初三数学利用三角函数解直角三角形

解直角三角形中考要求内容基本要求略高要求较高要求解直角三角形知道解直角三角形的含义会解直角三角形；能根据问题的需要添加辅助线构造直角三角形；会解由两个特殊直角三角形构成的组合图形的问题能综合运用直角三角形的性质解决有关问题知识要点模块一解直角三角形、解直角三角形的概念根据直角三角形中已知的量（边、角）来求解未知的量（边、角）的过程就是解百角三角形.、直角三角形的边角关系如图，直角三角形的边角关系可以从以下几个方面加以归纳：（1）三边之间的关系：a2+b2=c2（勾股定理）（2）锐角之间的关系：ZA+ZB=90。a b a（3）边角之间的关系：sinA=cosB=-,cosA=sinB=—,tanA=—c c b三、解直角三角形的四种基本类型（1）（1）已知斜边和一直角边（如斜边cb=\:c2-a2；，直角边a），由sinA=-求出ZA，则ZB=90。—ZA，

ca=csinA，b=ccosA；（2）已知斜边和一锐角（如斜边c，锐角Aa=csinA，b=ccosA；（3）（3）已知一直角边和一锐角（如a和锐角A），求出ZB=90O-ZA，b=atanB，a

c= sinA(4)已知两直角边(如a和b)，求出c="a2+b2，由tanA=a，得ZB=90o—^A.b具体解题时要善于选用公式及其变式，如sinA=a可写成a=csinA,c=~a~等.c sinA四、解直角三角形的方法解直角三角形的方法可概括为：“有斜（斜边）用弦（正弦，余弦），无斜用切（正切，余切），宁乘毋除，取原避中”.这几句话的意思是：当已知或求解中有斜边时，就用正弦或余弦；无斜边时，就用正切或余切；当所求的元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；既可由已知数据又可用中间数据求得时，则用原始数据，尽量避免用中间数据.五、解直角三角形的技巧及注意点在RtAABC中，ZA+ZB=90。，故sinA=cos（90。—A）=cosB,cosA=sinB.利用这些关系式，可在解题时进行等量代换，以方便解题.初中数学.锐角三角函数B级.第初中数学.锐角三角函数B级.第02讲.学生版Page1of9六、如何解直角三角形的非基本类型的题型对解直角三角形的非基本类型的题型，通常是已知一边长及一锐角三角函数值，可通过解方程（组）来转化为四种基本类型求解；（1）如果有些问题一时难以确定解答方式，可以依据题意画图帮助分析；（2）对有些比较复杂的问题，往往要通过作辅助线构造直角三角形，作辅助线的一般殳思路是：①作垂线构成直角三角形；②利用图形本身的性质，如等腰三角形顶角平分线垂直于底边等.3EBE。三例题精讲AAC【巩固】如图，在AA5C中，ZC=90。,ZB=60。,D是AC3EBE。三例题精讲AAC【巩固】如图，在AA5C中，ZC=90。,ZB=60。,D是AC上一点，DE±AB于E，且CD=2,DE=1，【巩固】如图，AABC是等腰三角形，ZACB=90。，过BC的中点D作DE±AB，垂足为E，连接CE，贝UsinZACE=.【例1】如图是教学用直角三角板，边AC=30cm,ZC=90。,tanZBAC=近，则边BC的长为（3)BC-10<3cmD.5、3cmAA.2C.2<3A-30<3cmB-20、.3cm则BC的长为（)B.髀D.4<3DBC初中数学.锐角三角函数B级.第02讲.学生版Page2of9【例2】如图所示，连接AC.O的直径AB=【例2】如图所示，连接AC.O的直径AB=4，点P是AB延长线上的一点，过P点作O的切线，切点为C,(1)若/CPA=30。，那么PC的长为(2)若点P在AB的延长线上运动，ZCPA的平分线交AC于点M，ZCMP的大小是否会发生变化.【巩固】如图，某航天飞机在地球表面点P的正上方A处，从A处观测到地球上的最远点Q，若ZQAP=a,().A.R,兀aRB.RD(90—a)兀R—R,sina180sina180C.RD(90+a)兀RR,D.RD(90—a)兀R—R,sina180cosa180地球半径为R，则航天飞机距地球表面的最近距离AP，以及P、Q两点间的地面距离分别是【例3】在平面直角坐标系中，设点P到原点O的距离为P,OP与x轴正方向的夹角为a，则用［p，a］表示点P的极坐标，显然，点P的极坐标与它的坐标存在一一对应关系.例如：点P的坐标为(1，1)，则其极坐标为［石，45。］.若点Q的极坐标为［4,60。］,则点Q的坐标为( )A.(2,2v3) B.(2,—2<3) C.(2<3,2) D.(2,2)模块二解直角三角形应用七、直角三角形中其他重要概念(1)仰角与俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角.如图⑴.h(2)坡角与坡度：坡面的垂直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(或叫做坡比).用字母表示为i一,-^ 、、，， r坡面与水平面的夹角记作a，叫做坡角，则i=:=tana.坡度越大，坡面就越陡.如图⑵.l初中数学.锐角三角函数B级.第初中数学.锐角三角函数B级.第02讲.学生版Page3of9（3）方向角（或方位角）：方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达为北（南）偏东（西）乂乂度.如图⑶.北北八、解直角三角形应用题的解题步骤及应注意的问题:（1）分析题意，根据已知条件画出它的平面或截面示意图，分清仰角、俯角、坡角、坡度、水平距离、垂直距离等概念的意义;（2）找出要求解的直角三角形.有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）；（3）根据已知条件，选择合适的边角关系式解直角三角形;（4）按照题目中已知数据的精确度进行近似计算，检验是否符合实际，并按题目要求的精确度取近似值，注明单位.（一）仰角与俯角【例4】如图，从热气球C上测定建筑物A、B底部的俯角分别为30。和60。，如果这时气球的高度CD为TOC\o"1-5"\h\z150米，且点A、D、B在同一直线上，建筑物A、B间的距离为（ ）米.\o"CurrentDocument"A.150%3 B.180\3 e 飞:三， fC.200v3 D.220V3 ,,1/i\\o"CurrentDocument"A DB【巩固】周末，身高都为1.6米的小芳、小丽来到溪江公园，准备用她们所学的知识测算南塔的高度.如图，小芳站在A处测得她看塔顶的仰角a为45。，小丽站在B处（A、B与塔的轴心共线）测得她看塔顶的仰角P为30。.她们又测出A、B两点的距离为30米.假设她们的眼睛离头顶都为10cm,则可计算出塔高约为（结果精确到0.01,参考数据：工。1.414，巨。1.732）（ ）A.36.21米 B.37.71米 C.40.98米 D.42.48米【例5】如图，在山脚的C处测得山顶A的仰角为45。，沿着坡度为30。的斜坡前进400米到D处（即初中数学.锐角三角函数B级.第02讲.学生版Page4of9/DCB=30。,CD=400米）初中数学.锐角三角函数B级.第02讲.学生版Page4of9【巩固】如图，某电信部门计划架设一条连结B,C两地的电缆，测量人员在山脚A地测得B,C两地在同一方向，且两地的仰角分别为30。，45。，在B地测得C地的仰角为60。，已知C地比A地高200米，且由于电缆的重力导致下坠，实际长度是两地距离的1.2倍，求电缆的长（精确到0.1米）（二）坡度与坡角【例6】如图，某游乐场一山顶滑梯的高为h，滑梯的坡角为a，A,上sinah tana-^―cosa（二）坡度与坡角【例6】如图，某游乐场一山顶滑梯的高为h，滑梯的坡角为a，A,上sinah tana-^―cosah-sina【巩固】如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1:<3，1010<3155K3CA EHD【例7】创意设计公司员工小王不慎将墨水泼在一张设计图纸上，导致其中部分图形和数据看不清楚（如图所示）.已知图纸上的图形是某建筑物横断面的示意图，它是以圆0的半径0C所在的直线为对称轴的轴对称图形，A是0D与圆0的交点.（1）请你帮助小王在下图中把图形补画完整；（2）由于图纸中圆0的半径r的值已看不清楚，根据上述信息（图纸中力=1:0.75是坡面CE的坡度），求r的值.初中数学.锐角三角函数B级.第初中数学.锐角三角函数B级.第02讲.学生版Page5of9(三)方向角【例8】如图，AC是某市环城路的一段，AE,BF,CD都是南北方向的街道，其与环城路AC的交叉路口分别是A，B，C.经测量花卉世界D位于点A的北偏东45。方向、点B的北偏东30。方向上，AB=2km,ZDAC=15。.(1)求B,D之间的距离;(2)求C,D之间的距离.【巩固】台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力.据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220km的B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20km，风力就减弱一级，该台风中心现在以15km/h的速度沿北偏东30。方向往C移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到四级，则称受台风影响.(1)该城市是否会受这次台风影响？请说明理由.(2)若受台风影响，那么台风影响该城市的持续时间会有多长?(3)该城市受台风影响的最大风力是几级？(四)其它【例9】小明发现在教学楼走廊上有一拖把以15。的倾斜角斜靠在栏杆上，严重影响了同学们的行走安

全.他自觉地将拖把挪动位置，使其的倾斜角为75。，如果拖把的总长为1.80m，则小明拓宽了【巩固】如图1,一架长4米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上，梯子与地面的倾斜角a为60。.行路通道m.(结果保留三个有效数字，参考数据：行路通道m.(结果保留三个有效数字，参考数据：sin15。初中数学.锐角三角函数B级.第02讲.学生版(1)求AO与BO的长；(2)若梯子顶端A沿NO下滑，同时底端B沿OM向右滑行.①如图2,设A点下滑到。点，B点向右滑行到。点，并且AC:BD=2:3，试计算梯子顶端A沿NO下滑多少米；②如图3,当A点下滑到A，点，B点向右滑行到B，点时，梯子AB的中点P也随之运动到P'点.若/POP'=15。，试求AA，的长.【例10】关于三角函数有如下的公式：sin(a+p)=sinacosp+cosasinpcos(a+p)=cosacosp-sinasinptana+tanptan(a+p)= — (1-tana-tanpw0)1-tana-tanp利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如tan105o=tan(450+60tan105o=tan(450+60。)==-(2+V3)1-tan450.tan60。根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面实际问题：如图，直升飞机在一建筑物CD上方A点处测得建筑物顶端D点的俯角a为60o，底端C点的俯角p为75。，此时直升飞机与建筑物CD的水平距离BC为42米，求建筑物CD的高.BC初中数学.锐角三角函数B级.第BC初中数学.锐角三角函数B级.第02讲.学生版Page7of9课堂检测（2011遵义）某市为缓解城市交通压力，决定修建人行天桥，原设计天桥的楼梯长 AB=6cm,ZABC=45。，后考虑到安全因素，将楼梯脚B移到CB延长线上点D课堂检测（2011遵义）某市为缓解城市交通压力，决定修建人行天桥，原设计天桥的楼梯长 AB=6cm,ZABC=45。，后考虑到安全因素，将楼梯脚B移到CB延长线上点D处，使ZADC=30。（如图所示）（1）求调整后楼梯AD的长；（2）求BD的长.（结果保留根号）如图1表示一个时钟的钟面垂直固定于水平桌面上，其中分针上有一点A,且当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，A点距桌面的高度为10公分.如图2,若此钟面显示3点45分时，A点距桌面的高度为16公分，则钟面显示3点50分时，A点距桌面的高度为多少公分（22—3V316+冗1819)3.如图，C岛在A岛的北偏东60。方向，在B岛的北偏西45。方向，则从C岛看A、B两岛的视角ZACB=课后作业1.一架5米长的梯子斜靠在墙上，测得它与地面的夹角为40。，则梯子底端到墙5sin40。5cos40。.如图，将一个Rt△ABC形状的楔子从木桩的底端点P处沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动，已知楔子斜面的倾斜角为20。，若楔子沿水平方向前移8cm（如箭头所示），则木桩上升了（