普通物理学第二版第七章课后习题答案5140

普通物理学第⼆版第七章课后习题答案第七章刚体⼒学7.1.1设地球绕⽇作圆周运动.求地球⾃转和公转的⾓速度为多少rad/s?估算地球⾚道上⼀点因地球⾃转具有的线速度和向⼼加速度.估算地⼼因公转⽽具有的线速度和向⼼加速度（⾃⼰搜集所需数据）.[解答]7.1.2汽车发动机的转速在12s内由1200rev/min增加到3000rev/min.（1）假设转动是匀加速转动，求⾓加速度.(2)在此时间内，发动机转了多少转？[解答]（1）22(30001200)1/601.57(rad/s)t12ωπβ?-?===VV（2）222220()(30001200)302639(rad)2215.7πωωθβ--===?所以转数=2639420()2π=转7.1.3某发动机飞轮在时间间隔t内的⾓位移为球t时刻的⾓速度和⾓加速度.[解答]7.1.4半径为0.1m的圆盘在铅直平⾯内转动，在圆盘平⾯内建⽴O-xy坐标系，原点在轴上.x和y轴沿⽔平和铅直向上的⽅向.边缘上⼀点A当t=0时恰好在x轴上，该点的⾓坐标满⾜21.2tt(:rad,t:s).θθ=+求（1）t=0时，（2）⾃t=0开始转45o时，（3）转过90o时，A点的速度和加速度在x和y轴上的投影.[解答]（1）A??t0,1.2,Rj0.12j(m/s).0,0.12(m/s)xyωνωνν====∴==v（2）45θ=o时，

由2A1.2tt,t0.47(s)42.14(rad/s)vRπθωω=+==∴==?vvv得（3）当90θ=o时，由7.1.5钢制炉门由两个各长1.5m的平⾏臂AB和CD⽀承，以⾓速度10rad/sω=逆时针转动，求臂与铅直45o时门中⼼G的速度和加速度.[解答]因炉门在铅直⾯内作平动，门中⼼G的速度、加速度与B或D点相同。所以：7.1.6收割机拔⽲轮上⾯通常装4到6个压板.拔⽲轮⼀边旋转，⼀边随收割机前进.压板转到下⽅才发挥作⽤，⼀⽅⾯把农作物压向切割器，另⼀⽅⾯把切割下来的作物铺放在收割台上，因此要求压板运动到下⽅时相对于作物的速度与收割机前进⽅向相反.已知收割机前进速率为1.2m/s，拔⽲轮直径1.5m，转速22rev/min,求压板运动到最低点挤压作物的速度.[解答]取地⾯为基本参考系，收割机为运动参考系。取收割机前进的⽅向为坐标系正⽅向7.1.7飞机沿⽔平⽅向飞⾏，螺旋桨尖端所在半径为150cm，发动机转速2000rev/min.（1）桨尖相对于飞机的线速率等于多少？（2）若飞机以250km/h的速率飞⾏，计算桨尖相对于地⾯速度的⼩，并定性说明桨尖的轨迹.[解答]取地球为基本参考系，飞机为运动参考系。（1）研究桨头相对于运动参考系的运动：（2）研究桨头相对于基本参考系的运动：

由于桨头同时参与两个运动：匀速直线运动和匀速圆周运动。故桨头轨迹应是⼀个圆柱螺旋线。7.1.8桑塔纳汽车时速为166km/h.车轮滚动半径为0.26m.⾃发动机⾄驱动轮的转速⽐为0.909.问发动机转速为每分多少转.[解答]设发动机转速为n发，驱动轮的转速为n轮。由题意：n0.909,n0.909nn==发发轮轮（1）汽车的速率为316610,60?316610n2R60π?∴=轮轮（2）（2）代⼊（1）3316610n0.9091.5410(rev/min)2R60π?==?发轮7.2.2在下⾯两种情况下求直圆锥体的总质量和质⼼位置.（1）圆锥体为均质；（2）密度为h的函数:h(1),Lρρρ=-oo为正常数.[解答]建⽴如图坐标O-x,由对称轴分析知质⼼在x轴上。由cdmdvdvdmdvdvxxxxρρ===得：（1）L20c2(a/L)d3L14

aL3xxxππ==质量21mvaL3ρπρ==（2）L200c200ah()(1)d4LLL(h=L)ha5(1)()dLLxxxxxxxππρρπ??-==--质量22000haLm(1)()daLL4xxπρπρπ=-?=?7.2.3长度为l的均质杆，令其竖直地⽴于光滑的桌⾯上，然后放开⼿，由于杆不可能绝对沿铅直⽅向，故随即到下.求杆⼦的上端点运动的轨迹（选定坐标系，并求出轨迹的⽅程式）.[解答]建⽴坐标系，⽔平⽅向为x轴，竖直⽅向为y轴.杆上端坐标为（x,y）,杆受重⼒、地⾯对杆竖直向上的⽀承⼒，⽆⽔平⽅向⼒。由icFam=∑rr外（质⼼运动定理）质⼼在杆的中点，沿⽔平⽅向质⼼加速度为零。开始静⽌，杆质⼼⽆⽔平⽅向移动。由杆在下落每⼀瞬时的⼏何关系可得：即杆上端运动轨迹⽅程为：7.3.1（1）⽤积分法证明：质量为m长为l的均质细杆对通过中⼼且与杆垂直的轴线的转动惯量等于21m12l.[解答]建⽴⽔平⽅向o—x坐标（2）⽤积分法证明：质量为m、半径为R的均质薄圆盘对通过中⼼且在盘⾯内的转动轴的转动惯量为21mR4.

如图坐标系，z轴垂直纸⾯向外。由质⼼运动定理得：（Ox-向投影）cFma=（质⼼在杆中点）（1）[解答]令xRsinθ=或3R22224mI(Rx)dx,3Rπ=-?利⽤公式7.3.2图⽰实验⽤的摆，0.92m=l，r0.08m=，m4.9kg=l，rm24.5kg=，近似认为圆形部分为均质圆盘，长杆部分为均质细杆.求对过悬点且与摆⾯垂直的轴线的转动惯量.[解答]将摆分为两部分：均匀细杆（1I），均匀圆柱（2I）则12III=+1I=221mL0.14(kgm)3lBg2I=22rr1mrm(Lr)2++（⽤平⾏轴定理）I=0.14+2.51=2.652(kgm)g7.3.3在质量为M半径为R的均质圆盘上挖出半径为r的两个圆孔，圆孔中⼼在半径R的中点，求剩余部分对过⼤圆盘中⼼且与盘⾯垂直的轴线的转动惯量.[解答]设未挖两个圆孔时⼤圆盘转动惯量为I。如图半径为r的⼩圆盘转动惯量为1I和2I。则有x12IIII=--（12II=）7.3.5⼀转动系统的转动惯量为2I8.0kg.m=，转速为41.9rad/sω=，两制动闸⽡对轮的压⼒都为392N，闸⽡与轮缘间的摩擦系数为0.4µ=，轮半径为r0.4m=，从开始制动到静⽌需要⽤多少时间？[解答]7.3.6均质杆可绕⽀点O转动，当与杆垂直的冲⼒作⽤某点A时，⽀点O对杆的作⽤⼒并不因此冲⼒之作⽤⽽发⽣变化，则A点称为打击中⼼.设杆长为L，求打击中⼼与⽀点的距离.[解答]杆不受Fv作⽤时，⽀点O对杆的作⽤⼒Nv，向竖直向上，⼤⼩为杆的重量。依题意，当杆受⼒Fv时，Nv不变。建⽴由转动定理得：

201FOAImL3ββ==（2）有⾓量与线量的关系c1aL2β=（3）（1）（2）（3）联⽴求解21mL23OAL13L2ββ==7.3.7现在⽤阿特伍德机测滑轮转动惯量.⽤轻线且尽可能润滑轮轴.两端悬挂重物质量各为1m0.46kg=，且2m0.5kg=.滑轮半径为0.05m.⾃静⽌始，释放重物后并测得5.0s内2m下降0.75m.滑轮转动惯量是多少？[解答]分析受⼒。建⽴坐标系，竖直向下为x轴正⽅向，⽔平向左为y轴正⽅向。z轴垂直纸⾯向⾥。根据⽜顿第⼆定律，转动定理，⾓量与线量关系可列标量⽅程组：已知21121122121aR,aa,TT,TT,atm,m,R,,t2xxβ''=====VV（其中为已知）求解上列⽅程组：7.3.8斜⾯倾⾓为θ，位于斜⾯顶端的卷扬机⿎轮半径为R，转动惯量为I，受到驱动⼒矩M，通过绳索牵引斜⾯上质量为m的物体，物体与斜⾯间的摩擦系数为µ，求重物上滑的加速度.绳与斜⾯平⾏，不计绳质量.[解答]分析受⼒及坐标如图。z轴垂直纸⾯向外。列标量⽅程组：Tmgsinmgcosmaθθµ--=（1）MTR=Iβ'-+-（2）aRβ=（3）TT'=（4）解得：2TmgsinmgcosmaR(MmgRsinmgRcos)

a=ImRθθµθθµ--=--+7.3.9利⽤图中所⽰装置测⼀轮盘的转动惯量，悬线和轴的距离为r.为减⼩因不计轴承摩擦⼒矩⽽产⽣的误差，先悬挂质量较⼩的重物1m，从距地⾯⾼度h处由静⽌开始下落，落地时间为1t，然后悬挂质量较⼤的重物2m，同样由⾼度h下落，所需时间为2t，根据这些数据确定轮盘的转动惯量.近似认为两种情况下摩擦⼒矩相同.[解答]分析受⼒及坐标如图。z轴垂直纸⾯向⾥。列⽅程：解得122112h2hMmr(g)Itrt=--阻即12222211222h2h2h2hmr(g)Imr(g)Itrttrt--=--7.4.1扇形装置如图，可绕光滑的铅直轴线O转动，其转动惯量I为.装置的⼀端有槽，槽内有弹簧，槽的中⼼轴线与转轴的垂直距离为r.在槽内装有⼀⼩球，质量为m，开始时⽤细线固定，只弹簧处于压缩状态.现⽤燃⽕柴烧断细线，⼩球以速度vo弹出.求转动装置的反冲⾓速度.在弹射过程中，由⼩球和转动装置构成的系统动能守恒否？总机械能守恒否？为什么？（弹簧质量不计）[解答]取⼩球和转动装置为物体系，建⽴顺时针为转动正⽅向。在弹射过程中，物体系相对于转动轴未受外⼒矩，故可知物体受对转轴的⾓动量守恒。有00rmIrm0,Iνωνω-=∴=动能不守恒，原因是弹性⼒对系统作正功，物体系动能增加。总机械能守恒。原因是此过程中⽆耗散⼒做功。应有守恒关系式：7.4.2质量为2.97kg，长为1.0m的均质等截⾯细杆可绕⽔平光滑的轴线O转动，最初杆静⽌于铅直⽅向.⼀弹⽚质量为10kg，以⽔平速度200m/s射出并嵌⼊杆的下端，和杆⼀起运动，求杆的最⼤摆⾓θ.[解答]取⼦弹和杆为物体系。分两个过程。过程1：⼦弹嵌⼊前⼀瞬时开始到完全嵌⼊时为⽌。此过程时间极短，可视为在原地完成。此时受⼒为mgv，Mg,Nvv为转轴对杆的⽀承⼒，对于轴，外⼒矩为零。有⾓动量守恒。规定逆时针为转轴正⽅向。得:解得：2022m2.0(rad/s)1Mm3νω==+lll过程2：由过程1末为始到物体系摆⾄最⾼点为⽌。

此过程中⼀切耗散⼒做功为零。故物体系机械能守恒。取杆的最低点为重⼒势能零点。有2222111MgmM(1cos)mg(1cos)MgMg222322ωωθθ++=-+-+llllll解得2211(Mm)23cos10.864M(m)g230.3ωθθ+=-=+∴=oll7.4.3⼀质量为1m，速度为1v的⼦弹沿⽔平⾯击中并嵌⼊⼀质量为21m99m=，长度为L的棒的端点，速度1v与棒垂直，棒原来静⽌于光滑的⽔平⾯上.⼦弹击中棒后共同运动，求棒和⼦弹绕垂直于平⾯的轴的⾓速度等于多少？[解答]取1m与2m为物体系。此物体系在⽔平⾯内不变外⼒矩。故⾓动量守恒，规定逆时针为转动正⽅向。设1m嵌⼊后物体系共同质⼼为c'，c'到棒右端距离为r，棒⾃⾝质⼼为c。由12Lmrm(r)(2=-质⼼公式）有物体系对点的⾓动量守恒可得：解得10.058/Lων=，半径为⼏千⽶，质量与太阳的质量⼤致相等，转动⾓速率很⼤.试估算周期为50ms的脉冲星的转动动能.（⾃⼰查找太阳质量的数据）[解答]7.5.110m⾼的烟囱因底部损坏⽽倒下来，求其上端到达地⾯时的线速度.设倒塌时底部未移动.可近似认为烟囱为细均质杆.[解答]7.5.2⽤四根质量各为m长度各为l的均质细杆制成正⽅形框架，可绕其⼀边的中点在竖直平⾯内转动，⽀点O是光滑的.最初，框架处于静⽌且AB边沿竖直⽅向，释放后向下摆动，求当AB边达到⽔平时，框架质⼼的线速度CV以及框架作⽤于⽀点的压⼒N.[解答]框架对O点的转动惯量：在框架摆动过程中，仅受重⼒和⽀点的⽀撑⼒，重⼒为保守⼒，⽀撑⼒不做功，故此过程中框架的机械能守恒。取过框架中⼼的⽔平线为重⼒势能零点：有2014mgI22ω=l解得：20c4mg12gI722ωωνω===∴=?==llll框架转到AB⽔平位置时，0cM0,0.a0(τβ===∑即⽔平⽅向）故⽀点O对框架的作⽤⼒N'v，仅有法向分量。由质⼼运动定理得：框架作⽤⽀点的⼒N与N'v是作⽤⼒与反作⽤⼒。7.5.3由长为l，质量各为m的均质细杆制成正⽅形框架，其中⼀⾓连于光滑⽔平转轴O，转轴与框架所在平⾯垂直.最初，对⾓线OP处于⽔平，然后从静⽌开始向下摆动.求对⾓线OP与⽔平成45o时P点的速度，并求此时框架对⽀点的作⽤⼒.[解答]框架对O点转动惯量由机械能守恒：先求⽀点O对框架作⽤⼒Nr，由转动定理ooMIβ=∑o2oM2mg3g10I5m3β===∑lll由质⼼运动定理：投影得：解得：nNmg5=设N与?i-⽅向夹⾓为θ，则nN11tg,79.7N2τθθ==∴=o7.5.4质量为m长为l的均质杆，其B端放在桌⾯上，A端⽤⼿⽀住，使杆成⽔平.突然释放A端，在此瞬时，求：（1）杆质⼼的加速度，（2）杆B端所受的⼒.[解答]取杆为隔离体，受⼒分析及建⽴坐标如图。规定顺时针为转动正⽅向。依据质⼼运动定理有：cNmgmaττ-=（1）依据转动定理：BmgI2β=l（2）依据⾓量与线量关系：ca2τβ=-l（3）此外，2cncnNmam/2τν==l2B1Im3=l（4）由ccn0.0,N0τνν=∴==联⽴上述四个⽅程求得：7.5.5下⾯是均质圆柱体在⽔平地⾯上作⽆滑滚动的⼏种情况，求地⾯对圆柱体的静摩擦⼒f.（1）沿圆柱体上缘作⽤以⽔平拉⼒F，柱体作加速滚动.（2）⽔平拉⼒F通过圆柱体中⼼轴线，柱体作加速滚动.（3）不受任何主动⼒的拉动或推动，柱体作匀速滚动.（4）在主动⼒偶矩τ的驱动下作加速滚动.设柱体半径为R.[解答]取均匀圆柱体为隔离体，建⽴坐标系，⽔平向右为x轴正⽅向，z轴垂直纸⾯向⾥。假设cfv⽅向⽔平向右。（1）得Ff3=-（符号表⽰实际⽅向与假设⽅向相反）（2）得Ff3=（符号表⽰实际⽅向与假设⽅向相同）（3）得2Mf3R=-（符号表⽰实际⽅向与假设⽅向相反）7.5.6板的质量为M，受⽔平⼒F的作⽤，沿⽔平⾯运动.板与⽔平⾯间的摩擦系数为µ.在板上放⼀半径为R质量为2M的实⼼圆柱，此圆柱只滚动不滑动.求板的加速度.[解答]设所求板对地的加速度为a，（⽅向与Fv相同）。以板为参照系(⾮惯性系)。取圆柱体为隔离体，分析受⼒如图，z轴垂直纸⾯向⾥。依质⼼运动定律有：022cffMa*-=板

（1）依据转动定理有：20021fRIMR2βθ-==（2）依据⾓量与线量关系有：caRβ=板（3）此外：22NMg=（4）22fma*=（5）取板为隔离体，受⼒如图，并建⽴如图坐标系。列标量⽅程有：12NNMg=0'--(6)1Ffff0*'---=(7)1fMa*=(8)1fNµ=(9)22NN'=(10)00ff'=(11)将上述⼗⼀个⽅程联⽴求解得：7.5.7在⽔平桌⾯上放置⼀质量为m的线轴，内径为b，外径为R，其绕中⼼轴转动惯量为21mR3.线轴与地⾯间的静摩擦系数为µ.线轴受⼀⽔平拉⼒F，如图所⽰.（1）使线轴在桌⾯上保持⽆滑滚动之F最⼤值是多少？（2）若F与⽔平⽅向成θ⾓，试证，cosb/Rθ>时，线轴向前滚动；cosb/Rθ<时，线轴线后滚动.[解答]取线轴为隔离体。建⽴坐标系，⽔平向右为x正⽅向，z轴垂直纸⾯向⾥。（1）依据质⼼运动定理有：cFfma-=（1）依据对质⼼轴的转动定理有：201fRFbImR3ββ-==（2）由⾓量与线量的关系得：caRβ

=（3）上述三式联⽴求解得：欲保持⽆滑滚动得：maxffN=mgµµ≤=即max4RmgFR3bµ=+（2）