交通大学微积分B第二学期期末考试试卷1答案

交通大学2010-2011学年第二学期《微积分B》期末考试一试卷(A)考试方式：闭卷任课教师：学院_____________专业___________________班级____________学号_______________姓名_____________题号一二三四五六七八九十总分得分阅卷人请注意：本卷共十道大题，若有不对，请与监考老师调动试卷！一、填空题（每题3分，共15分）1、旋转曲面zx2y2在点1,2,5处的法线方程为x1y2z52412、设L为半圆x2y2r2,x0,则x2ydsr3.L23、设是球面x2y2z2a2被平面zh0ha截出的顶部，则zdSaa2h24、设fx1,x0,为周期的傅里叶级数在x1x2,0，则其以2处收x2敛于25、函数uxy2z在点P1,1,2处的方导游数的最大值等于21二、单项选择题（每题3分，共15分）第1页共6页11111、函数uxyz在附带条件x0,y0,z0,a0下的极值等xyza于A.27a3，（B）9a3，（C）3a3，（D）a3.2、设函数fx,y连续,则二次积分dx1fx,ydy等于B.sinx21dyfx,ydx,（B）1fx,ydx(A)dy0arcsiny0arcsiny（C）1arcsinyfx,ydx,（D）1arcsinyfx,ydx.dydy02023、设二元函数fx,y在点0,0处的某邻域内有定义,且有fx,yf0,00,则以下结论不正确的选项是Dlim22x0xyy0（A）fx,y在0,0处连续,（B）fx,y在0,0处偏导数存在,（C）fx,y在0,0处可微，（D）fx,y在0,0处沿某方向l的方导游数不存在.4、设级数sinn2n1,此中为常数,则以下结论正确的选项是Cn1n当为整数时,级数发散,（B）当为整数时,级数绝对收敛,(C）当为整数时,级数条件收敛,（D）当不为整数时,级数条件收敛.5、由抛物线yx2及直线y1所围成的平均薄片（面密度为）关于直线l:y1的转动惯量为IlC（A）(x1)2dxdy(B)(x1)2dxdyDD(C)(y1)2dxdy(D)(y1)2dxdyDD三、（9分）设zf2xygx,xy,此中ft二阶可导,gu,v拥有连续的二阶偏导数,求dz及2z.xy第2页共6页解：dzdf2xydgx,xyf'2xy2dxdyg1'x,xydxg'2x,xyydxxdy2f'2xyg1'x,xyyg'2x,xydxxg2'x,xyf'2xydyz2f'2xyg1'x,xyyg2'x,xyx2z2f"2xy"x,xy'x,xy"x,xyxyxg12g2xyg22四、（9分）计算二重积分(xy)dxdy，此中D{(x,y)x2y22x}.D解：(xy)dxdyD2d2cosrcosrsinrdr0228cos3cossind3162cos4d30五、（9分）设函数f(x,y,z)xyzxyzxyz6，问在点P(3,4,0)处沿如何的方向l，f的变化率最大？并求其最大的变化率.解：f3,4,0yz1,xz1,xy13,4,03,2,6，因此沿方向l3,2,6的变化率最大。最大的变化率为322262497.六、（9分）求幂级数xn的收敛域及和函数,并求级数11的和.n0n1n0n12nan11n1解：limlimn2lim1，因此收敛半径为R1。nann1nn2n1第3页共6页n当x1时，1收敛；当x1时，1发散，因此收敛域为1,1.n0n1n0n1设和函数sxxn1,1，则xsxxn11,1，逐项求导得0n,x,xn1n0n1xsx'xn1,x1,1，1n0x因此xsxx1dxln1x,x1,1.01x因为ln1x在x1处连续，因此xsxln1x,x1,1.ln1x,x1,00,1,又明显s01，因此sxx1,x011s12ln2.n0n12n2七、（9分）已知点O0,0及点A1,1,且曲线积分Iaxcosyy2sinxdxbycosxx2sinydy与路径没关,试确立常数a,b,并OA求I.bycosxx2sinyaxcosyy2sinx解：因为积分与路径没关，因此，即xybysinx2xsinyaxsiny2ysinx，亦即b2ysinxa2xsiny，因为ysinx与xsiny线性没关，因此ab2.第4页共6页Iaxcosyy2sinxdxbycosxx2sinydyOA2xcosyy2sinxdx2ycosxx2sinydyOAcosydx2x2dcosyy2dcosxcosxdy2OAdx2cosyy2cosxOAx2cosyy21,1cosx0,02cos1.八、（9分）计算曲面积分2xzdydzzdxdy,此中为有向曲面zx2y20z1,其法向量与z轴正向夹角为锐角.解：设1为圆盘x,y,1x2y21，取下侧。与1围成的地区记为，由高斯公式，2xzdydzzdxdy13dxdydz13dzdxdy0Dz1zdz3032因此2xzdydzzdxdy32xzdydzzdxdy213dxdy2D32.2此中Dx,y,0x2y21.第5页共6页九、（9分）求锥面zx2y2被平面x2z3所截下的有限部分的面积.x122zx22,y解：锥面与平面的交线为y它在xOy面上的投影为1,x2z343z0.x12设Dx,y,0y21，则43x2y2S1dxdyy2x2y2Dx22Ddxdy26.十、（7分）设f