数学物理方法第五章傅立叶级数

数学物理方法第五章傅立叶级数第1页，共107页，2023年，2月20日，星期五

傅里叶

(JeanBaptiseJosephFourier1768～1830)

法国数学家。1768年3月21日生于奥塞尔，1830年5月16日卒于巴黎。1795年曾在巴黎综合工科学校任讲师。1798年随拿破仑远征埃及，当过埃及学院的秘书。1801年回法国，又任伊泽尔地区的行政长官。1817年傅里叶被选为科学院院士，并于1822年成为科学院的终身秘书。1827年又当选为法兰西学院院士。

在十八世纪中期,是否有用信号都能用复指数的线性组合来表示这个问题曾是激烈争论的主题。1753年,D.伯努利曾声称一根弦的实际运动都可以用正弦振荡模的线性组合来表示,但他没有继续从数学上深入探求下去;后来欧拉本人也抛弃了三角级数的想法。第2页，共107页，2023年，2月20日，星期五

在1759年拉格朗日(J.L.Lagrange)表示不可能用三角级数来表示一个具有间断点的函数,因此三角级数的应用非常有限。正是在这种多少有些敌对和怀疑的处境下,傅里叶约于半个世纪后提出了他自己的想法。傅里叶很早就开始并一生坚持不渝地从事热学研究，1807年他在向法国科学院呈交一篇关于热传导问题的论文中宣布了任一函数都能够展成三角函数的无穷级数。这篇论文经J.-L.拉格朗日,P.-S.拉普拉斯,A.-M.勒让德等著名数学家审查，由于文中初始温度展开为三角级数的提法与拉格朗日关于三角级数的观点相矛盾，而遭拒绝。由于拉格朗日的强烈反对,傅里叶的论文从未公开露面过。为了使他的研究成果能让法兰西研究院接受并发表,在经过了几次其他的尝试以后,傅里叶才把他的成果以另一种方式出现在"热的分析理论"这本书中。这本书出版于1822年,也即比他首次在法兰西研究院宣读他的研究成果时晚十五年。这本书已成为数学史上一部经典性的文献，其中基本上包括了他的数学思想和数学成就。第3页，共107页，2023年，2月20日，星期五

书中处理了各种边界条件下的热传导问题，以系统地运用三角级数和三角积分而著称，他的学生以后把它们称为傅里叶级数和傅里叶积分，这个名称一直沿用至今。傅里叶在书中断言：“任意”函数（实际上要满足一定的条件,例如分段单调）都可以展开成三角级数,他列举大量函数并运用图形来说明函数的这种级数表示的普遍性，但是没有给出明确的条件和完整的证明。傅里叶的创造性工作为偏微分方程的边值问题提供了基本的求解方法-傅里叶级数法,从而极大地推动了微分方程理论的发展，特别是数学物理等应用数学的发展；其次，傅里叶级数拓广了函数概念，从而极大地推动了函数论的研究，其影响还扩及纯粹数学的其他领域。傅里叶深信数学是解决实际问题的最卓越的工具，并且认为“对自然界的深刻研究是数学最富饶的源泉。”这一见解已成为数学史上强调通过实际应用发展数学的一种代表性的观点。第4页，共107页，2023年，2月20日，星期五傅立叶的两个最主要的贡献——“周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和”

——傅里叶的第一个主要论点“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”

——傅里叶的第二个主要论点第5页，共107页，2023年，2月20日，星期五第五章Fourier变换第一节Fourier级数第二节Fourier积分与Fourier变换第三节δ函数第6页，共107页，2023年，2月20日，星期五

在工程计算中,无论是电学还是力学,经常要和随时间而变的周期函数fT(t)打交道.例如:具有性质fT(t+T)=fT(t),其中T称作周期,而1/T代表单位时间振动的次数,单位时间通常取秒,即每秒重复多少次,单位是赫兹(Hz).t第一节Fourier级数第7页，共107页，2023年，2月20日，星期五最常用的一种周期函数是三角函数

fT(t)=Asin(wt+j)其中w=2p/T

而Asin(wt+j)又可以看作是两个周期函数sinwt和coswt的线性组合Asin(wt+j)=asinwt+bcoswtt第8页，共107页，2023年，2月20日，星期五

人们发现,所有的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的线性组合来逼近.方波4个正弦波的逼近100个正弦波的逼近第9页，共107页，2023年，2月20日，星期五

研究周期函数实际上只须研究其中的一个周期内的情况即可,通常研究在闭区间[-T/2,T/2]内函数变化的情况.

讨论：(1)这两个条件实际上就是要保证函数是可积函数.

理论上讲，并非所有的周期函数都可以用傅里叶级数逼近,而是要满足(Dirichlet)条件,即在区间[-T/2,T/2]上Dirichlet定理若f(x)满足：(1)处处连续，或在每个周期内只有有限个第一类间断点；(2)在每个周期内只有有限个极值点，则周期函数都可以用傅里叶级数逼近（谐波关系的正弦信号的加权和）。第10页，共107页，2023年，2月20日，星期五函数的间断点第11页，共107页，2023年，2月20日，星期五1.跳跃间断点2.可去间断点注意

可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点.第一类间断点特点第12页，共107页，2023年，2月20日，星期五3.第二类间断点无穷型间断点振荡型间断点第13页，共107页，2023年，2月20日，星期五可去型第一类间断点oyx跳跃型无穷型振荡型第二类间断点oyxoyxoyx第14页，共107页，2023年，2月20日，星期五

因此,任何满足狄氏条件的周期函数f

(t),可表示为三角级数的形式如下:第15页，共107页，2023年，2月20日，星期五有限区域上的函数周期化的处理方法处理1：将f(x)转化为(-l,l)内的函数设f(x)是定义在区域(a,b)内的函数，其中a和b是有限数处理2：周期化为整个实数轴上的以2l为周期的周期函数bal-ll-l有限区域上的Fourier展开或周期函数的Fourier展开第16页，共107页，2023年，2月20日，星期五三角函数族：

周期函数的傅立叶级数则函数f(x)可以用周期同为2l一系列谐函数作为基本函数函数族（正交、完备），把周期函数f(x)展开。周期为2l

的函数f(x)满足：第17页，共107页，2023年，2月20日，星期五a.基本函数族是以2l

为周期的b.f(x)按三角函数族展开不同的函数形式由不同的组的和表示。(5.1.3)此为傅里叶级数展开同样第18页，共107页，2023年，2月20日，星期五基本函数族的正交性(5.1.4)三角函数族还有完备性，即这个函数族足够展开任何周期为2l函数。第19页，共107页，2023年，2月20日，星期五Fourier展开的展开系数(5.1.5)

此为傅里叶系数其中第20页，共107页，2023年，2月20日，星期五第21页，共107页，2023年，2月20日，星期五Dirichlet定理-Fourier展开收敛定理若f(x)满足：(1)处处连续，或在每个周期内只有有限个第一类间断点；(2)在每个周期内只有有限个极值点，则l-l

函数和级数并不完全是一个东西，例如幂级数就有收敛域的问题。故必须讨论它们在什么条件下完全一致。第22页，共107页，2023年，2月20日，星期五例1、交流电压经过半波整流后的傅立叶级数。解：周期为第23页，共107页，2023年，2月20日，星期五第24页，共107页，2023年，2月20日，星期五和第25页，共107页，2023年，2月20日，星期五频谱各个频率分量的幅度频率幅度20E第26页，共107页，2023年，2月20日，星期五通常，函数f(t)表示某系统的按时间变化的性质，叫在时域中的表示的性质。而频谱表示这种性质在频域中的表示。因此，傅里叶级数也是一种从时域到频域的变换。频率幅度20E第27页，共107页，2023年，2月20日，星期五正弦级数和余弦级数若函数f(x)是奇函数，则Fourier展开成正弦级数这叫作傅里叶正弦级数．容易检验上式中的正弦级数在处为零．第28页，共107页，2023年，2月20日，星期五同样由于对称性，其展开系数为由于余弦级数的导数是正弦级数，所以余弦级数的导数在处为零．若函数f(x)是偶函数，则Fourier展开成余弦级数这叫作傅里叶余弦级数．第29页，共107页，2023年，2月20日，星期五例周期矩形波奇函数第30页，共107页，2023年，2月20日，星期五频域中的图示由你们给出第31页，共107页，2023年，2月20日，星期五解所给函数满足狄利克雷充分条件,在整个数轴上连续.第32页，共107页，2023年，2月20日，星期五òp=p0cos)(2ktdttuanòp=p0cossin2ktdttEò--+=pp0])1sin()1[sin(dttktkEpp01)1cos(1)1cos(úûùêëé--+++-=ktkktkE)1(¹kïîïíì+==p--=12,02,]1)2[(42nknkkE当当),2,1(L=n第33页，共107页，2023年，2月20日，星期五第34页，共107页，2023年，2月20日，星期五有限区间中的函数的的傅里叶展开f(x)

定义于(0,l).可以认为它是某个周期为2l

的函数在半个周期中的部分。即令此周期函数为g(x),

在半周期(0,l)中g(x)=f(x).

这种做法叫延拓。则只需求出g(x)的傅里叶级数，在[0,l]上就代表f(x)。且g(x+2l)=g(x)第35页，共107页，2023年，2月20日，星期五1.奇延拓å«¥=1sin)(kkkxbxf若要求处为零，则应将f(x)延拓称为奇的周期函数。第36页，共107页，2023年，2月20日，星期五2.偶延拓å+«¥=10cos2)(kkkxaaxf若要求处为的导数为零，则应将f(x)延拓称为偶的周期函数。第37页，共107页，2023年，2月20日，星期五解(1)求正弦级数.ò+p=p0sin)1(2kxdxxòp=p0sin)(2kxdxxfbn)coscos1(2p-pp-p=kkkïîïíì=-=+pp=LL,6,4,22,5,3,122kkkk当当,)(进行奇延拓对xf第38页，共107页，2023年，2月20日，星期五(2)求余弦级数ò+p=p0cos)1(2kxdxxak)1(cos22-pp=kkïîïíì=p-==LL,5,3,14,6,4,202kkk当当,)(进行偶延拓对xf第39页，共107页，2023年，2月20日，星期五而利用三角函数的指数形式可将级数表示为:复数形式的Fourier积分第40页，共107页，2023年，2月20日，星期五第41页，共107页，2023年，2月20日，星期五第42页，共107页，2023年，2月20日，星期五第43页，共107页，2023年，2月20日，星期五复形式的Fourier级数上式(5.1.13)的物理意义为一个周期为2l

的函数可以分解为频率为，复振幅为的复简谐波的叠加．称为谱点，所有谱点的集合称为谱．对于周期函数而言，谱是离散的．基本函数族第44页，共107页，2023年，2月20日，星期五第45页，共107页，2023年，2月20日，星期五第46页，共107页，2023年，2月20日，星期五由以上可以看到：一个比较复杂的周期函数可以看作是许多不同频率的简谐函数的叠加第47页，共107页，2023年，2月20日，星期五例矩形波第48页，共107页，2023年，2月20日，星期五第二节Fourier积分与Fourier变换无限区域上的Fourier展开在的极限形式就为所求的非周期函数f(x)的Fourier展开式可做近似，假设非周期函数f(x)可看作是对非周期函数f(x),，一般是不能展时的极限，则g(x)的为Fourier级数。某个周期函数g(x)于周期Fourier级数展开式第49页，共107页，2023年，2月20日，星期五由系数代入展式，取的极限第50页，共107页，2023年，2月20日，星期五间断求和成为连续性求和（积分）同理，正弦部分第51页，共107页，2023年，2月20日，星期五1、实形式的Fourier积分与Fourier变换其中非周期函数f(x)的Fourier积分表达式A(ω)被称为Fourier余弦变换B(ω)被称为Fourier正弦变换实形式的Fourier变换第52页，共107页，2023年，2月20日，星期五Fourier积分定理若f(x)在R上满足：

(1)在任一有限区域上满足Dirichlet条件；

(2)在R上绝对可积，则f(x)

可以表示为Fourier积分，且结果为其中第53页，共107页，2023年，2月20日，星期五其中函数f(x)的Fourier积分表达式振幅谱相位谱第54页，共107页，2023年，2月20日，星期五奇函数偶函数当f(t)为奇函数，则有这叫作傅里叶正弦积分．容易检验上式中的正弦级数在处，f(x)=0为零．第55页，共107页，2023年，2月20日，星期五偶函数奇函数当f(t)为偶函数这叫作傅里叶余弦积分．容易检验上式中的正弦级数在处第56页，共107页，2023年，2月20日，星期五对称形式的Fourier（正弦、余弦）积分表达式第57页，共107页，2023年，2月20日，星期五例1矩形函数的定义为求矩形脉冲f(x)=hrect(x/2T)的傅立叶积分。解：f(x)为偶函数，则其傅立叶积分为第58页，共107页，2023年，2月20日，星期五例2由2N个(N是正整数)正弦波组成的有限正弦波列试将它展为傅立叶积分。解：f(t)为奇函数，则其傅立叶积分为第59页，共107页，2023年，2月20日，星期五2、复数形式的傅里叶积分原函数像函数第60页，共107页，2023年，2月20日，星期五表示为原函数到像函数的傅里叶正变换像函数到原函数的傅里叶反变换例同前例第61页，共107页，2023年，2月20日，星期五复形式形式的对称Fourier积分与Fourier变换F(ω)被称为Fourier变换的像函数f(x)称为Fourier变换的原函数第62页，共107页，2023年，2月20日，星期五傅立叶变换的意义数学意义从一个函数空间(集合)到另一个函数空间(集合)的映射；f(x)称为变换的原函数(相当于自变量)，F(ω)称为象函数。应用意义把任意函数分解为简单周期函数之和，F(ω)的自变量为频率，函数值为对应的振幅。物理意义把一般运动分解为简谐运动的叠加；把一般电磁波(光)分解为单色电磁波(光)的叠加。物理实现分解方法：棱镜光谱仪、光栅光谱仪；记录方式：(用照相底版)摄谱仪、(用光电探测器)光度计。第63页，共107页，2023年，2月20日，星期五例3求矩形脉冲f(x)=hrect(x/2T)的复数傅立叶变换。代入傅立叶积分公式，得解：由第64页，共107页，2023年，2月20日，星期五证明：3、傅里叶变换的基本性质(1)导数定理#第65页，共107页，2023年，2月20日，星期五(2)积分定理记则由导数定理即#第66页，共107页，2023年，2月20日，星期五(3)相似性定理通常将变换f(x)f(ax)称为相似变换，它将测量的尺子的单位改变为原来单位的1/a，相应地，测量的长度值变为原值的a倍，而保持函数的形式不变。有时也叫尺度变换。#证明第67页，共107页，2023年，2月20日，星期五(4)延迟定理x看作时间，记时由x到x-x0

表示提前了x0。记作“延迟”是习惯说法。证明第68页，共107页，2023年，2月20日，星期五证明#(5)位移定理频域的位移(6)卷积定理原函数的卷积与像函数的乘积间的关系若和则卷积：第69页，共107页，2023年，2月20日，星期五证明#第70页，共107页，2023年，2月20日，星期五Fourier变换的性质性质1（导数性质）性质2（积分性质）性质4（延迟性质）性质3（相似性质）性质5（位移性质）性质6（卷积性质）第71页，共107页，2023年，2月20日，星期五典型例题解所给函数是奇函数,其Fourier变换为.||,0||,sin2d1sinsin,||,0||,sin)(102ïîïíì>£=-îíì>£=ò¥+pppwwwwpppttttFourierttttf并证明变换的计算函数例第72页，共107页，2023年，2月20日，星期五再由Fourier积分公式得第73页，共107页，2023年，2月20日，星期五.||,0||,sin2d1sinsin02ïîïíì>£=-ò¥+pppwwwwptttt即第74页，共107页，2023年，2月20日，星期五解所给函数是偶函数,其Fourier变换为.cos2dcos42,cos)(2||042||tetFouriertetftt-¥+-=++=òpwwww并证明变换的计算函数例第75页，共107页，2023年，2月20日，星期五第76页，共107页，2023年，2月20日，星期五再由Fourier积分公式得第77页，共107页，2023年，2月20日，星期五.cos2dcos42||022tett-¥+=++òpwwww即第78页，共107页，2023年，2月20日，星期五解法一

利用位移性质.sin)()(40变换的计算函数例Fouriertettutftwb-=第79页，共107页，2023年，2月20日，星期五再由微分性质第80页，共107页，2023年，2月20日，星期五法二],)([21])([21]sin)([000tittitteettuieettuitettuwbwbbw-----=FFF,由位移性质第81页，共107页，2023年，2月20日，星期五所以由卷积公式.sin)()(50变换的计算函数例Fouriertettutftwb-=及由解)]()([]sin000wwdwwdpw--+=itF[第82页，共107页，2023年，2月20日，星期五þýüîíì+--+=200)(1*)]()([21)]([wbwwdwwdppiitfF得第83页，共107页，2023年，2月20日，星期五解第84页，共107页，2023年，2月20日，星期五第85页，共107页，2023年，2月20日，星期五解第86页，共107页，2023年，2月20日，星期五第87页，共107页，2023年，2月20日，星期五第88页，共107页，2023年，2月20日，星期五一维变换到高维空间中的变换三维相互独立也相互独立4.多重傅里叶积分矢量表示第89页，共107页，2023年，2月20日，星期五多重傅立叶积分三重傅立叶积分三重傅立叶变换令第90页，共107页，2023年，2月20日，星期五第三节δ函数δ函数的概念δ函数的性质与δ函数有关的Fourier变换δ函数的积分表示第91页，共107页，2023年，2月20日，星期五δ函数的概念（δ函数的引入）质量为m均匀分布在长为的线段上，则其线密度可表示为问题：质点的密度函数如何表示？（质点是物体在尺度趋于零时的理想模型）将对x积分，可得总质量第92页，共107页，2023年，2月20日，星期五得位于原点的质量为m的质点，线密度成为质点的线密度质点线密度图象，它在处为，在处为零，其积分为m不求积分，先取极限第93页，共107页，2023年，2月20日，星期五δ函数的形式定义称这样的函数为δ函数，记为δ(x)和δ(x-x0)说明：δ函数，并不是通常意义下的函数：它没有给出函数与自变量之间的对应关系，或者说，它给出的对应关系在通常意义下是没有意义的。第94页，共107页，2023年，2月20日，星期五δ函数表示的是函数序列的极限它