空间直角坐标系中，求出经过A(2,3,1)且平行于坐标平面yOz的平面a的方程。

扈摒求与坐标平面yOz平行的平面的方程，即寻找此平面内任一点所要满足的条件，可利

用与坐标平面yOz平行的平面内的点的特点来求解。

噩坐标平面yOzlx轴，而平面a与坐标平面yOz平行，

平面a也与x轴垂直，

平面a内的所有点在x轴卜一的射影都是同一点，即平面a与x轴的交点，

，平面a内的所有点的横坐标都相等。

•.•平面a过点A(2,3,1)，，平面a内的所有点的横坐标都是2,

平面。的方程为x=2。

圈蜀对于空间直角坐标系中的问题，可先回忆与平面直角坐标系中类似问题的求解方法，

再用类比方法求解空间直角坐标系中的问题。本题类似于平面直角坐标系中，求过某一定点

且与X轴(或y轴)平行的直线的方程。

例5：如图，在长方体OABC-D'A'B'C'中，|0A|=3,0C|=4,|0>|=2。写出D',

C,A',B'四点的坐标。

ggy在Z轴上,且|OD，|=2

它的竖坐标是2,它的横坐标xij

纵坐标y都是零，所以点D'的

坐标是（0,0,2）

同理点C的坐标是（0,4,0）

点A'的坐标是（3,0,2）

x

点B'在xOy平面上的射影是B,因此它的横坐标x与纵坐标y同点B的横坐标x与纵坐标

y相同。在xOy平面上，点B横坐标x=3,纵坐标y=4。点B'在z轴上的射影是D',它的

竖坐标与点D'的竖坐标相同，点D'的竖坐标z=2。所以点B'的坐标是（3,4,2）。

例6：结晶体的基本单位称为晶胞如图是食盐晶胞的示意图。其中色点代表钠原子，黑点代

表氯原子。建立空间直角坐标系O—xyz后，试写出全部钠原子所在位置的坐标。

触图把图中的钠原子分成上、中、下

三层来写它们所在位置的坐标。

F层的原子全部在xOy平面上

所以这五个钠原子所在位置的

坐标分别为：（0,0,0）,

（1,0,0）,（1,1,0）

（0,110）,（—，—»0）

22

中层的原子所在的平面平行于xOy平面，

与z轴交点的竖坐标为所以这四个

2

钠原子所在位置的坐标分别是（,，0,-）,

22

上层的原子所在的平面平行于xOy平面，与z轴交点的竖坐标为1,所以这五个钠原子所在

位置的坐标分别是（0,0,1）,

(1,0,1),(1,1,1),(0,1,1),(-,-,1)»

22

第四章《圆与方程》单元测试题

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1.方程x2+y2+2ax-by+c=0表示圆心为C（2,2）,半径为2的圆，则a、b、c的值

依次为

（A）2、4、4；（B）-2、4、4；（C）2、-4、4；（D）2、-4、-4

2.直线3x4y4=0被圆(x-3尸+y2=9截得的弦长为()

(A)2VT(B)4(C)4V2(D)2

3.点(1,1)在圆(x-a)?+(y+a/=4的内部，则。的取值范围是(