中考数学“动态几何探究”题型解析

中考数学“动态几何探究”题型解析以三角形、四边形为背景的动态几何问题均以动态几何的形式来考查三角形、四边形的性质，判定，全等三角形、相似三角形的性质及判定，本节将对此类问题归类如下：一、在平面直角坐标系中探究【例题1】已知直线l经过A（6,0）和B（0,12）两点，且与直线y=x交于点C.（1）求直线l的表达式；（2）若点P（x，0）在线段OA上运动，过点P作l的平行线交直线y=x于点D，①求△PCD的面积S与x的函数关系式；②S有最大值吗？若有，求出当S最大时x的值.【解析】（1）设直线l的表达式为y=kx+b,用待定系数法求出k,b的值即可；（2）①点C是直线l与y=x的交点，从而可求得点C的坐标.根据三角形的面积公式及结合平行的性质，可求得S与x的函数关系式；②根据二次函数的性质，即可得到S的最大值.解：（1）设直线l的表达式为y=kx+b,由A（6,0）和B（0,12），得∴直线l的表达式为y=-2x+12.（2）①∴点C的坐标为（4,4），∴S△COP=1/2x▪4=2x.∵PD∥直线l,∴CD/OC=AP/OA.∵CD/OC=(1/2h×CD)/(1/2h×OC)=S/S△COP，∴S/S△COP=AP/OA,即S/2x=（6-x）/6,∴△PCD的面积S与x的函数关系式为S=-1/3x^2+2x.②∵S=-1/3（x-3）^2+3,∴当S最大时，x=3.【例题2】如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点A,C均在坐标轴上，且OA=4,OC=3,动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO向终点O移动；动点N从点C出发沿CB向终点B以同样的速度移动，当两个动点运动了x秒（0<x<4）时，过点N作NP⊥BC交OB于点P，连接MP.（1）直接写出点B的坐标，并求出点P的坐标（用含x的式子表示）；（2）当x为何值时，△OMP的面积最大？并求出最大值.解：（1）在矩形OABC中，OA=4,OC=3,∴B点的坐标为（4,3）.如图，延长NP交OA于点G，则PG∥AB，OG=CN=x.∵PG∥AB，∴△OPG∽△OBA.∴PG/BA=OG/OA,即PG/3=x/4,解得PG=3/4x.∴点P的坐标为（x,3/4x）.（2）设△OMP的面积为S.在△OMP中，OM=4-x,OM边上的高为3/4x，∴S与x之间的函数表达式为配方，得∴当x=2时，S有最大值，最大值为3/2.二、在几何图形中探究【例题3】如图，在矩形ABCD中，AB=3米，BC=4米，动点P以2米/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1米/秒的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P,Q两点同时移动的时间为t秒（0<t<2.5）.（1）当t为何值时，PQ∥AB；（2）设四边形ABQP的面积为y,当t为何值时，y的值最小？并求出这个最小值.【解析】（1）首先由勾股定理求得AC=5米，然后根据AB∥PQ可得到PC/AC=QC/BC,从而得到关于t的方程，从而可解得t的值；（2）过点P作PE⊥BC，由PE∥AB可得到PC/AC=PE/AB,从而可求得PE=3-6/5t,然后根据y=S△ABC-S△PQC列出t与y的函数关系式，最后利用配方法求得最小值即可.解：（1）在Rt△ABC中，由题意，得PC=AC-AP=5-2t,QC=t.如图①，∵AB∥PQ,∴△CPQ∽△CAB.∴PC/AC=QC/BC,即（5-2t）/5=t/4,解得t=20/13.（2）如图②，过点P作PE⊥BC于点E.由（1）知，PC=5-2t,QC=t,∵PE∥AB，∴△CPE∽△CAB.∴PC/AC=PE/AB,即（5-2t）/5=PE/3.∴PE=3-6/5t.∴当t=5/4时，y的值最小，最小值为81/16.【例题4】如图，在△ABC中，∠C=60°，BC=4，AC=2√3，点P在BC边上运动，PD∥AB，交AC于D.设BP的长为x,△APD的面积为y.（1）求AD的长（用含x的代数式表示）；（2）求y与x之间的函数关系式，并回答当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？（3）是否存在这样的点P，使得△ADP的面积是△ABP面积的2/3？若存在，请求出BP的长；若不存在，请说明理由.解：（1）∵PD∥AB，∴AD/AC=BP/BC.∵BC=4,AC=2√3,BP=x,∴AD/2√3=x/4,∴AD=√3/2x.（2）过点P作PE⊥AC于E.∵sin∠ACB=PE/PC,∠C=60°，∴PE=PC×sin60°=√3/2（4-x）.∴y与x之间的函数关系式为∴当x=2时，y的值最大，最大值是3/2.（3）存在这样的点P.∵△ADP与△ABP等高不等底，∴S△ADP/S△ABP=DP/AB.∵△ADP的面积是△ABP面积的2/3,∴S△A