计算电磁学综述

计算电磁学综述摘要：本文介绍了计算电磁学及其电磁学的发展历史，并对计算电磁学中的几种常见数值计算方法进做了简单的介绍，并比较了各类数值方法的优缺点，介绍了一些常用的计算电磁软件，最后对计算电磁学近年来的进展和未来研究热点进行了综述。关键词：计算电磁学，数值计算方法，电磁软件一、引言计算电磁学（ComputationalElectromagnetics），顾名思义它是对电磁问题进行求解计算的方法技术，同时这也是一门具有巨大实用价值的学科。随着当今世界计算机技术的突飞猛进，许多传统学科物理、化学、生物等都在计算机的辅助下，不断发展进步，因此计算电磁学可以说是数学理论、电磁理论和计算机的有机结合，它是一门计算的艺术。计算机技术和电磁学相结合的学科。计算电磁学这门交叉学科也在这样的时代背景下应运而生，并得到真正的普及和发展壮大。电磁学作为物理学的一个子类，其研究历史悠久。中外古人都有许多对于电磁现象发现和记载以及规律的总结。在19世纪之前，人们还没有发现电学和磁学之间的联系，19世纪之后，人们才发现电和磁之间的内在联系。1819年丹麦物理学家H.C.奥斯特（1777-1851年）发表了《关于磁针上电流碰撞的实验》的论文，第一次揭示了电流可以产生磁场。1820年法国物理学家A.M.安培（1775-1836年）对这一物理现象做了进一步研究，并讨论了两平行导线有电流通过时的相互作用问题，提出了著名的安培定理，人们才开始认识到电和磁的关系。1831年英国物理学家M.法拉第（1791-1867年）首次报道了电磁感应现象，即通过移动磁体可在导线上感应出电流，他最先提出了电场和磁场的观点，认为电力和磁力两者都是通过场起作用的，使人们对电和磁的关系有了更为深刻的认识。奥斯特、安培和法拉第等人的工作为电磁学的建立奠定了实验基础。电磁学真正上升为一门理论则应归功于伟大的苏格兰物理学家J.C.麦克斯韦（1831-1879年）。1864年，Maxwell在前人的基础上总结高斯定律、安培定律、法拉第定律，并大胆提出位移电流和有旋电场这两个假设，建立了统一的电磁场理论以及麦克斯韦方程组，并预言了电磁波的存在，此方程组揭示了自然界一切宏观电磁现象所遵循的普遍规律。从解析数学上来解实际问题的麦克斯韦方程组，还需要结构方程，同时根据唯一性定理，还需要边界条件才能确定方程的解，因此想要用数学解析这种方法来求解实际问题的精确解，其适用范围太窄，在大量的实际问题中，边界形状复杂，难以用解析式表示。不单电磁学，其他很多学科也存在着宏观理论较成熟，而应用到实际问题中却很困难的现象。到了二十世纪下半叶，计算机技术有了重大的突破和迅猛发展，对于任意形状的物体，其电磁问题的求解只能是在计算机的辅助下，用一些电磁场数值计算方法来求解。简而言之，对于形状简单对称边界规则的实际问题，我们多采用解析方法得到其精确解，并且经常拿数值计算解与精确解析解作比较，来验证数值计算方法的的解的精确度；而对于形状复杂不规则的实际问题，我们只能采取使用计算机进行数值计算的方法对其求解，其解要求能满足实际应用的精度。二、计算电磁学中的数值方法常见的一些电磁学数值计算方法有矩量法、有限元方法、时域有限差分法、射线理论、衍射几何理论(GTD)、内建几何光学绕射法(UTD)等等，若从频域和时域的角度来分类，矩量法和有限差分方法属于频域方法，而时域方法主要有时域有限差分方法。若从方程形式上分类，数值计算方法主要分为积分方程法和微分方程法，积分方程类的方法显而易见只适用于有限区域问题，而微分方程类的方法适合求解无限域问题，积分方程类方法产生的矩阵是满的，阶数低，而微分方程类的方法所产生的是稀疏矩阵，但阶数高，同时微分方程类的方法在处理非均匀、非线性和时变媒质问题方面较为方便1］。下面具体介绍几种常见的数值方法。(1)有限元方法(FiniteElementMethod，FEM)，它是一种被广泛应用于物理领域的通用方法，是以变分原理为基础、解决偏微分方程(PDE)和积分方程的数值方法。有限元方法的求解思想是完全消除微分方程(稳态问题)或者把偏微分方程转化为等效的常微分方程，然后用有限差分方法求解。有限元方法解决实际问题基本步骤如下［1］:1、给出与待求边值问题相应的泛函及其变分问题。2、剖分待求解的场域，并选出相应的插值函数。3、将变分方程离散化为一种多元函数的极值方程组，如下：尹K〔jX〔=0(i=1,2,3.....N),j其中"为系数矩阵，X〔为离散点的插值。4、选择合适的代数解法解式⑵，即可得到待求边值问题的数值解Xi这些年有限元方法的发展很快,并与其他理论相结合，这方面取得了相当应用范围的成果，如自适应网格剖分、三维场建模求解、耦合问题、开域问题、高磁性材料及具有磁滞饱和非线性特性介质的处理等，还包括一些尚处于探索阶段的工作，如拟问题、人工智能和专家系统在电磁装置优化设计中的应用、边基有限元法等，这些都使得有限元方法的发展有了质的飞跃。时域有限差分法(Finite-DifferenceTime-Domain，FDTD)是由美国学者K.S.Yee于1966年提出来的，它是在时域中直接求解Maxwell方程的方法，它属于微分方程类方法。现在随着计算机的飞速进步和计算机的普及，FDTD这种数值计算方法得到了迅速发展，应用范围涉及几乎所有电磁领域。FDTD法具有以下特点［2］-［4］：1、直接时域计算；2、节省了存储空间和计算空间；3、天然的并行特性；4、适用性很强；5、程序的通用性强。时域有限差分方程表明，任何时刻的电（磁）场取决于上一时间步的电（磁）场，与此电（磁）场正交的面上前半个时间步相邻的磁（电）场以及媒质参数。电场和磁场在时间顺序上交替抽样，抽样时间间隔彼此相差半个时间步，使麦克斯韦旋度方程离散以后构成显式差分方程，从而可以在时间上迭代求解，而不需要进行矩阵求逆运算。因而，由给定相应电磁问题的初始值，FDTD方法就可以逐步推进地求得以后各个时刻空间电磁场的分布。（3）矩量法（MethodofMoments，MoM），很多电磁场问题的分析都归结为这样一个算子方程:L（f）=g，其中:L是线性算子，f是未知的场或其他响应，g是已知的源或激励。在通常的情况下,这个方程是矢量方程（二维或三维的）。如果f能有方程解出，则是一个精确的解析解，大多数情况下，不能得到f的解析形式，只能通过数值方法进行预估。令f在L的定义域内被展开为某基函数系f1，f2,f3,…，fn的线性组合：f=£af，其中：气是展n开系数，匕为展开函数或基函数。对于精确解式12）通常是无限项之和,且形成一个基函数的完备集，对近似解，将式f=£af带入式L（f）=g，得到£aL（f）=g，在L的值域内定义nnnnnn一个权函数的集合w、w…w，就每一个w对式£aL（f）=g量变取内积，内积后的12nnnn方程组可写成矩阵形式f，以解出f。矩量法就是这样一种将算子方程转化为矩阵方程的一种离散方法。在电磁散射问题中，散射体的特征尺度与波长之比是一个很重要的参数。比是一个很重要的参数。他决定了具体应用矩量法的途径。如果目标特征尺度可以与波长比较，则可以采用一般的矩量法;如果目标很大而特征尺度又包括了一个很大的范围,那么就需要选择一个合适的离散方式和离散基函数。受计算机内存和计算速度影响,有些二维和三维问题用矩量法求解是非常困难的，因为计算的存储量通常与N2或者N3成正比（N为离散点数），而且离散后出现病态矩阵也是一个难以解决的问题。这时需要较高的数学技巧，如采用小波展开，选取合适的小波基函数来降维等［5］。而基于矩量法的多层快速多极子技术有效的解决了这一问题。快速多极算法（FastMultipoleMethod,FMM）是由Greengard和Rokhlyn提出的、对于均匀分布时仿真时间复杂度为O（n）的N-body算法，是迄今为止已知速度最快且精度可控的N-body仿真的算法［1］。FMM方法有三个重要思想［3］:1、函数表示（多极扩展和泰勒级数扩展）;2、表示变换的操作（移位SHIFT和转换FLIP）;3、通用的树结构。近十年来，快速多极子方法在求解边界积分方程方面得到迅速地发展，FMM方法是计算个源的集合在N个场点处所产生的远距作用先对所有的未知量进行分组，然后再对邻近组和远距组采用不同算法，邻近组之间的相互作用仍用MOM求解，但远距组之间的相互作用则用FMM处理。它涉及聚合、转化和配置三种计算过程，聚合就是计算各组中所有子散射体在组中心的总场，转化是将一个组中心的场作用于另一个组中心，配置是将该组中心处所有的场之和重新分配到每一个子散射体上。它有效地将MOM中的满阵转化成稀疏矩阵，从而有效地加快了矩阵的迭代求解速度，并降低了对计算机存储要求。而多层快速多极子（MLFMA）的基本思路就是将未知数分成不同层次的组，低层组大，高层组小，让聚集和发散过程先在最高层进行，后通过移置、插值完成底层中的聚集和发散，而转移过程只在每层的部分组之间进行［7］。三、几大电磁数值计算方法的比较［8］计算电磁学经过数十年的发展，取得了辉煌的成就，形成三大主流算法，矩量法（MoM）、有限元法（FEM）、时域有限差分法（FDTD）。这三种数值方法的不同之处在于它们离散的数学表述形式不同：矩量法是离散积分方程，而有限元法是离散泛函变分，时域有限差分法是直接离散时域偏微分方程。这三种数值方法在如何描述求解域中任意两个离散未知量x，y的相互作用时有区别。矩量法是通过格林函数直接表述这种作用，这种表述是严格的。而有限元和时域有限差分是通过一系列中间未知量，也就是x先作用于其相邻未知量d1，再由d1传递到d1的相邻未知量d2,依次通过一系列中间未知量，最后才作用到y。这种表述是近似的，通过的中间变量越多，其误差就越大。这种误差被称为数值色散误差。有限元和时域有限差分都有这种数值色散误差，而矩量法不存在。然由于矩量法任意两未知量都直接相互作用，因而其离散矩阵是满阵。而有限元和时域有限差分只有相邻未知量才发生直接相互作用，因而有限元的离散矩阵是稀疏阵，时域有限差分随时间推进公式所等效的矩阵也是稀疏阵。由此可见，有限元法和时域有限差分法相近，而与矩量法较远。这是因为有限元虽是离散泛函变分，然泛函变分的实质仍属偏微分方程。这三种数值方法所得离散方程的性态及求解方式也有不同。时域有限差分无需求解方程组，只是模拟电磁波的传播，随时间不断往前推进。只要观察点处的电磁场变化稳定，便可终止推进，结束计算。其推进所需步数主要取决于电磁波的传播过程，既不能增加，也不能减少。故就离散方程的性态及求解这一点而论，时域有限差分没有更多可说。下面要比较的是矩量法和有限元法。由格林函数式不难看出，两点作用距离越近，其作用就越强，表现在离散矩阵中是离对角线越近的元素，其绝对值一般越大。这种特征使得矩量法矩阵的条件数一般要大大好于有限元的离散矩阵。若用迭代法求解方程组，矩量法离散方程的求解收敛速度要远远快于有限元的收敛速度。由于有快速离散傅里叶变换技术或多层快速多极子技术能大大减少矩量法矩阵与矢量相乘的运算复杂度，迭代法是目前求解矩量法离散方程的主要方法。虽然有限元离散方程是稀疏阵，然由于条件数太差，若内存足够，一般选直接法，譬如多波前求解方法。除了数值性能方面的差异外，这三种数值方法具有不同的的实施难易程度。实施矩量法既要面对繁难的积分方程，又要注意基函数的恰当选取；既要耐心处理奇异点，又要巧妙构思快速求解技术。相对而言，实施有限元要容易一些，只要注意基函数选取及稀疏矩阵存储方式即可。至于时域有限差分就更容易了。因此一般说来矩量法实施最难，有限元次之，时域有限差分最易。就通用性而论，有限元与时域有限差分相近，都很通用，矩量法则稍差。就拿散射问题来说，对于矩量法而言，金属体散射、均匀介质体散射、非均匀介质体散射的求解是不同的，且差别很大。而对于有限元和时域有限差分，这三种散射可很容易地在一个程序中实现。矩量法通用性的不足从某种程度上说换来了高精度、高效率。虽然原则上说，三种方法精度相当，然实际计算表明，矩量法精度最高，有限元次之，时域有限差分最差。其原因是矩量法没有数值色散误差，其他两种都有。时域有限差分不仅有数值色散误差，且模拟复杂几何形状的误差一般也要大于其他两种数值方法。由此可见，各种数值计算方法都有其长处短处，一个复杂的问题往往难以依靠一种单一方法解决，我们需要将多种方法结合起来，互相取长补短，因此混合方法日益受到人们的重视，并成为研究的热点之一。四、常用计算电磁软件的介绍目前国外主要的商业软件主要如下：EMC2000软件该软件由法国某公司研制，采用的计算方法主要是MoM，FDTD，FVO（有限体积法），PO/GO,GTD，UTD，PTD，ECM（等效电流法），在算法上与ShipEDF基本相同（增加了FVO），两者的分析功能非常接近。据介绍，EMC2000可以对雷电、静电、电磁脉冲对目标的冲击效应进行仿真分析，可对复杂介质进行时域分析，对孔缝耦合进行计算，但没有RCS计算功能。FEKO+CableMod软件该软件由南非某公司研制，采用的数值算法主要是MoM，PO,UTD，FEM（有限元法）以及一些混合算法，在新版软件中增加了多层快速多极子算法（MLFMA），CableMod功能和多种脉冲源（高斯、三角、双指数和斜波脉冲）的时域分析，可为飞机、舰船、卫星、导弹、车辆等系统的全波电磁分析提供解决手段，包括电磁目标的散射分析、机箱的屏蔽效能分析、天线的设计与分析、多天线布局分析、系统的EMC/EMI分析、介质实体的SAR计算、微波器件的分析与设计、电缆束的耦合分析等。Ansoft-HFSS软件该软件由美国Ansoft公司研制，采用的主要算法是有限元法（FEM），主要应用于微波器件（如波导、耦合器、滤波器、隔离器、谐振腔）和微波天线设计中，可获得特征阻抗、传播常数、S参数及电磁辐射场、天线方向图等参数和结果。该软件与FEKO最早进入中国市场，并在国内拥有一定数量的用户。CST-SD软件德国CST公司研制了基于有限积分技术（FIT，该技术类似于FDTD）的仿真软件CST-SD,主要用于高阶谐振结构的设计。它通过散射参数（S参数）将复杂系统分离成更小的单元进行分析，具体应用范围主要是微波器件，包括耦合器、滤波器、平面结构电路、各种微波天线和蓝牙技术等。FIDELITY软件FIDELITY软件由Zeland公司研制，主要采用非均匀网格FDTD技术，可分析复杂填充介质中的场分布问题，其仿真结果主要包括：S参数、VSWR（驻波比）、RLC等效电路、坡印亭矢量、近场分布和辐射方向图，具体应用范围主要包括微波/毫米波集成电路（MMIC）、RFDCB、RF天线、HTS电路和滤波器、IC内部连接、电路封装等。IMST-Empire软件IMST-Empire软件主要采用FDTD法，是RF元件设计的标准仿真软件，它的应用范围包括平面结构、连接线、波导、RF天线和多端口集成，仿真参数主要是S参数、辐射场方向图等。Micro-Stripe仿真软件该软件由美国FLOMERICS公司研制，主要采用传输线矩阵法（TLM）。该软件可对飞机、舰船平台天线布置中的耦合度进行计算，可以对电子设备防雷击、电磁脉冲和静电放电威胁进行分析，可以辅助面天线、贴片天线、天线阵的电磁设计。ADS软件该软件是美国安捷伦公司在HPEESOF系列的EDA软件基础上发展完善起来的大型综合设计软件，主要采用MoM算法，可协助系统和电路工程师进行各种形式的射频设计，如离散射频/微波模块的集成、电路元件的仿真和模式识别。该软件还提供了一种新的滤波器的设计，其强大的仿真设计手段可在时域或频域内实现对数字或模拟、线性或非线性电路的综合仿真分析与优化。Sonnet仿真软件Sonnet是一种基于矩量法的电磁仿真软件，是高频电路、微波、毫米波领域设计和电磁兼容/电磁干扰分析的三维仿真工具。主要应用于：微带匹配网络、微带电路、微带滤波器、带状线电路、带状线滤波器、过孔（层的连接或接地）耦合线分析、PCB板电路分析、PCB板干扰分析、桥式螺线电感器、平面高温超导电路分析、毫米波集成电路（MMIC）设计和分析、混合匹配的电路分析、HDI和LTCC转换、单层或多层传输线的精确分析、多层/平面的电路分析、单层或多层的平面天线分析、平面天线阵分析、平面耦合孔分析等。IE3D仿真软件IE3D是一个基于矩量法的电磁场仿真工具，可以解决多层介质环境下三维金属结构的电流分布问题，包括不连续性效应、耦合效应和辐射效应。仿真结果包括S参数、VWSR（驻波比）、RLC等效电路、电流分布、近场分布、辐射方向图、方向性、效率和RCS等。IE3D在微波/毫米波集成电路（MMIC）、RF印制板电路、微带天线、线电线及其它形式的RF天线、HTS电路及滤波器、IC的内部连接及高速数字电路封装方面是一个非常有用的工具。MicrowaveOffice软件该软件也是基于矩量法的电磁场仿真工具，是通过2个模拟器实现对微波平面电路的模拟和仿真。“VoltaireXL”模拟器处理集总元件构成的微波平面电路问题，“EMSight”模拟器处理任何多层平面结构的三维电磁场问题。“VoltaireXL”模拟器内设一个元件库，其中无源器件有电感、电阻、电容、谐振电路、微带线、带状线、同轴线等；非线性器件有双极晶体管、场效应晶体管、二极管等。在建立电路模型时，可以调出所用的元件°"EMSight”模拟器的特点是把修正谱域矩量法与直观的图形用户界面（GUI）技术结合起来，使得计算速度加快许多。它可以分析射频集成电路（RFIC）、微波单片集成电路（MMIC）、微带贴片天线和高速印制电路（PCB）等的电气特性。ICEWAVE仿真软件该软件是针对电子产品电磁兼容设计/电磁干扰分析的三维仿真工具，采用FDTD全波数值方法。应用范围包括：PCB退耦、辐射、接地、过孔和不连续分析，以及微波元器件、铁氧体、谐振腔、屏蔽盒的电磁分析。WIPL-D软件该软件是由WIPL-d.o.o.公司基于MoM算法开发的三维全波电磁仿真设计软件。它采用了最先进的最大正交化高阶基函数（HOBFs）、四边形网格技术等，减少了内存需求和计算时间。据介绍，该软件可用201s仿真一个58入长平台的天线布局问题。该软件能解决的电磁问题包括：各种电磁兼容天线设计、复杂平台天线布局问题、复杂平台RCS计算以及微波无源结构设计。Singula软件该软件由加拿大IES公司开发，采用MoM+PO的混合算法，可用于天线与天线阵、波导与谐振腔、射频电路与微波元器件、电磁散射与RCS、吸收率（SAR）等方面的电磁分析，可以分析复杂平台短波和超短波天线布局问题。FISC软件美国Illinois大学于2001年公布的电磁散射分析软件FISC适用于导弹、飞机、坦克等的电磁散射分析，采用的主要方法是多层快速多极子方法（MLFMA），据报道，可以求解未知量达1千万的电磁散射问题。XPATCH软件该软件由美国军方研制，主要采用弹跳射线法（SBR），并与计算机图形学技术紧密结合。在计算中，同时考虑了射线直射时的物理光学近似、物理绕射以及射线的多次反射效应(multi-bouncerays)。简而言之，以上所有软件没有一种软件能够解决所有的微波工程问题。每一种软件都有自己的优点。也有一定的局限性。有经验的用户会针对不同的微波工程问题，选择使用合适的软件，使计算准确、快速。一般来说，微波工程中的2D问题，不提倡使用3D软件求解。另外，有经验的设计者也会使用一种以上的软件验证计算结果。可以使用解析方法求解的问题，一般不提倡使用数值方法，因为解析方法的计算结果最准、计算速度也是最快的。五、计算电磁学近年来的进展和展望[9]近年来计算电磁学发展迅猛，也出现一些新的数值方法如分裂法、辐射边界条件法，并将小波分析应用到电磁领域，其总体的进展可以归纳为以下几个方面：1、有限元法应用最广泛仍然是数值计算方法的主流。但由于有限元网格生成与数据前处理的繁复费时，在进一步研究网格自适应技术的同时，一些研究者已经开始“无单元法”的新探索，应用移动的最小二乘近似(movingleastsquareap-proximation),在无网格的情况下构造基于节点集的形状函数。此外，作为对节点元的革新的棱边元法得到更多成功的应用。2、耦合问题研究取得了很大进展。采用电路系统变量与电磁场变量的直接耦合来分析二维电磁场已经很普遍。电磁系统与机械运动的耦合、电磁系统与包括磁致伸缩效应在内的微型机械变形问题的耦合、磁场与熔融金属流场的耦合、电场与气流场的耦合均已吸引了不少研究者的关注。3、尽管电磁场形状优化研究直到上世纪90年代初才成为计算电磁学会议的一个专题,但发展很快，取得了众多成果。遗传算法、模拟退火法、禁忌搜索法、灵敏度分析等不同领域发展起来的方法被应用于电磁装置的优化设计。近年来将不同方法有机结合的混合优化算法文章较多，在第14届COMPUMAG会议上，还有研究者应用混沌理论与Alopex算法相结合,提高了参数空间中被搜索点的遍历性，从而减少了陷入局部最优解的可能性，并加速了算法收敛。4、在数值技术方面,大型代数方程组解法、网格技术、并行计算的研究都取得了重要进展。由