调和函数与解析函数的关系研究

※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※2017届学生毕业论文材料（四）学生毕业论文课题名称调和函数与解析函数的关系研究姓名学号院系数学与计算科学学院专业信息与计算科学指导教师本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文，是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。本科毕业论文作者签名：二〇一五年五月二十二日目录摘要 1关键词 1Abstract 1KeyWords 21.解析函数 31.1解析函数的概念 31.2函数解析的充要条件 32.调和函数 42.1调和函数的定义 42.2共轭调和函数 63.调和函数和解析函数之间的关系 63.1从调和函数观点研究解析函数的性质 63.1.1调和函数的性质 63.1.2解析函数的性质 63.2解析函数的等价刻画及应用 83.3由调和函数构造相关解析函数的方法 93.4调和函数与解析函数的关系 123.4.1解析函数与调和函数的关系 123.4.2调和函数与共轭调和函数的关系 123.4.3解析函数与共轭调和函数的关系 12结论 12参考文献 13致谢 13调和函数与解析函数的关系研究摘要：解析函数作为复变函数研究的主要对象，与调和函数有着深刻的内在联系.主要论述了解析函数、调和函数的定义；通过引入共轭调和函数的概念，将解析函数和调和函数联系在一起；从调和函数的观点出发，探讨了解析函数的某些性质并由具体实例做其等价刻画；在此基础上通过实际问题介绍了四种由调和函数构造解析函数的方法，分别是偏积分法、线积分法、不定积分法和变量替换法.关键词：解析函数、调和函数、共轭调和函数Studyontherelationshipbetween

theHarmonicfunction

andtheAnalyticfunctionAbstract:

AsthemainobjectoftheComplexVariableFunction,AnalyticFunctionshas

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andtheHarmonicFunctions;byintroducingtheconceptoftheConjugateHarmonicFunctions,contacttheAnalyticFunctionswiththeHarmonicFunctions;fromthepointof

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Function

by

theAnalyticFunctions,

whichare

themethodsofPartialIntegration,LinerIntegration,IndefiniteIntegration

andVariableReplacement.Keywords:AnalyticFunctions,HarmonicFunctions,ConjugateHarmonicFunctions解析函数作为复变函数的主要研究对象，有着许多性质，归纳出解析函数、调和函数及共轭调和函数三者之间的推导关系.1.解析函数1.1解析函数的概念解析函数是复变函数研究中最重要的基础定理，先引入复变函数的导数概念再来讨论解析函数.下面给出导数定义：定义1.1.1设函数在点的某邻域内有定义，是邻域内任一点，，如果存在有限的极限值，则称在处可导，记作或，即,或,也称或为在处的微分，故也称在处可微.由定义可知，如果在处可导(或可微)，则在处连续.下面给出解析函数的概念：定义1.1.2如果在及的邻域内处处可导，则称在处解析；如果在区域内每一点解析，则称在内解析，或说是内的解析函数；如果在处不解析，则称为的奇点.1.2函数解析的充要条件一般地，作为解析函数的实部和虚部都是二元函数，而研究他们的特性要基于柯西-黎曼方程（简称方程），有以下定理：定理1.2.1函数在处可导的充要条件是，在点处可微，而且满足柯西-黎曼方程（简称方程）：，.定理1.2.2函数在区域内解析（即在内可导）的充要条件是和在内处处可微，而且满足方程.推论函数在区域内有定义，如果在内和的四个偏导数，，，存在且连续，并且满足方程，则在内解析.由上述定义可知函数的解析与可导存在密切联系，而可导又与连续密切相关，其三者之间的关系可由下图清晰表出：在内解析在内可导在点解析在点可导在点连续2.调和函数2.1调和函数的定义定义2.1.1如果二元实函数在区域内有二阶连续偏导数，且满足二维拉普拉斯方程，则称为区域内的调和函数，或说函数在区域内调和.定理2.1.2设函数在区域内解析，则的实部和虚部都是区域内的调和函数.证明：因在区域内解析，所以，在内满足方程，.当解析时，有任意阶连续偏导数.在上述二式中分别对和求偏导数，得，.因，于是.这就是说，是区域内的调和函数.同理，也是区域内的调和函数.另证定理2.1.2的逆不真.即证：若的实部和虚部都是区域内的调和函数，函数在区域内不一定解析.反例：，均为调和函数，但不解析.由于，，，而，即不满足方程.2.2共轭调和函数的引入 定义2.2.1设函数及均为区域内的调和函数，且满足方程，.则称是的共轭调和函数.定理2.2.2复变函数在区域内解析的充分必要条件是在区域内，的虚部是实部的共轭调和函数.3.调和函数与解析函数之间的关系由上知解析函数的实部和虚部都是调和函数，而给出一个调和函数，如果该函数的定义域是单连通的，则存在一个解析函数以该调和函数为其实部或虚部，所以说解析函数和调和函数有非常密切的联系.3.1从调和函数观点研究解析函数的性质调和函数与解析函数的性质有着很多相似之处，比方说它们都有极值原理、定理等，现从调和函数的观点来研究解析函数的这两个性质.3.1.1调和函数的性质定理3.1.1.1(极值原理)非常数的调和函数区域内不能达到极大值和极小值.定理3.1.1.2(定理)上的有界调和函数必要为常数.3.1.2解析函数的性质首先给出调和函数和解析函数之间的关系：定理3.1.2.1设是区域内的解析函数，则和都是内的调和函数.反之，有定理3.1.2.2设是单连通的区域，则对上的任意调和函数，必存在调和函数，使得是内的解析函数函数.下面从调和函数的观点来看解析函数的极值原理和定理.定理3.1.2.3(极值原理)设为在区域内非常数的解析函数，则在内无极大值点.证明（方法1）：设，则和都是上的调和函数，有.这说明是一个下调和函数，由下调和函数的极值原理知，在内无极大值点，从而在内无极大值点.证明（方法2）：设，则和都是上的调和函数，因此和在内既无极大值也无极小值，从而在内无极大值点，所以在内无极大值点.定理3.1.2.4(定理)设是复平面有界的解析函数，则在内为常数.证明：设，则和都是上的调和函数，因为在区域内有界，所以和在内也有界，这样由调和函数的定理得出在内为常数.注：除了上述两个定理之外，解析函数还有一些性质与调和函数性质是相应的，比如平均值定理等.3.2解析函数的等价刻画及应用定理3.2.1设是在单连通区域内的调和函数存在由下式，所确定的函数，使是内的解析函数.定理2.2.2刻画解析函数又一等价条件.由于任一二元调和函数都可作解析函数的实部（或虚部），由解析函数的任意阶导数仍解析知，任意二元调和函数的任意阶偏导数也是调和函数.下面通过具体实例体现解析函数之应用：例1证明不能作为解析函数的实部.证明：设，由于，，，.故当，不是调和函数，虽然在直线上满足方程，但直线不是区域，即在平面的任一区域，不能作为解析函数的实部.例2证明，都是调和函数，不是解析函数.证明：由于，，，.,,,从而，即是平面上的调和函数，是上的调和函数.但，从而在上与不满足方程，故不是的共轭调和函数，即不是解析函数.3.3由调和函数构造相关解析函数的方法现通过举例来说明如何由已给调和函数来确定与之相关的解析函数的四种不同的方法：偏积分法、线积分法、不定积分法、变量替换法.为了叙述方便起见，下面仅讨论由已给调和函数来确定以之为实部的解析函数的问题.例3已知，证明为调和函数并求以之为实部的解析函数，使得.解由，可得，，，，于是，即为调和函数.下面我们用四种不同的方法来求以为实部的解析函数.方法=1\*ROMANI偏积分法一般原理：已知为区域内某解析函数的实部，由条件：，可得再由，可得.于是从而得以为实部的解析函数.由例3得：由，可得再由，可得，于是，于是，因此，故由，得，由此得所求解析函数为.方法=2\*ROMANII线积分法一般原理：已知为区域内解析函数的实部，由于为调和函数，则.即，由此可知必为某一个二元函数的全微分：.于是有，.从而必为一解析函数，而其中为常数，为内某一点.由例3得：由，全微分定义及条件可得则后面同方法=1\*ROMANI.方法=3\*ROMANIII不定积分法一般原理：解析函数的无穷可微性告诉我们，解析函数的导函数仍是解析函数,若已知调和函数,则由导函数公式,可得的实部与虚部，并且可把还原成的函数,即有,于是有,其中为纯虚常数.由例3得：由，可得，故，再由，得，由此得所求解析函数为.方法=4\*ROMANIV变量替换法一般原理：由解析函数唯一性定理，可知（1）在含有实轴一段的区域内，如果与都解析，则在内，.（2）在含有虚轴一段的区域内，如果与都解析，则在内，.由例3得：由，，可得或故，再由，得，由此得所求解析函数为.注意：1.在含有实轴一段的区域内，或在含有虚轴一段的区域内.不难看出，方法=4\*ROMANIV给出了方法=3\*ROMANIII如何“把还原成的函数”的一个简便方法，因此方法=4\*ROMANIV是方法=3\*ROMANIII的补充和完善.2．从形式上看，方法=4\*ROMANIV是通过变量替换“”或“，”实现的，但本质上是依据解析函数唯一性定理.而且重要的是此唯一性定理的如下重要推论“一切在实轴上成立的恒等式，在复平面上也成立.只要这个恒等式的等号两边的函数在复平面上都是解析的”.3.4总结调和函数与解析函数的关系3.4.1解析函数与调和函数的关系由定理2.1.2得任何在区域内解析的函数，它的实部和虚部都是内的调和函数.3.4.2调和函数与共轭调和函数的关系由定义2.1.1得设函数及均为区域内的调和函数，且满足方程，.则称是的共轭调和函数.3.4.3解析函数与共轭调和函数的关系由定理2.2.2得复变函数在区域内解析的充分必要条件是在区域内，的虚部是实部的共轭调和函数.结论通过以上研究可以看出，解析函数与调和函数的关系可以通过复变函数的实部和虚部两个二元函数来刻画，而共轭调和函数的引入，可成为二者的过渡，正是由于这种过渡的存在，才能由调和函数构造出解析函数，其中涉及偏积分法、线积分法、不定积分法、变量替换法四种方法.参考文献[1]钟玉泉.复变函数论(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2003:30-40.[2]钟玉泉.复变函数学习指导书[M].北京:高等教育出版社,1996:54-112.[3]任新安.从调和函数看解析函数的性质[J].数学教学研究,2010,29(7):49-58．[4]贺福利.复变函数中由调和函数求解析函数的方法[J].数学理论与应用,2010,30(4):122-128.[5]龙波涌.解析函数、共轭解析函数与副调和函数的相互关系[J].数学教学研究,2009,28(12):51-53．[6]张淑华.用代数