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学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精(一)几何证明选讲1.如图，O是△ABC外接圆的圆心，∠ACB＝54°，求∠ABO的值．解连结OA,因为O是圆心，所以∠AOB＝2∠ACB,所以∠ABO＝eq\f(1,2）(180°－∠AOB)＝eq\f(1，2)(180°－2∠ACB)＝90°－∠ACB＝90°－54°＝36°.2.如图，已知A，B，C是圆O上的三点,BE切圆O于点B，D是CE与圆O的交点，若∠BAC＝60°,BE＝2,BC＝4，求线段CD的长．解因为BE切圆O于点B，所以∠CBE＝∠BAC＝60°.因为BE＝2，BC＝4，由余弦定理得EC＝2eq\r（3）。又BE2＝EC·ED，所以DE＝eq\f（2\r(3）,3)，所以CD＝EC－ED＝2eq\r(3）－eq\f（2\r（3），3）＝eq\f（4\r（3)，3).3．如图，已知点C在圆O的直径AB的延长线上，CD是圆O的一条切线，D为切点，点D在AB上的射影是点E，CB＝3BE。求证：（1)DB是∠CDE的平分线；（2）AE＝2EB。证明（1)连结AD，∵AB是圆O的直径，∴∠DAB＋∠DBA＝90°，∵DE⊥AB，∴∠BDE＋∠DBA＝90°,∴∠DAB＝∠BDE，∵CD切圆O于点D，∴∠CDB＝∠DAB,∴∠BDE＝∠CDB，∴DB是∠CDE的平分线．(2）由（1)可得DB是∠CDE的平分线，∴eq\f(CD,DE)＝eq\f(CB,BE)＝3，即CD＝3DE.设BE＝m（m〉0）,DE＝x（x〉0)，则CB＝3m，CD＝3x，在Rt△CDE中，由勾股定理可得（3x)2＝x2＋（4m)2，则x＝eq\r(2)m，由切割线定理得CD2＝CB·CA，(3eq\r(2）m)2＝3m·CA，CA＝6m,AB＝3m，AE＝2m,则AE＝2EB。4．（2018·江苏海安中学质检)如图，在Rt△ABC中,∠B＝90°，它的内切圆分别与边BC，CA，AB相切于点D,E，F，连结AD，与内切圆相交于另一点P,连结PC,PE，PF，已知PC⊥PF，求证：(1)eq\f（PF，FD）＝eq\f(PD,DC);（2)PE∥BC.证明(1）连结DE，则△BDF是等腰直角三角形，于是∠FPD＝∠FDB＝45°，故∠DPC＝45°.又∠PDC＝∠PFD,则△PFD∽△PDC，所以eq\f（PF，FD)＝eq\f(PD,DC）.①(2）由∠AFP＝∠ADF，∠AEP＝∠ADE,知△AFP∽△ADF,△AEP∽△ADE.于是，eq\f（EP,DE）＝eq\f（AP,AE)＝eq\f（AP，AF)＝eq\f(FP，DF)。故由①得eq\f（EP,DE）＝eq\f（PD，DC),②由∠EPD＝∠EDC，结合②得,△EPD∽△EDC,从而△EPD也是等腰三角形．于是，∠PED＝∠EPD＝∠EDC，所以PE∥BC.

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