冲刺四转化与化归思想

冲刺四转化与化归思想数学问题解答题离不开转化与化归，它即是一种数学思想又是一种数学能力，高考对这种思想方法的考查所占比重很大，是历年高考考查的重点。预测2022年高考对本讲的考查为：（1）常量与变量的转化：如分离变量，求范围等；（2）数与形的互相转化：若解析几何中斜率、函数中的单调性等；（3）数学各分支的转化：函数与立体几何、向量与解析几何等的转化；（4）出现更多的实际问题向数学模型的转化问题。热点考向一集合问题例1、（1）设集合，22b①的取值范围是；②若且的最大值为9，则的值是。22b（2）设A、B、I均为非空集合，且满足，则下列各式中错误的是（）解析：（1）①②；①由图象可知的取值范围是；②若则（x，y）在图中的四边形内，t=在（0，b）处取得最大值，所0+2b=9，所以b=（2）将题设条件转化为图形语言，即构造图2，由图形逐一验证，得B项不正确，故应选B。点评：对于许多集合问题，通过转化，将不熟悉和难解的集合问题转化为熟知的易解的问题，将抽象的问题转化为具体的直观的问题，便于将问题解决。热点考向二、函数问题例2．（1）已知函数α,β满足，求的值；（2）关于x的方程在［0，π］内有解，求a的取值范围。解析：（1）构造函数则有又在R上是单调递增的奇函数，且故。（2）此题就直接解三角方程再确定的范围，简直难以下手，并且繁琐无比，但若转化为求在的取值范围，问题就简单易解，通过简单的计算，很快得到了的取值范围是。点评：构造函数解题是数学中的常用方法，通过巧妙地构造辅助函数，把原来的问题转化为研究辅助函数的性质，从而达到解题目的。热点考向三不等式问题例3、（1）已知a，b，，且，求证：；（2）当时，不等式恒成立，则的取值范围是。解析：（1）分析1：，的形式可以联想到两点连线的斜率，所以可构造斜率来解题。图1证法1：如图1，设A（b，a），B（-m，-m），其中。因为，则直线OA的斜率：直线AB的斜率：因为B在第三象限的角平分线上，所以AB必与x轴正半轴相交，且有所以，即分析2：，的形式与相似三角形中的对应线段成比例类似，所以可联想到构造相似三角形来解题。图2证法2：如图2，在和，，，，作CE//BD交DF于E。因为，所以（斜边大于直角边）（2）；构造函数：。由于当时，不等式恒成立。则，即。解得：。点评：联想是由一事物联想到另一事物的思维方式和过程，这种联想通常是事物的形式、结构、范围、关系等因素作用的结果。由联想而引发的构造称之为联想构造。热点考向四、三角问题例4．（1）已知，且，求证：；证明：设，其中则，原不等式得证。点评：三角换元法：把代数形式转化为三角形式，利用三角函数的性质解决。（2）若，则（）A． B．C． D．解析：若直接比较a与b的大小比较困难，若将a与b大小比较转化为的大小比较就容易多了。因为又因为，所以，所以又因为，所以，故选（A）。点评：体现在三角函数中是切割化弦、统一角、统一函数名称、换元等手段处理求值（域）、最值、比较大小等问题。热点考向五、数列问题例5、等差数列的前n项的和为，且，，求。解析：显然公差，所以是n的二次函数且无常数项。于是设，，则，解得。所以，从而。点评：数列是一种特殊的函数，动态的函数观点是解决数列问题的有效方法。数列的项可看作定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数。如等差数列的通项公式，前n项的和公式。当时，可以看作自变量n的一次和二次函数。因此利用函数的思想方法去研究数列问题不仅能加深对数列的理解，也有助于学生解题思维能力的培养及增强应用函数思想解题的意识。热点考向六、立体几何问题例6、（1）如果，三棱锥P—ABC中，已知PA⊥BC，PA=BC=l，PA，BC的公垂线ED=h．求证三棱锥P—ABC的体积。分析：如视P为顶点，△ABC为底面，则无论是S△ABC以及高h都不好求．如果观察图形，换个角度看问题，创造条件去应用三棱锥体积公式，则可走出困境．解析：如图，连结EB，EC，由PA⊥BC，PA⊥ED，ED∩BC=E，可得PA⊥面ECD．这样，截面ECD将原三棱锥切割成两个分别以ECD为底面，以PE、AE为高的小三棱锥，而它们的底面积相等，高相加等于PE+AE=PA=l，所以VP－ABC=VP－ECD+VA－ECD=S△ECD•AE+S△ECD•PE=S△ECD•PA=•BC·ED·PA=。点评：辅助截面ECD的添设使问题转化为已知问题迎刃而解。（2）如图，在三棱锥S-ABC中，S在底面上的射影N位于底面的高CD上，M是侧棱SC上的一点，使截面MAB与底面所成角等于∠NSC。求证：SC垂直于截面MAB。（83年全国高考）分析：由三垂线定理容易证明SC⊥AB，再在平面SDNC中利用平面几何知识证明SC⊥DM。证明：由已知可得：SN⊥底面ABC，AB⊥CD，CD是斜线SC在底面AB的射影，∴AB⊥SC。∵AB⊥SC、AB⊥CD∴AB⊥平面SDNC∴∠MDC就是截面MAB与底面所成的二面角由已知得∠MDC＝∠NSC又∵∠DCM＝∠SCN∴△DCM≌△SCM∴∠DMC＝∠SNC＝Rt∠，即SC⊥DM所以SC⊥截面MAB。点评：立体几何中有些问题的证明，可以转化为平面几何证明来解决，即考虑在一个平面上的证明时运用平面几何知识。热点考向七、解析几何问题例7、（1）设x、y∈R且3x＋2y＝6x，求x＋y的范围。分析：设k＝x＋y，再代入消去y，转化为关于x的方程有实数解时求参数k范围的问题。其中要注意隐含条件，即x的范围。解析：由6x－3x＝2y≥0得0≤x≤2。设k＝x＋y，则y＝k－x，代入已知等式得：x－6x＋2k＝0，即k＝－x＋3x，其对称轴为x＝3。由0≤x≤2得k∈[0,4]，所以x＋y的范围是：0≤x＋y≤4。另解：数形结合法（转化为解析几何问题）：由3x＋2y＝6x得(x－1)＋＝1，即表示如图所示椭圆，其一个顶点在坐标原点。x＋y的范围就是椭圆上的点到坐标原点的距离的平方。由图可知最小值是0,距离最大的点是以原点为圆心的圆与椭圆相切的切点。设圆方程为x＋y＝k，代入椭圆中消y得x－6x＋2k＝0。由判别式△＝36－8k＝0得k＝4,所以x＋y的范围是：0≤x＋y≤4。再解：三角换元法，对已知式和待求式都可以进行三角换元（转化为三角问题）：由3x＋2y＝6x得(x－1)＋＝1，设，则x＋y＝1＋2cosα＋cosα＋sinα＝1＋＋2cosα－cosα＝－cosα＋2cosα＋∈[0,4]所以x＋y的范围是：0≤x＋y≤4。点评：题运用多种方法进行解答，实现了多种角度的转化，联系了多个知识点，有助于提高发散思维能力。此题还可以利用均值换元法进行解答。各种方法的运用，分别将代数问题转化为了其它问题，属于问题转换题型。（2）ABC的外接圆的圆心为，两条边上的高的交点为H，＝m（＋＋），则实数m＝＿＿＿＿分析：如果用一般的三角形解决本题较难，不妨设ABC是以∠A为直角的直角三角形，则为斜边BC上的中点，H与A重合，＋＋＝＝，于是得出m＝1。点评：这种通过特殊值确定一般性结果的思路还有很多，如归纳、猜想、证明的方法，过定点问题，定值问题也可以用这样的思路。热点考向八、具体、抽象问题例8、若f（x）和g（x）都是定义在实数集R上的函数，且方程x－f［g（x）］＝0有实数解，则g［f（x）］不可能是（）（A）x2＋x－（B）x2＋x＋（C）x2－（D）x2＋分析：本题直接解不容易，不妨令f（x）＝x，则f［g（x）］＝g（x），g［f（x）］＝g（x），x－f［g（x）］＝0有实数解即x－g（x）＝0有实数解。这样很明显得出结论，B使x－g（x）＝0没有实数解，选B这种从抽象到具体再到抽象，使学生从心理上感到非常轻松，象这样常见抽象函数式还有一次函数型f（x＋y）＝f（x）＋f（y）＋m，对数函数型f（xy）＝f（x）＋f（y），幂函数型f（xy）＝f（x）f（y）。点评：把抽象问题具体化是在数学解题中常有的化归途径，它是对抽象问题的理解和再认识，在抽象语言与具体事物间建立联系，从而实现抽象向具体的化归。热点考向九、正难则反转化问题例9、在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有＿＿＿＿个。分析：不能被5整除的数要分类讨论，情况较多，这时我们不妨换一个角度，从反面入手考虑。注意到不能被5整除实质上是末位数字不是0，也不是5。用间接法。所有四位数有＝300个，末位为0时有＝60个，末位为5时有＝48个，∴满足题意的数共有300－60－48＝192个。点评：一些数学问题，如果从条件出发，正面考虑较难较繁，不妨调整思考方向，从问题的结论入手，或从问题的条件与结论的反面入手进行思考，迂回地得到解题思路，这叫做“正难则反”。“正难则反”是一种重要的解题策略，灵活用之，能使许多难题、趣题和生活中的问题获得巧解。热点考向十、实际应用问题例