河北省唐山市2022－2022学年度高三年级第一次模拟考试：数学理

试卷类型：B唐山市2022〜2022学年度高三年级第一次模拟考试理科数学试卷说明：一、本试卷共4页，包括三道大题，22道小题，共150分.其中第一道大题为选择题.二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题.三、做选择题时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑.如需改动，用橡皮将原选涂答案擦干净后，再选涂其他答案.四、考试结束后，将本试卷与原答题卡一并交回.参考公式：如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式其中R表示球的半径

如果事件A、B相互独立，那么 球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是P, 其中只表示球的半径那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率：-一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.(1)已知复数z的实部为2,虚部为-1,则=(A)2-i (B)2+i (C)l+2i (D)-l+2i(2)抛物线的焦点坐标是(A)(B)(C)(D)(3)函数的图象与函数的图象关于直线对称，则

(A).(B)t(C).(D)(4)正方体，中，直线与平面所成的角为

(A)30。(B)45。(C)60°(D)900(5)若 0<a<l<b,则(A)(B)(C)(D)(6)(A)是奇函数且在(O,2)内单调递增(B)是奇函数且在(O,2)内单调递减(C)是偶函数且在(O,2)内单调递增(D)是偶函数且在(O,2)内单调递减(7)函数.的最大值为(A)(B)(C)(D)(8)3名工作人员安排在正月初一至初五的5天值班，每天有且只有1人值班，每人至多值班2天，则不同的安排方法共有(A)30种 （B)60种 （C)90种 （D)180种(9)若，则=(A)(B)(C)(D)(10)当直线与曲线有3个公共点时，实数k的取值范围是(A)(B)C)(D)(11)四面体的一条棱长为;c,其余棱长均为3,当该四面体体积最大时，经过这个四面体所有顶点的球的表面积为(A)(B)(C)(D)(12)在平行四边形ABCD中，,O是平面ABCD内任一点，，当点P在以A为圆心，丨为半径的圆上时，有

(A). (B)(C)«(D)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡上.(13)的展开式中，项的系数为__________.(用数字作答）(14)若x, y满足约束条件，则的最大值为__________.(15)等差数列的前n项和为，若，则当n=__________时，最大.(16)双曲线的左、右焦点分别为为双曲线右支上—点，与圆切于点且为的中点，则该双曲线的离心率__________三、解答趣：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17)(本小题满分10分）'中，三个内角A、B,C的对边分别为a、b、c,且，，求(18)(本小题满分12分）一项试验有两套方案，每套方案试验成功的概率都是，试验不成功的概率都是甲随机地从两套方案中选取一套进行这项试验，共试验了3次，每次实验相互独立，且要从两套方案中等可能地选择一套.(I)求3次试验都选择了同一套方案且都试验成功的概率：

(II)记3次试验中，都选择了第一套方案并试难成功的次数为X,求X的分布列和期望EX.(19)(本小题满分12分）如图，直三棱柱中，AC=BC=1,AAi=3D为CCi上的点，二面角A-A1B-D的余弦值为(I)求证：CD=2;(II)求点到平面的距离.(20)(本小题满分12分）已知.(I)求数列丨的通项：(II)若对任意，〜恒成立，求c的取值范围.(21)(本小题满分12分）椭圆E：与直线相交于A、B两点，且OA丄OB(O为坐标原点).(I)求椭圆E与圆的交点坐标：(II)当时，求椭圆E的方程.(22)(本小题满分12分）已知函数..(I)求证：(II)是否存在常数a使得当时，恒成立？若存在，求a的取值范围，若不存在，说明理由.唐山市2022～2022学年度高三年级第一次模拟考试理科数学参考答案一、 选择题：A卷：CCBAC BBCAA DBB卷：DCBAD BBCAC DA二、填空题：（13）－160 （14）9 （15）12或13 （16）eq\r(5)三、解答题：（17）解：由4b＝5csinB及正弦定理，得4sinB＝5sinCsinB，又sinB＝eq\r(1－cos2B)＝eq\f(\r(5),3)≠0，∴sinC＝eq\f(4,5)，而90＜B＜180，则0＜C＜90，∴cosC＝eq\f(3,5)，………………6分∴cosA＝cos＝－cos(B＋C)＝sinBsinC－cosBcosC＝eq\f(\r(5),3)×eq\f(4,5)＋eq\f(2,3)×eq\f(3,5)＝eq\f(6＋4\r(5),15)．…………10分（18）解：记事件“一次试验中，选择第i套方案并试验成功”为Ai，i＝1，2，则P(Ai)＝eq\f(1,C\o(1,2))×eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)．（Ⅰ）3次试验选择了同一套方案且都试验成功的概率P＝P(A1·A1·A1＋A2·A2·A2)＝(eq\f(1,3))3＋(eq\f(1,3))3＝eq\f(2,27)．………………4分（Ⅱ）X的可能值为0，1，2，3，则X～B(3，eq\f(1,3))，P(X＝k)＝Ceq\o(k,3)(eq\f(1,3))k(eq\f(2,3))3－k，k＝0，1，2，3．………8分X的分布列为X0123Peq\f(8,27)eq\f(4,9)eq\f(2,9)eq\f(1,27)…10分EX＝3×eq\f(1,3)＝1．……………………12分（19）解法一：（Ⅰ）取AB中点E，A1B1中点G，连结EG，交A1B于F，连结CE、C1G，作DM⊥GE于M．∵平面C1GEC⊥平面A1ABB1，∴DM⊥平面A1ABB1．作MN⊥A1B于N，连结DN，则MN为DN在平面A1ABB1上的射影，则∠DNM为二面角B1-A1B-D的平面角．……………4分∴cos∠DNM＝eq\f(\r(3),6)，DM＝C1G＝eq\f(\r(2),2)，∴MN＝eq\f(\r(22),22)．∵sin∠MFN＝eq\f(A1G,A1F)＝eq\f(\r(22),11)，∴MF＝eq\f(1,2)，∴DC＝2．…………7分（Ⅱ）在△A1BD中，A1D＝eq\r(2)，BD＝eq\r(5)，A1B＝eq\r(11)．cos∠A1DB＝eq\f(A1D2＋BD2－A1B2,2A1D·DB)＝－eq\f(\r(10),5)，sin∠A1DB＝eq\f(\r(15),5)，S△A1BD＝eq\f(1,2)A1D·BDsin∠A1DB＝eq\f(\r(6),2)，又S△A1AB＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×3＝eq\f(3\r(2),2)，点D到面A1AB的距离DM＝CE＝eq\f(\r(2),2)，设点A到平面A1BD的距离为d，则eq\f(1,3)S△A1BD·d＝eq\f(1,3)S△A1AB×eq\f(\r(2),2)，∴d＝eq\f(\r(6),2)．故点A到平面A1BD的距离为eq\f(\r(6),2)．………………12分ACC1BACC1BDA1B1NMFGEACC1BDA1B1zxy解法二：（Ⅰ）分别以CA、CB、CC1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系C—xyz，则A(1，0，0)、B(0，1，0)、A1(1，0，3)．设D(0，0，a)．m＝(1，1，0)是面A1AB的法向量，设n＝(x，y，z)是平面A1BD的法向量．eq\o(DA1,\s\up5(→))＝(1，0，3－a)，eq\o(DB,\s\up5(→))＝(0，1，－a)，由eq\o(DA1,\s\up5(→))·n＝0，eq\o(DB,\s\up5(→))·n＝0，得x＋(3－a)z＝0，y－az＝0，取x＝3－a，得y＝－a，z＝－1，得n＝(3－a，－a，－1)．……4分由题设，|cosm，n|＝eq\f(|m·n|,|m||n|)＝eq\f(|3－2a|,\r(2)×\r((3－a)2＋a2＋1))＝|－eq\f(\r(3),6)|＝eq\f(\r(3),6)，解得a＝2，或a＝1，…………………6分所以DC＝2或DC＝1．但当DC＝1时，显然二面角A-A1B-D为锐角，故舍去．综上，DC＝2………………………7分（Ⅱ）由（Ⅰ），n＝(1，－2，－1)为面A1BD的法向量，又eq\o(AA1,\s\up5(→))＝(0，0，3)，所以点A到平面A1BD的距离为d＝eq\o(\s\up9(|\o(AA1,\s\up5(→))·n|),\s\up8(________),\s\do6(|n|))＝eq\f(\r(6),2)．…………12分（20）解：（Ⅰ）∵an＋1＝can＋eq\f(cn＋1,n(n＋1))，∴eq\f(an＋1,cn＋1)＝eq\f(an,cn)＋eq\f(1,n(n＋1))，eq\f(an＋1,cn＋1)－eq\f(an,cn)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)．∴eq\f(an,cn)＝eq\f(a1,c1)＋(eq\f(a2,c2)－eq\f(a1,c1))＋(eq\f(a3,c3)－eq\f(a2,c2))＋…＋(eq\f(an,cn)－eq\f(an－1,cn－1))＝0＋1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n－1)－eq\f(1,n)＝1－eq\f(1,n)，∴an＝eq\f(n－1,n)cn．……